摘要：在我國(guó)目前線性代數(shù)教學(xué)中，傳統(tǒng)講授法仍為主要教學(xué)模式，這種模式有其明顯的優(yōu)勢(shì)但也有不足之處。PBL教學(xué)是以構(gòu)建主義和認(rèn)知主義為理論基礎(chǔ)，以“學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式的不足。本文以線性代數(shù)課堂為例，讓學(xué)生設(shè)計(jì)加密矩陣，探索PBL教學(xué)法的實(shí)踐應(yīng)用。將PBL教學(xué)法與傳統(tǒng)教學(xué)模式相結(jié)合，提高教師的跨學(xué)科科研能力，尊重學(xué)生的發(fā)言權(quán)和選擇權(quán)，對(duì)提高線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量具有積極意義。

關(guān)鍵詞：PBL教學(xué)法；線性代數(shù)教學(xué)；實(shí)踐研究

Researchontheteachingpracticeof

linearalgebrabasedonPBLteachingmethod

ChenShanshanMaRunnianDuYongguang

Xi’anEurasiaUniversityShaanxiXi’an710065

Abstract：InthecurrentlinearalgebrateachinginChina，thetraditionalteachingmethodisstillthemainteachingmode，which?;hasitsobviousadvantagesbutalsoitsshortcomings.PBLteachingisbasedonconstructiondoctrineandcognitivism，andtakesthe"studentcentered"teachingconcept，whichcanmakeupforthedeficiencyofthetraditionalteachingmode.Inthispaper，takinglinearalgebraclassasanexample，letstudentsdesignencryptionmatrixandexplorethepracticalapplicationofPBLteachingmethod.CombiningPBLteachingmethodwithtraditionalteachingmodetoimproveteachers'interdisciplinaryscientificresearchabilityandrespectstudents'voiceandchoiceisofpositivesignificancetoimprovetheteachingqualityoflinearalgebra.

Keywords：PBLteachingmethod;Linearalgebrateaching；practicalresearch

一、線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

線性代數(shù)是大部分學(xué)生在本科教育階段的數(shù)學(xué)類(lèi)必修課之一，對(duì)學(xué)生學(xué)好后續(xù)專(zhuān)業(yè)課以及未來(lái)發(fā)展至關(guān)重要。學(xué)生們普遍認(rèn)可大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)個(gè)人發(fā)展的積極作用，有學(xué)好數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)。但是，現(xiàn)實(shí)情況是學(xué)生想要在數(shù)學(xué)課上取得好的成績(jī)存在諸多困難。比如課堂上跟不上教師講課的節(jié)奏，課后自學(xué)效率低下，從而喪失學(xué)習(xí)信心，甚至產(chǎn)生負(fù)面影響，最終導(dǎo)致期末考試掛科。從教與學(xué)的角度來(lái)看，目前現(xiàn)狀和存在的問(wèn)題如下。

第一，線性代數(shù)是一門(mén)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，不僅具有數(shù)學(xué)課共有的抽象性和邏輯性的特點(diǎn)，而且相比于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)更加抽象化和公理化，其中邏輯推導(dǎo)較多［1］。由于學(xué)生在日常生活和社會(huì)實(shí)踐鮮有數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，因此對(duì)這種公理化知識(shí)體系感到陌生，知識(shí)運(yùn)用技巧較為生澀，學(xué)習(xí)方法不得要領(lǐng)。

第二，由于線性代數(shù)具有公理化的特點(diǎn)，傳統(tǒng)授課式的教學(xué)方法有其優(yōu)勢(shì)，因此教師在課堂上普遍采用講授法。當(dāng)講授法廣泛應(yīng)用于課堂教學(xué)時(shí)，它的缺點(diǎn)就凸顯出來(lái)。一方面，學(xué)生聽(tīng)起來(lái)感覺(jué)單調(diào)枯燥，沒(méi)有興趣，難以集中注意力，低頭現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。另一方面，知識(shí)理論和實(shí)際應(yīng)用是割裂的，學(xué)生對(duì)該知識(shí)有什么用感到非常困惑，也就難以激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

第三，線性代數(shù)一般是大一新生的必修課，大一是高中階段到大學(xué)階段的過(guò)渡期。大一學(xué)生剛經(jīng)過(guò)高考前的備考沖刺，以應(yīng)試教育為主是客觀情況。教師會(huì)在課堂上講解習(xí)題、總結(jié)題目類(lèi)型和傳授解題技巧等。然而，高等教育具有高深的知識(shí)和學(xué)術(shù)自由的屬性，這就對(duì)學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)能力提出了更高要求。在高中和大學(xué)的銜接過(guò)程中，大部分學(xué)生需要有一個(gè)磨合適應(yīng)的過(guò)程。事實(shí)上，第二學(xué)期的線性代數(shù)課程成績(jī)比第一學(xué)期的高等數(shù)學(xué)課程成績(jī)好，這種情況較為普遍。

基于以上教學(xué)中存在的實(shí)際問(wèn)題，大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革探索勢(shì)在必行。

二、PBL教學(xué)法

PBL是“ProjectBasedLearning”的簡(jiǎn)寫(xiě)。在國(guó)內(nèi)，也被稱(chēng)為“項(xiàng)目式教學(xué)法”。PBL教學(xué)法是由美國(guó)神經(jīng)病學(xué)教授Barrow首次提出來(lái)的。1969年，Barrow教授在臨床醫(yī)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)用PBL教學(xué)法大獲成功。1993年，在世界醫(yī)學(xué)教育高峰會(huì)議上，PBL教學(xué)法在全世界范圍內(nèi)被廣泛推薦。PBL教學(xué)法是基于“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，以解決現(xiàn)實(shí)世界中真實(shí)的問(wèn)題為導(dǎo)向，學(xué)生們采用小組討論的形式圍繞問(wèn)題收集資料、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種教學(xué)模式［2］。教師在教學(xué)過(guò)程中僅僅起到引導(dǎo)和支架的作用。

PBL教學(xué)法的教學(xué)理論基礎(chǔ)是認(rèn)知主義和構(gòu)建主義。認(rèn)知主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是內(nèi)發(fā)的、主動(dòng)的和整體性的，最具代表性的是布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論和加涅的信息加工理論。構(gòu)建主義強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的主動(dòng)構(gòu)建性、意義性、情境性和內(nèi)隱性，最具代表性的是維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論。因此PBL教學(xué)法繼承了認(rèn)知主義和構(gòu)建主義的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)。

PBL教學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在：以學(xué)生為中心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的核心，重視學(xué)生的主觀能動(dòng)性；為當(dāng)今的教育教學(xué)改革實(shí)踐注入了新的活力，為指導(dǎo)教育實(shí)踐具有十分積極的作用。

PBL教學(xué)法的不足主要體現(xiàn)在：夸大了學(xué)生的能力，對(duì)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)期望過(guò)高，適用于低年級(jí)和應(yīng)用型知識(shí)的教學(xué)；過(guò)分強(qiáng)調(diào)知識(shí)學(xué)習(xí)的相對(duì)性、情景性以及認(rèn)知靈活性，否認(rèn)學(xué)習(xí)的共同性、客觀性和系統(tǒng)性；還沒(méi)有被高等教育實(shí)踐證明是有效的科學(xué)方法［3］。

本文以線性代數(shù)課程的一次教學(xué)實(shí)踐為例，探討如何在高等數(shù)學(xué)這類(lèi)理論性較強(qiáng)的課程中應(yīng)用PBL教學(xué)法提高教學(xué)效果。

三、PBL教學(xué)法教學(xué)實(shí)踐

本文選取線性代數(shù)課程中的“矩陣的初等變換”這一節(jié)，參考教材是高等教育出版社同濟(jì)版《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)》，采用講授法和PBL教學(xué)法相結(jié)合的授課方式。對(duì)“初等變換求解逆矩陣”的教學(xué)內(nèi)容采用PBL教學(xué)法，其余內(nèi)容采用講授法。PBL項(xiàng)目以某場(chǎng)戰(zhàn)役為背景，要求學(xué)生設(shè)計(jì)密鑰，實(shí)現(xiàn)一次完整的信息加密和解密的過(guò)程。在完成項(xiàng)目的過(guò)程中，學(xué)生將需要運(yùn)用初等矩陣和逆矩陣相關(guān)的知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)獨(dú)有的可逆矩陣，再應(yīng)用矩陣乘法對(duì)信息加密，最后運(yùn)用求解逆矩陣的方法完成對(duì)信息的解密過(guò)程。學(xué)生將綜合運(yùn)用初等矩陣相關(guān)的知識(shí)，并對(duì)知識(shí)是如何解決現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)問(wèn)題有直接感受。教學(xué)過(guò)程按照“創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題、創(chuàng)新合作、成果展示”四個(gè)環(huán)節(jié)組織實(shí)施。

第一步，創(chuàng)設(shè)情景。教師在課堂上引入項(xiàng)目設(shè)定的背景。古今中外，信息安全一直扮演著非常重要的角色。從中國(guó)古代的虎符，到今天的區(qū)塊鏈技術(shù)，以及未來(lái)的量子信息，都與信息安全息息相關(guān)。讓同學(xué)們觀看與信息安全內(nèi)容相關(guān)的影片，在某場(chǎng)戰(zhàn)役中信息加密起到了至關(guān)重要的作用。把同學(xué)們帶入預(yù)設(shè)的場(chǎng)景中，提高學(xué)生參與項(xiàng)目的興趣。在這個(gè)情景設(shè)定下，學(xué)生們需要角色扮演對(duì)戰(zhàn)的雙方，設(shè)計(jì)加密矩陣，以加密的方式完成一次信息傳遞的全過(guò)程。教師組織學(xué)生進(jìn)行分組，每組六個(gè)人，其中三個(gè)同學(xué)扮演信息的發(fā)送方，另外三個(gè)同學(xué)扮演信息的接收方。

第二步，提出問(wèn)題。信息加密的方法有很多種，其中一種加密方法稱(chēng)為希爾密碼，用到了逆矩陣相關(guān)的知識(shí)。希爾密碼中的同余相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)超出了線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容范圍，刪除這部分內(nèi)容以控制項(xiàng)目實(shí)施的難度。發(fā)送方完成信息加密，基本步驟為：（1）設(shè)定信息：確定需要發(fā)送的信息，比如“Iloveyou”“attackistonight”等；（2）信息編碼：將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)字，稱(chēng)為明文；（3）設(shè)計(jì)密鑰：設(shè)計(jì)一個(gè)可逆矩陣，稱(chēng)為密鑰，并把密鑰只能告訴信息的接收方；（4）信息加密：用密鑰對(duì)明文進(jìn)行加密，利用矩陣乘法計(jì)算得到密文；（5）發(fā)送信息：將密文發(fā)送給接受方。接受方完成信息解密，基本步驟為：（1）獲取密鑰：從信息的發(fā)送方那里獲得密鑰，這是破解密文的關(guān)鍵，不能泄漏給對(duì)方。（2）接收信息：接收到的信息是接受方加密過(guò)的信息；（3）計(jì)算密鑰：計(jì)算密鑰的逆矩陣。（4）信息解密：利用矩陣乘法運(yùn)算將密文破解為明文。（5）信息解碼：明文是數(shù)字，要看懂信息還需要將數(shù)字解碼成文字。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要決定發(fā)送信息的內(nèi)容、查找相關(guān)資料、選擇編碼方式、研究逆矩陣和初等矩陣的關(guān)系、設(shè)計(jì)逆矩陣、掌握矩陣求逆的方法，鍛煉團(tuán)隊(duì)合作和溝通能力等。

例：假設(shè)要發(fā)送的信息是“you”。可以設(shè)計(jì)編碼方式為26個(gè)英文字母依次對(duì)應(yīng)到數(shù)字：

將數(shù)字對(duì)應(yīng)到字母表，所發(fā)送信息為you。

第三步，創(chuàng)新合作。在學(xué)生實(shí)施的過(guò)程中，教師觀察每組學(xué)生的情況，及時(shí)給予支持和指導(dǎo)。需要教師重點(diǎn)關(guān)注的有：提醒學(xué)生希爾加密中不考慮同余；編碼設(shè)計(jì)中數(shù)字和字母能夠一一對(duì)應(yīng)；密鑰設(shè)計(jì)中描述如何利用初等矩陣得到一個(gè)可逆矩陣；可逆矩陣的維數(shù)不要太高，矩陣元素盡量是整數(shù)，否則在解密過(guò)程中計(jì)算量太大，建議發(fā)送者和接受者一起設(shè)計(jì)密鑰等。

第四步，成果展示。學(xué)生以論文的形式提交項(xiàng)目成果，并在班級(jí)內(nèi)部進(jìn)行分享。學(xué)生們?cè)谡撐闹姓故玖素S富的創(chuàng)造性和個(gè)性化的內(nèi)容。第一類(lèi)創(chuàng)新點(diǎn)是項(xiàng)目背景，學(xué)生們喜歡對(duì)項(xiàng)目背景進(jìn)行改編以抒發(fā)自己的情感。有的將項(xiàng)目背景改為表達(dá)自己的愛(ài)國(guó)情懷的內(nèi)容，體現(xiàn)了課程思政的元素；有的將項(xiàng)目背景設(shè)定為紀(jì)念同學(xué)們的從不認(rèn)識(shí)到成為彼此信任的同伴的友情；還有一個(gè)團(tuán)隊(duì)創(chuàng)作了一個(gè)關(guān)于同學(xué)之間互相鼓勵(lì)學(xué)習(xí)的感人故事。第二類(lèi)創(chuàng)新點(diǎn)是加密矩陣的階數(shù)。有的學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行分組，每3個(gè)字母一組，那么只需要一個(gè)三階矩陣，從而達(dá)到對(duì)矩陣降階的目的。有的學(xué)生將信息編碼成矩陣，加密時(shí)兩個(gè)矩陣相乘，大大提高計(jì)算效率，體現(xiàn)了矩陣乘法的效用。還有學(xué)生設(shè)計(jì)四階分塊矩陣，降低了求解逆矩陣的難度，靈活運(yùn)用了課本上的知識(shí)。

四、總結(jié)

目前PBL教學(xué)法已經(jīng)引起廣大教師的關(guān)注，越來(lái)越多的大學(xué)數(shù)學(xué)教師嘗試將PBL教學(xué)法應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐。PBL教學(xué)法以解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo)，以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，強(qiáng)調(diào)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作的重要作用。這種全新的教學(xué)模式恰好能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)授課式課堂的不足之處。通過(guò)完成項(xiàng)目，學(xué)生能夠理解理論知識(shí)是如何在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生有機(jī)會(huì)鍛煉獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作和同輩交流，學(xué)生更容易進(jìn)入專(zhuān)注學(xué)習(xí)的狀態(tài)中。同時(shí)，滿足了大一新生的社交需求，幫助他們更快融入大學(xué)生活，有利于培養(yǎng)積極的心理和人格。本文通過(guò)一次教學(xué)實(shí)踐總結(jié)了在線性代數(shù)課堂中使用PBL教學(xué)法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題，供廣大同行參考。

（一）PBL教學(xué)中應(yīng)尊重學(xué)生的發(fā)言權(quán)和選擇權(quán)［4］

PBL教學(xué)法是以“學(xué)生為中心”的教學(xué)理論，因此教師設(shè)計(jì)項(xiàng)目時(shí)應(yīng)盡量設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，給學(xué)生留有創(chuàng)造性發(fā)揮的空間，充分尊重學(xué)生的發(fā)言權(quán)和選擇權(quán)。有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生參與投入項(xiàng)目中。最終通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題，學(xué)生可以充分展示自我，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和批判性思維。這也是符合目前高等教育注重培養(yǎng)學(xué)生核心素質(zhì)的價(jià)值觀。

（二）教師應(yīng)注重提高跨學(xué)科研究的能力

項(xiàng)目設(shè)計(jì)是PBL教學(xué)法的靈魂，一個(gè)好的項(xiàng)目設(shè)計(jì)，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生沉浸式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用學(xué)科知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)。教師在設(shè)計(jì)項(xiàng)目時(shí)，需要有意識(shí)地將學(xué)科知識(shí)和真實(shí)問(wèn)題有機(jī)融合為一個(gè)整體。要把數(shù)學(xué)理論和有趣的真實(shí)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)出能吸引學(xué)生的興趣，又能緊密結(jié)合教學(xué)目標(biāo)的PBL項(xiàng)目，對(duì)教師的科研能力和教學(xué)能力都提出了較高的要求。線性代數(shù)教師應(yīng)提高跨學(xué)科研究能力，不斷學(xué)習(xí)前沿科學(xué)，了解線性代數(shù)知識(shí)在其中的應(yīng)用，能夠進(jìn)一步對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化或轉(zhuǎn)變，這樣才能設(shè)計(jì)出吸引學(xué)生的真實(shí)場(chǎng)景的問(wèn)題。

（三）PBL教學(xué)法應(yīng)同傳統(tǒng)教學(xué)模式相結(jié)合

PBL教學(xué)法雖然能彌補(bǔ)傳統(tǒng)講授式課堂的不足，但是PBL教學(xué)法完全替代講授法是不可能的。PBL教學(xué)法雖然在世界范圍內(nèi)的基礎(chǔ)教育階段大獲成功，但是在高等教育階段，尤其是數(shù)學(xué)類(lèi)課程中的教學(xué)效果還沒(méi)有得到實(shí)踐的驗(yàn)證?；谖覈?guó)目前高等本科教學(xué)的現(xiàn)實(shí)情況，教師需要按照教學(xué)計(jì)劃在一學(xué)期內(nèi)完成規(guī)定的教學(xué)任務(wù)，完全采用PBL教學(xué)法是不現(xiàn)實(shí)的。因此，教師可以選擇一部分教學(xué)內(nèi)容采用PBL教學(xué)法。如果遇到學(xué)生第一次接觸PBL項(xiàng)目，不知道如何進(jìn)行時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)全班步調(diào)一致的項(xiàng)目，幫助學(xué)生盡快投入項(xiàng)目中。

參考文獻(xiàn)：

［1］葉薇薇，儲(chǔ)亞偉.“新工科”建設(shè)背景下基于PBL的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐——以“洛必達(dá)法則”為例［J］.洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023，42（05）：8689.

［2］張俊，馬明溪.PBL教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題研究［J］.現(xiàn)代職業(yè)教育，2020（40）：1415.

［3］段海軍，藺素琴.教育心理學(xué)［M］.西安：西北大學(xué)出版社，2021.

［4］王崢嶸.教師項(xiàng)目式教學(xué)能力發(fā)展研究［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2022.

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度一般課題項(xiàng)目：“以學(xué)生為中心”的應(yīng)用型人才數(shù)理思維培育研究（項(xiàng)目編號(hào)：SGH23Y2803）

作者簡(jiǎn)介：陳姍姍（1985—），女，漢族，陜西渭南人，碩士，助教，研究方向：高等數(shù)學(xué)教育。