王韻涵 侯汶君 馮潔 李紅梅

［摘 要］對(duì)于水中物體的折射成像，教師常結(jié)合小孩叉魚、池底變淺等例子進(jìn)行講解，但對(duì)于水中物體折射成像的位置描述卻不夠科學(xué)準(zhǔn)確。文章借助GeoGebra軟件對(duì)水中物體折射形成的虛像位置及其隨視角變化的情況進(jìn)行模擬演示，通過虛擬仿真手段直觀、完整地展示水中物體折射成像問題的實(shí)質(zhì)，并在教學(xué)中呈現(xiàn)更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膱D示，幫助師生深度理解水中物體折射成像的原理。

［關(guān)鍵詞］水中物體；折射成像；GeoGebra軟件

［中圖分類號(hào)］??? G633.7??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］??? A??????? ［文章編號(hào)］??? 1674-6058（2024）14-0040-04

一、 問題的由來

［題目］（2022年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試物理第24題）小華偶然間豎直向下看到放在玻璃磚下面的字發(fā)生了錯(cuò)位。

（1）他想光斜射時(shí)才發(fā)生偏折，才會(huì)出現(xiàn)“池底變淺”的現(xiàn)象。那么，光在垂直入射時(shí)，光線不再偏折，還會(huì)有“池底變淺”的現(xiàn)象嗎？上述過程，在科學(xué)探究中叫作??????????????? （選填“設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)”“提出問題”或“分析論證”）。

（2）①聯(lián)想到“平面鏡成像”找像位置的方法，于是他按如圖1甲所示將玻璃磚緊貼物體擺放在水平桌面上的一張白紙上，標(biāo)記出物體的位置。按照?qǐng)D1乙的方式沿水平方向觀察物體（觀察盒上的條形碼）。當(dāng)看到物體經(jīng)玻璃磚成的像時(shí)，前后移動(dòng)小卡片，使小卡片與像在同一個(gè)平面上，將小卡片此時(shí)的位置標(biāo)記在白紙上，這樣就找到了放置一塊玻璃磚時(shí)????????? 的位置。

②隨后，他將玻璃磚離開物體向觀察者移動(dòng)一小段距離后進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)像的位置不變，說明玻璃磚與物體的距離??????????? 影響成像位置（選填“會(huì)”或“不會(huì)”）。

[俯視圖????????????? 一塊玻璃磚?????????? 兩塊玻璃磚??????????? 三塊玻璃磚][甲??????????????????????????? 乙????????????????????????? 丙????????????????????????? 丁][厚度][小卡片][小卡片][小卡片]

圖1

（3）為了觀察不同厚度玻璃的成像情況，他將第二塊相同玻璃磚緊貼在第一塊后面，如圖1丙所示，觀察并記錄像的位置；他再將第三塊相同玻璃磚緊貼在前兩塊后面，如圖1丁所示，觀察并記錄像的位置。記錄數(shù)據(jù)如圖2所示。

[物體的位置][一塊玻璃磚時(shí)像的位置][兩塊玻璃磚時(shí)像的位置][三塊玻璃磚時(shí)像的位置][2.13 cm][2.15 cm][2.35 cm]

圖2

①分析圖2的數(shù)據(jù)可知，用一塊玻璃磚觀察時(shí)，像與物體的距離是?????????? cm；

②三次實(shí)驗(yàn)都說明了光在垂直入射時(shí)，像的位置會(huì)???????? ?????觀察者（選填“靠近”或“遠(yuǎn)離”）。

（4）從圖2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還可以得出：玻璃的厚度越厚，像與物的距離越?????????? 。

（5）從以上探究可知，從豎直方向看到的池底比它的實(shí)際位置???????????? （選填“淺”或“深”）。

分析：這一道探究題，基于真實(shí)情境設(shè)置問題，從設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、收集證據(jù)、分析論證等方面對(duì)學(xué)生的科學(xué)探究能力進(jìn)行考查。光的折射是生活中常見的現(xiàn)象，教師常結(jié)合小孩叉魚、池底變淺等例子來進(jìn)行解釋，但在解釋這些現(xiàn)象背后的原理時(shí)往往只提到當(dāng)光線斜射入其他介質(zhì)時(shí)折射角小于入射角，當(dāng)光垂直入射時(shí)光線的傳播方向不變。在講解時(shí)也只是進(jìn)行了“虛像在魚上方”“水看起來變淺”等的描述，而對(duì)于當(dāng)視角變化時(shí)折射成像位置發(fā)生變化的情況以及光線垂直入射時(shí)折射成像的位置并不提及。

本題對(duì)于光線垂直水面入射時(shí)的成像位置提出疑問，而后用玻璃磚與小卡片進(jìn)行定性探究，最后得出結(jié)論。按照題中的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)雖然能夠根據(jù)現(xiàn)象得出結(jié)論，但仍然無法清晰地體現(xiàn)變化規(guī)律以及成像特點(diǎn)。借助GeoGebra軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)運(yùn)算以及動(dòng)態(tài)模擬功能，建立物理模型，通過動(dòng)態(tài)、立體圖示，可以準(zhǔn)確直觀地表征和解釋水中物體折射成像的位置問題，清晰體現(xiàn)其變化規(guī)律以及成像特點(diǎn)。

二、憑借主觀經(jīng)驗(yàn)繪圖存在的缺陷

水中物體折射成像的光路圖如圖3所示。位于[P]點(diǎn)的物體發(fā)出兩條靠得很近的光線[PA1]和[PA2]，由于水的折射率[n1]大于空氣的折射率[n2]，折射光線[A1B1]和[A2B2]向遠(yuǎn)離法線的一側(cè)偏折。精確的折射角度依據(jù)光的折射定律[n1sinθ1=n2sinθ2]來確定。此時(shí)，觀察者逆著折射光線看向水中，看到的物體位置應(yīng)位于兩條折射光線[A1B1]和[A2B2]的反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)[P′]處。

如圖3所示，當(dāng)水中的物體發(fā)出的光斜射入人眼時(shí)，物體的真實(shí)位置在豎直方向上且在觀察者看到的像的位置下方，在水平方向上會(huì)比虛像更遠(yuǎn)離觀察者［1］。但在實(shí)際作圖時(shí)，由于折射角的計(jì)算涉及反三角函數(shù)，往往不能即時(shí)得出精確的角度，于是教師在講解時(shí)常常通過估測(cè)，先畫出兩條折射光線，再標(biāo)注折射角，最后反向延長(zhǎng)使之相交，得出虛像的位置。教師由于沒有利用光的折射定律進(jìn)行計(jì)算，直接憑借主觀經(jīng)驗(yàn)畫出折射光線，因此常會(huì)出現(xiàn)光線偏折程度不當(dāng)，甚至出現(xiàn)入射角大于臨界角的情況，與全反射規(guī)律相違背。這樣的作圖方式缺乏科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性，于教師專業(yè)發(fā)展不利，同時(shí)也會(huì)影響學(xué)生實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度的培養(yǎng)。

另外，教師在黑板上即時(shí)繪圖并不能連貫地向?qū)W生演示隨著觀察者視角的變化虛像位置的變化情況。即使嚴(yán)格按照光的折射定律進(jìn)行計(jì)算，其過程也較為煩瑣，耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)且不夠直觀，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律以及一些特殊情況下（如光線垂直入射時(shí)）的折射成像特點(diǎn)。

三、借助GeoGebra軟件直觀演示水中物體折射成像的位置變化

基于上述分析，借助GeoGebra軟件來準(zhǔn)確直觀地演示水中物體折射成像的位置變化。

（一）基于單心光束的水中物體折射成像的位置演示

從水中物體發(fā)出的光束如果在水與空氣的分界面發(fā)生折射后仍是單心光束，就說明光線的方向雖然改變，但折射光束中的所有光線的反向延長(zhǎng)線仍能匯聚于同一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是像點(diǎn)。因此，只需要考慮任意兩條折射光線，作出其反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，就能找到水中物體折射所成的虛像的位置。

如圖4所示建立[xOy]平面，光源[P]在[y]軸上，考慮從[P]發(fā)出的兩條光線[PA1]和[PA2]，利用GeoGebra軟件的“角度”工具直接測(cè)出入射角[α1]和[β1]，輸入光的折射定律公式，利用GeoGebra軟件的運(yùn)算功能即可直接得出折射角[α2]和[β2]的大小，再根據(jù)折射角繪制折射光線。將兩條折射光線[A1B1]和[A2B2]反向延長(zhǎng)分別交[y]軸于[P1]、[P2]點(diǎn)，并且它們?cè)赱xOy]平面上相交于[P′]點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是此時(shí)虛像的位置。

隨著觀察者在岸上走動(dòng)，虛像的位置也會(huì)隨之變化，因此設(shè)置[P′]的屬性為顯示蹤跡，啟動(dòng)[A1]、[A2]動(dòng)畫，這兩點(diǎn)將向右移動(dòng)，表示觀察者的視角發(fā)生變化，逐漸遠(yuǎn)離水中的物體[P]，而虛像[P′]的位置將隨觀察者視角的改變而改變，并顯示出其軌跡（如圖5）。

[O][P2][P1][P][y][n2][n1][x][B2][B1][A1][A2][P′][β2=89.11°][β1=48.75°][α2=65.2°][α1=13.04°]

圖5

根據(jù)光學(xué)原理，設(shè)[P]點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y），則[P′]點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)［2］分別為

[x'=yn21n22-1tanα31]????????????????????????????????????? （1）

[y'=yn2n11-n21n22-1tanα2132]????? ???????????????（2）

（二）基于較大范圍內(nèi)光束的水中物體折射成像的位置演示

水中物體發(fā)出的光束如果所占范圍較大，從[P]點(diǎn)發(fā)出時(shí)是一束單心空間光束，但經(jīng)過折射后可能不再保持其單心性，那么就需要考慮折射光束的空間分布。由于平時(shí)在黑板或紙面上作圖，受限于二維平面，因此難以描述三維空間中光的折射情況，而利用GeoGebra軟件的3D繪圖功能可以直觀演示三維空間中光的折射成像情況。

建立三維坐標(biāo)系，選[x]軸上的任意兩點(diǎn)[A1]、[A2]為入射點(diǎn)，此時(shí)光源[P]在[A1A2]范圍內(nèi)發(fā)出的單心光束如圖6所示。

輸入光的折射定律公式后得到折射光線，并將其反向延長(zhǎng)，可以看出折射光束中所有光線的延長(zhǎng)線并不交于同一個(gè)點(diǎn)，而是交[y]軸于線段[P1P2]的范圍內(nèi)。同時(shí)，[P′]點(diǎn)描出一段很短的弧，可近似看作垂直于[xOy]平面的一小段直線，折射光束中所有光線的延長(zhǎng)線也分別交于這一小段直線上的各個(gè)點(diǎn)［3］，如圖7所示。

[B1][B2][n2=1][n1=1.33][x][A2][β1=40.679°][β2=60.104°][A1][α2=28.593°][α1=21.09°][O][y][P2][P1][P′] [z]

（a）從z軸正向往z軸負(fù)向看

[y][z][n2=1][n1=1.33][B1][O][P2][P′][α2=28.593°][α1=21.09°]

（b）從x軸負(fù)向往x軸正向看

圖7

由此可見，當(dāng)水中物體發(fā)出的光束所占范圍較大時(shí)，折射光束不再保持單心性，而成為像散光束，折射光線的反向延長(zhǎng)線不再交于一點(diǎn)，整個(gè)區(qū)域有很多可能的交點(diǎn)［4］。因此，當(dāng)觀察者處于光束[PA1A2]范圍內(nèi)的不同空間位置處時(shí)，交點(diǎn)[P′]的位置也會(huì)有所不同，虛像的位置也會(huì)不同［5］。

當(dāng)觀察者在水中物體的正上方豎直向下看時(shí)，[P]點(diǎn)所發(fā)出的光線幾乎垂直于分界面，即入射角[α1=0]時(shí)，由式（1）和式（2）得像點(diǎn)[P′]的坐標(biāo)［6］為：

[x'=0]，[y'=y1=y2=n2n1y]???????????????????????????? （3）

此時(shí)[P1]、[P2]、[P′]三點(diǎn)幾乎重合在一起，折射光束仍保持單心性，由于[n1>n2]，則[y′>y]，虛像的位置位于真實(shí)物體的上方，如圖8所示。

現(xiàn)在再來回顧2022年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試物理試題第24題，這道實(shí)驗(yàn)探究題中物體的位置代表池底的位置，玻璃磚的厚度代表池子的深度，小卡片的位置代表光在垂直入射時(shí)池底折射成像的位置。題目的第（3）（4）問提出的問題是當(dāng)玻璃磚的厚度不同時(shí)，求像與觀察者的距離關(guān)系以及像與物的距離關(guān)系。利用GeoGebra軟件建立的模型來模擬實(shí)驗(yàn)情境，[xOz]平面代表池子水面，池底[P]在[y]軸上，觀察者位于[O]點(diǎn)處，改變?nèi)肷浣鞘构饩€垂直水面入射，題目中依次增加玻璃磚的數(shù)量意味著池底到觀察者的距離越來越遠(yuǎn)，于是向[y]軸正方向拖動(dòng)[P]點(diǎn)，表示逐漸增加池子的深度，如圖9所示。

[O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′= 3.559][物體的深度y=4.734][像與物體的距離d=y-y'=1.175][（a）當(dāng)池子深度為4.734時(shí)的折射成像情況] [O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′= 6.22][物體的深度y=8.272][像與物體的距離d=y-y'=2.052][（b）當(dāng)池子深度為8.272時(shí)的折射成像情況][P][P]

[O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′=10.764][物體的深度y=14.316][像與物體的距離d=y-y'=3.552][P][（d）當(dāng)池子深度為14.316時(shí)的折射成像情況][O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′= 8.326][物體的深度y=11.073][像與物體的距離d=y-y'=2.747][（c）當(dāng)池子深度為11.073時(shí)的折射成像情況][P]

圖9

用[y]來表示物體與觀察者的距離，即物體的深度，用[y′]來表示像與觀察者的距離，即像的深度，設(shè)置公式計(jì)算并顯示出[y]與[y′]之差以及[y′]與[y]之比，精確度為保留3位小數(shù)。仔細(xì)觀察[P]點(diǎn)折射所成像的位置[P′]點(diǎn)，分析[P]與[P′]點(diǎn)的坐標(biāo)，得出以下結(jié)論：①光在垂直入射時(shí)，像的位置會(huì)比物體的實(shí)際位置更靠近觀察者，也就是我們看到的“池底變淺”的現(xiàn)象；②物體與觀察者的距離越大，折射所成的像與觀察者的距離越大，像與物的距離也越大；③在光線垂直入射時(shí)，無論物體與觀察者的距離是多少，像的深度與物體的深度之比始終不變，其值的大小為兩種介質(zhì)的折射率[n2]與[n1]之比，與式（3）相符合。

四、總結(jié)

受限于復(fù)雜的計(jì)算以及煩瑣的繪圖步驟，教師在講解水中物體折射成像時(shí)往往根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)，大概地畫出光線的偏折程度以及所成虛像的位置。這樣的繪畫方式不夠規(guī)范，甚至有可能產(chǎn)生科學(xué)性錯(cuò)誤，影響學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。借助GeoGebra軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)運(yùn)算以及動(dòng)態(tài)模擬功能，可以準(zhǔn)確地解釋水中物體折射成像的規(guī)律，幫助學(xué)生加深對(duì)光的折射知識(shí)的理解。希望本文有關(guān)GeoGebra軟件的應(yīng)用能夠?qū)χ袑W(xué)教師有所啟發(fā)，促使中學(xué)教師應(yīng)用GeoGebro軟件輔助教學(xué)，從而取得更好的教學(xué)效果。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

［1］? 董霞，張雄，徐曉梅，等．“魚在哪里”：中學(xué)物理教學(xué)中的折射解析［J］.物理教師，2013（11）：59-60，62.

［2］［3］［6］? 姚啟鈞.光學(xué)教程［M］.5版.北京：高等教育出版社，2014.

［4］［5］? 汪志榮，蘇銀鳳.物理教科書光學(xué)插圖設(shè)計(jì)問題與對(duì)策：基于8種版本初中物理教科書折射成像插圖分析［J］.物理教師，2019（2）：27-32，36.

（責(zé)任編輯 黃春香）

［基金項(xiàng)目］2022年度教育部高等學(xué)校大學(xué)物理課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)大中物理教育銜接工作委員會(huì)教學(xué)研究課題（項(xiàng)目編號(hào)：WX202214）。

［通信作者］李紅梅（1972— ），女，云南人，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橹袑W(xué)物理教學(xué)研究、實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新研究。