林旭

［摘 要］文章從“還原化”解讀教材邊緣知識的來龍去脈、“內(nèi)涵化”解讀教材公式的內(nèi)在本質(zhì)、“結(jié)構(gòu)化”解讀教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)、“建?；苯庾x教材知識的應(yīng)用價值、“拓展化”解讀教材的文化素材五個方面探討如何通過深度解讀教材來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］教材；深度解讀；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0008-03

高中數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要依據(jù)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理思維和創(chuàng)新能力的重要載體，在提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面起著至關(guān)重要的作用，而且對促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展具有重要意義。高中數(shù)學(xué)教材比較注重結(jié)合學(xué)生的實際需求和學(xué)習(xí)特點，采用易于學(xué)生理解和接受的方式和方法進(jìn)行編排，但對于邊緣知識的來龍去脈、公式定理背后承載的數(shù)學(xué)思想方法等卻沒有給予具體呈現(xiàn)。對此，高中數(shù)學(xué)教師要深度解讀教材，理解教材知識的本質(zhì)內(nèi)涵，還原邊緣知識的來龍去脈，挖掘公式定理背后承載的數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)構(gòu)化梳理教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，深入挖掘教材知識的應(yīng)用價值，有效拓展教材的文化素材，以更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。本文從五個方面探討如何通過深度解讀教材來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為教師解讀教材和提升學(xué)生素養(yǎng)提供參考。

一、“還原化”解讀教材邊緣知識的來龍去脈，幫助學(xué)生去偽存真，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

教材是由一批經(jīng)驗豐富的教師、教育專家和研究人員精心策劃、編寫而成的。教材編寫者為了便于學(xué)生理解和接受，將教材內(nèi)容設(shè)計得簡潔明了。雖然精簡的教材能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識，但是由于隱去了一些邊緣知識的說理過程，使學(xué)生產(chǎn)生了困惑。對此，教師要“還原化”解讀教材邊緣知識的來龍去脈，幫助學(xué)生去偽存真，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

［案例1］判斷命題是否正確：向量[a，b]，若[a·b=0]，則[a⊥b]。

對于這個命題，大部分學(xué)生給出“命題正確”的答案。他們對零向量這一特殊情況是這樣解讀的：因為課本規(guī)定零向量的方向是任意的，所以零向量跟任意向量的夾角也可以是[0，π]之間的任意值，因此零向量可以跟任意向量垂直。這部分學(xué)生認(rèn)為這個命題是真命題。教材規(guī)定零向量的方向是任意的，同時又規(guī)定零向量跟任意向量平行，但為什么這樣規(guī)定并沒有給出說理過程，也沒有對零向量為什么不跟任意向量垂直給出說明，這就使得學(xué)生產(chǎn)生困惑，甚至導(dǎo)致學(xué)生解題出錯。這就需要教師對零向量方向的規(guī)定過程進(jìn)行還原。首先，零向量是向量加減運算的單位元，它使向量加減運算形成一個閉環(huán)。其次，根據(jù)向量的加法法則，兩個共線向量的和向量與這兩個共線向量平行。再次，兩個相反向量的和向量是零向量，因此零向量可以跟任意一對相反向量平行，所以零向量跟任意向量平行，進(jìn)而可以說明規(guī)定零向量的方向是任意的合理性。最后，零向量不是向量數(shù)量積的單位元，零向量與任意向量的數(shù)量積為零，是因為零向量的模長為零，并不是因為零向量與其他向量垂直。因此，零向量只能跟任意向量平行，而不能跟任意向量垂直。經(jīng)過這樣的探索、辨析，學(xué)生對零向量的方向規(guī)定有了更加明晰的認(rèn)識，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高了解題的正確率。

通過“還原化”解讀教材邊緣知識的來龍去脈，可以讓學(xué)生體會教材知識的價值和意義，使其更加主動、積極地學(xué)習(xí)，同時還可以提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

二、“內(nèi)涵化”解讀教材公式的內(nèi)在本質(zhì)，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

公式是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，理解公式的內(nèi)在本質(zhì)對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)至關(guān)重要。數(shù)學(xué)公式作為表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的基本方式，具有相對穩(wěn)定的形式和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系。然而，很多學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的含義和推導(dǎo)過程了解不夠，導(dǎo)致在解題過程中產(chǎn)生困惑和誤解。每一個數(shù)學(xué)公式都是在大量實踐和探索的基礎(chǔ)上得出的，它們承載著數(shù)學(xué)思想和定理的獨特表達(dá)。通過深入研究教材中的數(shù)學(xué)公式的內(nèi)涵和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)公式的意義和應(yīng)用價值。

［案例2］等差數(shù)列前[n]項和公式有兩個，公式一：[Sn=（a1+an）2n]，公式二：[Sn=a1n+n（n-1）2d]。對于這兩個公式，學(xué)生常常只關(guān)注其形式，而忽略了其內(nèi)涵和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。公式一體現(xiàn)的是等差數(shù)列平均數(shù)的數(shù)字特征，[n]個數(shù)的和等于這[n]個數(shù)的平均數(shù)乘以[n]，說明等差數(shù)列的平均數(shù)等于首項與尾項兩個數(shù)的平均值，等于這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。理解了這一點，就能輕松寫出[S2n+1=（2n+1）an+1]，并很好地去應(yīng)用它。例如[S5=15]，理解了公式一的本質(zhì)后，學(xué)生就能輕易地算出[a3=3]。公式二除體現(xiàn)基本量外，最重要的是說明等差數(shù)列前[n]項和是特殊的二次函數(shù)，體現(xiàn)了函數(shù)思想。理解了這一點，學(xué)生就能用求二次函數(shù)最值的方法求等差數(shù)列前[n]項和的最值。

數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，反映了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律。通過深入理解數(shù)學(xué)公式的內(nèi)在本質(zhì)，學(xué)生可以更好地抽象問題、分析問題和解決問題?？傊?，通過深入解讀數(shù)學(xué)公式的內(nèi)在本質(zhì)，學(xué)生可以更好地理解公式的含義及邏輯結(jié)構(gòu)和應(yīng)用方法，提高解題的準(zhǔn)確性和效率。因此，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對教材中的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行“內(nèi)涵化”解讀，幫助他們理解數(shù)學(xué)公式的內(nèi)在本質(zhì)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

三、“結(jié)構(gòu)化”解讀教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，幫助學(xué)生構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

教材中的知識點相互關(guān)聯(lián)，形成一個完整的體系?！敖Y(jié)構(gòu)化”解讀教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，可以幫助學(xué)生構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識體系，讓學(xué)生清晰地了解知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而深刻理解和牢固掌握知識。

［案例3］在學(xué)習(xí)人教版必修1“基本初等函數(shù)”章節(jié)時，學(xué)生對指對冪運算與指對冪函數(shù)的學(xué)習(xí)存在困難。對此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對指對冪運算及指對冪函數(shù)進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”解讀。指對冪運算源于同一個方程[aN=b]，這是一個三元方程。知二求一，知[a、b]求[N]就是對數(shù)運算；知[N、a]求[b]就是指數(shù)運算。指對冪函數(shù)也同樣源于[aN=b]這個方程，當(dāng)[a]固定，[b]隨著[N]的變化而變化就產(chǎn)生了指數(shù)函數(shù)[b=aN]；當(dāng)[N]固定，[b]隨著[a]的變化而變化就產(chǎn)生了冪函數(shù)[b=aN]；當(dāng)[a]固定，[N]隨著[b]的變化而變化就產(chǎn)生了對數(shù)函數(shù)[N=logab]。這樣進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”解讀，可讓學(xué)生清晰地了解指對冪運算及指對冪函數(shù)之間的本質(zhì)關(guān)系，從而降低學(xué)生對指對冪運算與指對冪函數(shù)的理解難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

“結(jié)構(gòu)化”解讀教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，對知識點間的聯(lián)系進(jìn)行整理和歸類，可以使得知識更加有條理、更加易于理解和記憶，幫助學(xué)生構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識體系。

總之，“結(jié)構(gòu)化”解讀教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)可以幫助學(xué)生清晰地了解知識點之間的本質(zhì)聯(lián)系和結(jié)構(gòu)層次，構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識體系，把握知識點的學(xué)習(xí)主線和重點。通過掌握教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，學(xué)生可以更好地理解知識，并學(xué)會靈活運用知識。在教學(xué)中教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”解讀，幫助他們構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

四、“建?；苯庾x教材知識的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是為了應(yīng)付考試，更重要的是將數(shù)學(xué)知識運用到實際生活中。教師可以選取一些與學(xué)生生活緊密相關(guān)的例子和問題，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和推理，培養(yǎng)他們運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。在“建?；苯庾x教材知識的應(yīng)用價值的過程中，學(xué)生需要關(guān)注數(shù)學(xué)問題背后的思想方法和原理。教材中的例題和習(xí)題并不僅僅是為了讓學(xué)生掌握具體的計算技巧，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

［案例4］湘教版教材選擇性必修第一冊P194習(xí)題4.3第2題。

求證：[mCmn=nCm-1n-1]（[m]，[n∈N+，n≥2]）。

這道題的證明除可以用公式恒等變形外，還應(yīng)關(guān)注“排列”與“組合”的核心內(nèi)容：實際生活情境中的計數(shù)問題。可以賦予這道題實際情境將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情境模型，例如從[n]個學(xué)生中選出[m]個學(xué)生參加合唱團(tuán)，再從這[m]個學(xué)生中選出一個合唱指揮，問有多少種選法？這個計數(shù)問題有兩種解法。解法一為直接法，即[mCmn]，解法二為先從[n]個學(xué)生中選出一個合唱指揮，再從剩下的[n-1]個學(xué)生中選出[m-1]個學(xué)生，即[nCm-1n-1]，則[mCmn=nCm-1n-1]，等式得證。這種“建?；苯忸}，不僅能讓學(xué)生耳目一新，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題能力。

通過“建?；苯庾x教材，學(xué)生不僅可以深入地理解教材知識，還可以更好地培養(yǎng)思維能力和解決問題能力。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)注重“建模化”解讀教材，引導(dǎo)學(xué)生思考問題背后的思想和原理，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

五、“拓展化”解讀教材的文化素材，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷，落實立德樹人根本任務(wù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》 指出， 高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。目前，高中數(shù)學(xué)新教材加入了很多關(guān)于中國傳統(tǒng)文化的素材，教師應(yīng)“拓展化”解讀教材的文化素材，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷，從而落實立德樹人根本任務(wù)。

［案例5］湘教版教材選擇性必修第一冊第4章章末數(shù)學(xué)文化閱讀材料中用了較大篇幅介紹楊輝三角。楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)文化的一塊瑰寶，它可以跟組合、數(shù)列、概率等知識點交匯命題來考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，具有廣泛的應(yīng)用價值。數(shù)學(xué)高考試卷多次出現(xiàn)以楊輝三角為背景的題目。楊輝三角不僅蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識，還蘊(yùn)含深厚的數(shù)學(xué)思想方法。鑒于此，筆者在教學(xué)完第4章后設(shè)計了一節(jié)“楊輝三角的奧秘你知道多少？”的研學(xué)課。課前，讓學(xué)生分組查閱楊輝三角的相關(guān)資料；課中，讓各小組派代表分享查閱成果。來自4個小組的代表分享了楊輝三角與二項式定理系數(shù)的幾個相關(guān)性質(zhì)及楊輝三角的發(fā)展史。其他5個小組分享了課本中無法得到的材料，其中下面兩個小組代表的發(fā)言引起其他同學(xué)的興趣。

學(xué)生甲認(rèn)為楊輝三角可以求[N]次方根的解或其近似值，并給出如何求解[x3=2024]的具體過程：因為[103<2024<203]，故可設(shè)[x=10+t]，則[（10+t）3=2024]，按照楊輝三角第4行系數(shù)展開有[103+3×102t+3×10t2+t3=2024]，整理得[t3+30t2+300t=1024]。之后估計[t]的值，明顯[2

學(xué)生乙分別給出了楊輝三角與斐波那契數(shù)列、楊輝三角與萊布尼茨三角、楊輝三角與謝爾賓斯基三角形的關(guān)系。

這種“拓展化”解讀教材的文化素材的活動深受學(xué)生喜愛。它不僅拓展了許多課外知識，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還弘揚了中國傳統(tǒng)文化，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的魅力，培養(yǎng)了學(xué)生的愛國情懷，落實了立德樹人根本任務(wù)。

綜上所述，教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要載體，教師的教學(xué)必須根植于教材，但又不能局限于教材。高中數(shù)學(xué)教師必須深度解讀教材，理解教材知識的本質(zhì)內(nèi)涵，還原邊緣知識的來龍去脈，挖掘公式定理背后承載的數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)構(gòu)化梳理教材知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，深入挖掘教材知識的應(yīng)用價值，有效拓展教材的文化素材。只有這樣，才能讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識變成動態(tài)的、指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加富有意義。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)識到解讀教材的重要性，為學(xué)生提供更加豐富和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

［1］? 游明霞.高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計思路探析與實施策略［J］.福建基礎(chǔ)教育研究，2019（2）：48-49，75.

［2］? 陳民.核心素養(yǎng)視角下的優(yōu)效課堂中的“五度”問題［J］.科普童話，2019（23）：3.

（責(zé)任編輯 黃春香）