摘要：定積分是用和式的極限定義的，反過來這類和式的極限也可以用定積分定義來計(jì)算.而用定積分定義求極限也是數(shù)學(xué)競賽和考研的高頻考點(diǎn)，并且近幾年的題型求解難度大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜.用定積分定義求極限，關(guān)鍵是如何從極限表達(dá)式中確定積分上下限和被積函數(shù).本文根據(jù)極限表達(dá)式的三種常見類型，總結(jié)了極限的計(jì)算步驟以及快速確定積分上下限和被積函數(shù)的公式，并舉出近幾年的數(shù)學(xué)競賽和考研的真題介紹如何應(yīng)用這些方法技巧，使得計(jì)算簡單化.

關(guān)鍵詞：定積分；極限；被積函數(shù)

定積分定義是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，用定積分定義求極限也是數(shù)學(xué)競賽和考研的重要考點(diǎn)，而且近幾年的題型求解難度大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜.本文總結(jié)了定積分定義求極限的常見類型，并給出了求解步驟及公式，方便快速確定被積函數(shù)和積分上下限，從而更易求出和式極限.

一、定積分定義求極限的常見類型

定積分是用極限定義的：∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1f（ξi）Δxi［1］.（不妨設(shè)a<b，本文下同.）而當(dāng)f（x）在［a，b］上可積時(shí)，∫baf（x）dx與區(qū)間的分法和ξi的取法無關(guān)，故由定義計(jì)算定積分時(shí)，為了計(jì)算簡便，通常將［a，b］n等分，小區(qū)間長度Δxi=b-an，而ξi常取為小區(qū)間右端點(diǎn)a+in（b-a）（1in），∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1f（ξi）Δxi=limn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an.

反過來，也可以用定積分來求上式右端這類和式的極限.而在競賽或考研試題中，這類極限常見的表達(dá)式一般有三種類型，以下以n等分為例給出三種類型能直接用定積分求解的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式：

（1）limn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an

相當(dāng)于ξi=a+in（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小區(qū)間的右端點(diǎn)的情況；

（2）limn→∞∑ni=1fa+i-1n（b-a）b-an

相當(dāng)于ξi=a+i-1n（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小區(qū)間的左端點(diǎn)的情況；

（3）limn→∞∑ni=1fa+2i-12n（b-a）b-an

相當(dāng)于ξi=a+2i-12n（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小區(qū)間的中點(diǎn)的情況.

上述三種極限最終都等于∫baf（x）dx.

一般能用定積分定義求解的常見類型基本都可以通過恒等變形轉(zhuǎn)化為上述標(biāo)準(zhǔn)類型之一.

二、定積分定義求極限的步驟及公式

用定積分定義求極限，關(guān)鍵是如何從極限表達(dá)式中確定積分上下限和被積函數(shù).本文根據(jù)極限表達(dá)式的常見類型，總結(jié)了如下極限計(jì)算的步驟及確定積分限和被積函數(shù)的公式：

（1）根據(jù)極限表達(dá)式的特征，先將其整理成如下三種形式之一：

形式一：（1）limn→∞∑ni=1f（C1+inC2）C3n（含in）；

形式二：（2）limn→∞∑ni=1f（C1+i-1nC2）C3n（含i-1n）；

形式三：（3）limn→∞∑ni=1f（C1+2i-12nC2）C3n（含2i-12n）；

其中C1、C3均為常數(shù)，C2是某個(gè)正數(shù).

注：無論整理成上述哪種形式，和式的每一項(xiàng)都是兩項(xiàng)乘積，一個(gè)與in有關(guān)的表達(dá)式；一個(gè)是1n的常數(shù)倍，且與i無關(guān).

（2）確定積分上下限：

形式一中fC1+inC2對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)類型（1）中的fa+in（b-a），即有a+in（b-a）=C1+inC2，從而推出積分上限a=C1，積分下限b=C1+C2；

同理，形式二中fC1+i-1nC2對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)類型（2）中的fa+i-1n（b-a），形式三中fC1+2i-12nC2對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)類型（3）中的fa+2i-12n（b-a），由此均可確定積分上下限的值；

（3）確定被積函數(shù)：

根據(jù)fC1+inC2或fC1+i-1nC2、fC1+2i-12nC2的表達(dá)式確定被積函數(shù)f（x）；

（4）確定Δxi：

Δxi=b-an，故C3n=C3b-a·b-an.

（5）確定定積分表達(dá)式：

（1）limn→∞∑ni=1fC1+inC2C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx；

（2）limn→∞∑ni=1fC1+i-1nC2C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+i-1n（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx；

（3）limn→∞∑ni=1f（C1+2i-12nC2）C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+2i-12n（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx.

（6）計(jì)算定積分.

三、定積分定義求極限實(shí)例分析

以下以ξi分別取小區(qū)間右端點(diǎn)、左端點(diǎn)、中點(diǎn)三種情況舉例分析.

（一）ξi取小區(qū)間右端點(diǎn)

這種情況最常見，也最容易求解.

例1：limn→∞∑nk=1kn2sin2（1+kn）［2021年第十二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽（非數(shù)學(xué)類）試題一、（1）］

解：①limn→∞∑nk=1kn2sin21+kn=limn→∞∑nk=1knsin21+kn1n；

②此處knsin21+kn=fkn，含kn，故此題屬于ξk取小區(qū)間右端點(diǎn)的類型，即有a+kn（b-a）=kn，從而推出a=0，b-a=1，即a=0，b=1；

③fa+kn（b-a）=fkn=knsin21+knf（x）=xsin2（1+x）；

④Δxi=b-an=1n；

故原式=limn→∞∑nk=1knsin2（1+kn）1n

=limn→∞∑nk=1fa+kn（b-a）b-an=∫baf（x）dx

=∫10xsin2（1+x）dx

=∫10x1-cos2（1+x）2dx

=14-14∫10xd［sin2（1+x）］

=14-14xsin2（1+x）10+14∫10sin2（1+x）dx

=18（2-2sin4-cos4+cos2）.

（二）ξi取小區(qū)間左端點(diǎn)

例2：limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

解1：①這里加項(xiàng)只有n-1項(xiàng)，需要適當(dāng)添加成n項(xiàng).

limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞1nsin0πn+sinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞∑ni=1sini-1nπ1n；

②此處sini-1nπ=f（i-1nπ），含有i-1n，故此題屬于ξi取小區(qū)間左端點(diǎn)的類型.即有a+i-1n（b-a）=i-1nπ，從而推出a=0，b=π；

③fa+i-1n（b-a）=fi-1nπ=sini-1nπf（x）=sinx；

④Δxi=b-an=πn；

故原式=limn→∞∑ni=1sini-1nπ1n

=1πl(wèi)imn→∞∑ni=1sini-1nππn

=1π∫π0sinxdx=2π.

解2：也可以整理成關(guān)于i-1n的表達(dá)式.

解3：也可添加sinnπn，看作ξi取小區(qū)間右端點(diǎn)的情況.

limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn+sinnπn

=limn→∞∑ni=1sininπ1n

=1π∫π0sinxdx=2π，或者=∫10sinπxdx=2π.

（三）ξi取小區(qū)間中點(diǎn)

這是近幾年的數(shù)學(xué)競賽和考研試題中常出現(xiàn)的類型，有難度，但是利用本文的方法能快速確定積分區(qū)間和被積函數(shù).

例3：limn→∞1n312+32+…+（2n-1）2［2023年第十四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽（非數(shù)學(xué)類）試題一、（1）］

解1：①limn→∞1n312+32+…+（2n-1）2=limn→∞∑ni=12i-1n21n；

②此處2i-1n2=f2i-1n，看到有奇數(shù)2i-1出現(xiàn)，可考慮ξi取小區(qū)間中點(diǎn)的類型，即有a+2i-12n（b-a）=2i-1n，從而推出a=0，b-a2=1，即a=0，b=2；

③fa+2i-12n（b-a）=f2i-1n=2i-1n2f（x）=x2；

④Δxi=b-an=2n；

故原式=limn→∞∑ni=12i-1n21n

=12limn→∞∑ni=12i-1n22n

=12∫baf（x）dx

=12∫20x2dx=43.

解2：也可以整理成關(guān)于2i-12n的表達(dá)式.

例4［2］：limn→∞1ncosπ4n+cos3π4n+…+cos（2n-1）π4n

解1：①limn→∞1ncosπ4n+cos3π4n+…+cos（2n-1）π4n=limn→∞∑ni=1cos（2i-1）π4n1n；

②此處cos（2i-1）π4n=f2i-14nπ，看到有奇數(shù)2i-1出現(xiàn)，可考慮ξi取小區(qū)間中點(diǎn)的類型，即有a+2i-12n（b-a）=2i-14nπ，從而推出a=0，b-a=π2，即a=0，b=π2；

③fa+2i-12n（b-a）=f2i-14nπ

=cos（2i-1）π4nf（x）

=cosx；

④Δxi=b-an=π2n；

故原式=limn→∞∑ni=1cos（2i-1）π4n1n

=limn→∞2π∑ni=1cos（2i-1）π4nπ2n

=2π∫π20cosxdx

=2π.

解2：也可以整理成關(guān)于2i-12n的表達(dá)式.

在參考文獻(xiàn)［2］中，此題是利用三角函數(shù)的積化和差公式求解，不易想到，而利用定積分定義會非常簡單.

注：以上方法可直接推廣到其他等分的情況.

結(jié)語

本文總結(jié)了利用定積分定義求極限的常見類型，并給出了求解步驟以及確定積分上下限和被積函數(shù)的公式，思路清晰，計(jì)算過程簡捷.不僅能幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地計(jì)算這類和式極限，還有利于培養(yǎng)學(xué)生對解題方法進(jìn)行歸納、總結(jié)和分析的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2021：199200.

［2］蒲和平.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽教程［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2014：56.

基金項(xiàng)目：河北省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目：圖的匹配書嵌入研究（A2021202013）；河北省研究生示范課程立項(xiàng)建設(shè)項(xiàng)目：拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)（KCJSX2024018）；河北工業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：基于BOPPPS模型的新工科數(shù)學(xué)分析混合式教學(xué)改革研究與實(shí)踐（202102001）；河北工業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：基于混合式教學(xué)的高等數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)改革探索與實(shí)踐（202302016）

作者簡介：李慧云（1978—），女，漢族，河北高陽人，碩士，講師，研究方向：隨機(jī)分析、最優(yōu)化算法。