摘 要：數(shù)學(xué)建模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對復(fù)雜的現(xiàn)實問題進(jìn)行抽象和轉(zhuǎn)化，揭示其內(nèi)在的規(guī)律和邏輯。為增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力，深入探討數(shù)學(xué)建模的重要性，結(jié)合案例分析學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的現(xiàn)狀，探究高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有效策略，并提出高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)思路，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；創(chuàng)新意識

基金項目：本文系2023年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目“高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的研究”（立項編號：JCJYC2303170006）研究成果。

作者簡介：鄭記科（1982—），男，河南省駐馬店高級中學(xué)。

一、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要性

“數(shù)學(xué)建模”從2020年起正式納入普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，各版教材將數(shù)學(xué)建模作為必修章節(jié)，并明確了相應(yīng)的課時要求。作為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中所述核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)建模與其他五個核心素養(yǎng)緊密關(guān)聯(lián)、相互滲透?！皵?shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動”被確立為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四大主線之一，并明確了相應(yīng)的課時要求［1］。數(shù)學(xué)建?；顒右殉蔀榕囵B(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和實踐能力的重要途徑，學(xué)生在實際問題的驅(qū)動下主動探索、構(gòu)建模型、尋求應(yīng)用，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的緊密結(jié)合。學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力，有助于他們掌握數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯體系，形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡(luò)。

二、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)

數(shù)學(xué)建模是將實際問題中的因素進(jìn)行簡化，抽象成數(shù)學(xué)中的參數(shù)和變量，運(yùn)用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行求解和驗證，利用計算機(jī)編程得出結(jié)果的活動。數(shù)學(xué)建模的主要過程：發(fā)現(xiàn)問題，提出問題；建立模型，求解檢驗；完善模型；分析和解決問題。高中數(shù)學(xué)建模的主要知識載體：平面向量及應(yīng)用、復(fù)數(shù)、概率、數(shù)列、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何和計數(shù)原理。

三、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐策略

（一）注重數(shù)學(xué)建模意識

數(shù)學(xué)建模課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主性、創(chuàng)新性，鼓勵學(xué)生開展深入的討論和辯論，尋找解決問題的最優(yōu)策略。這種教學(xué)理念有助于激發(fā)學(xué)生的思維火花，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使他們具備創(chuàng)新解決問題的能力。為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用意識，教師在教學(xué)過程中應(yīng)采取一系列措施，讓學(xué)生了解知識的實際應(yīng)用背景，將數(shù)學(xué)問題與實際生活相聯(lián)系。例如，在講解不等式、線性相關(guān)等概念時，可以結(jié)合一些實際問題和現(xiàn)象進(jìn)行講解，讓學(xué)生更加深入地理解這些概念的應(yīng)用價值。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)建?；顒拥哪康脑谟谝龑?dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識運(yùn)用到現(xiàn)實情境中，使其學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

（二）融入跨學(xué)科教學(xué)

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科的應(yīng)用與實踐。在選擇建模案例時，教師應(yīng)適當(dāng)考慮那些與物理、化學(xué)、生物等其他學(xué)科有所關(guān)聯(lián)的主題。例如，在生物領(lǐng)域，基因的排列與組合是一個復(fù)雜的問題。通過結(jié)合數(shù)學(xué)的排列組合理論，學(xué)生可以更直觀地理解基因的多樣性與復(fù)雜性。這種跨學(xué)科學(xué)習(xí)不僅有助于學(xué)生解決生物領(lǐng)域的難題，還能培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模思維，提高其解決實際問題的能力。

（三）強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊合作和交流

數(shù)學(xué)建模往往需要團(tuán)隊協(xié)作與交流，每個人都有自己的特長和愛好，通過有效的溝通和協(xié)作，可以更好地發(fā)揮個人優(yōu)勢，達(dá)到共同進(jìn)步的目標(biāo)。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)和專長進(jìn)行合理分組，使團(tuán)隊成員能夠發(fā)揮自己的優(yōu)勢，互相學(xué)習(xí)。通過組織小組討論、團(tuán)隊活動等方式，鼓勵學(xué)生積極參與，分享意見，提高團(tuán)隊協(xié)作效率。此外，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對建模過程進(jìn)行反思和總結(jié)。

（四）有效運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件

在數(shù)學(xué)建模過程中，我們經(jīng)常會用數(shù)學(xué)軟件來完成數(shù)值計算、數(shù)據(jù)分析和可視化等任務(wù)。因此，教師可以為學(xué)生介紹一系列常用的數(shù)學(xué)軟件，比如MATLAB、Python、SPSS等。教學(xué)可從三個方面著手：介紹常用數(shù)學(xué)軟件，指導(dǎo)實際應(yīng)用案例，培養(yǎng)創(chuàng)新和實踐能力。

四、數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例

以數(shù)學(xué)建模的方式培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程是一個系統(tǒng)性、綜合性的教育過程，旨在提升學(xué)生的思維能力、解決問題的能力以及跨學(xué)科應(yīng)用的能力。具體數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式如圖1所示。

本研究以“測高”為例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐。

（一）提出問題：確立建模主題

項目名稱：數(shù)學(xué)建模活動——測高

（二）探索思路：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1.探索方案

（1）可接觸物體

模型a：仰角法（如圖2所示）

測算步驟：測出長度h1、L以及角的值，用計算器求出的數(shù)值，再利用公式，即可得出高度。

模型b：距離法（如圖3所示）

測算步驟：測出長度L1、L2和高度H1，基于相似三角形知識，用公式即可得出高度。

（2）不可接觸物體

模型c：四點(diǎn)測高法（如圖4所示）

測算步驟：分別取兩點(diǎn)位測出a1、a2的度數(shù)以及兩點(diǎn)位之間的距離L，求出其中一點(diǎn)位的仰角a3的度數(shù)，利用公式即可得出高度。

2.模型簡評，誤差分析

模型a方法簡單，變量較少，且受外界因素的影響較少，建模關(guān)鍵在于仰角測定的誤差控制以及水平位置的確定，教師應(yīng)對器具和操作步驟進(jìn)行把關(guān)。模型b與模型a相比，省略了角度測量這一容易產(chǎn)生誤差的步驟，可通過測量長度直接測算出高度，但運(yùn)用了“三點(diǎn)一線”的數(shù)學(xué)知識，需要精確確定觀測點(diǎn)的位置。模型c的靈感來源于珠峰高度測算，通過“利用三角形一邊長求高度”的創(chuàng)新思維來解決問題，理論可行但操作難度較大，需要根據(jù)實際情況改進(jìn)建模方法以克服困難。

（三）實驗操作：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模操作

1.模型a

測量工具：激光筆、卷尺、三腳架、尋星鏡、量角器

測量對象：國旗旗桿

測量步驟：先利用激光使旗桿與三腳架在同一水平面上，三維呈現(xiàn)模型a，通過激光和卷尺測算出三腳架中心距旗桿的水平距離L與三腳架高度h1。再通過尋星鏡將其視野中心對準(zhǔn)旗桿頂部并用激光輔助尋找。最后通過量角器得出角θ的值，使用科學(xué)計算器得出結(jié)果。實驗進(jìn)行三組，以平均值作為最終測量結(jié)果。實驗數(shù)據(jù)表格如表1所示。

h總的平均值為18.51 m。經(jīng)查詢，該旗桿高度為18 m，測量結(jié)果在系統(tǒng)誤差允許范圍之內(nèi)。

2.模型b

測量工具：激光筆、三腳架、卷尺

測量對象：高級中學(xué)圖書館

測量步驟：先利用激光筆確定三腳架位置，三維呈現(xiàn)模型b。調(diào)整激光筆位置，使圖書館頂部、三腳架、激光筆三點(diǎn)共線，即激光筆發(fā)射出的激光需要同時出現(xiàn)在圖書館頂部及三腳架的位置（由于光線沿直線傳播，且激光筆有點(diǎn)狀光斑，可以出現(xiàn)二者的疊加態(tài)）。測出激光筆到三腳架距離L1、三腳架到樓底距離L2和三腳架高度H1，利用科學(xué)計算器得出測量結(jié)果。為減小誤差，測定三組數(shù)據(jù)取其平均值。實驗數(shù)據(jù)表格如表2所示。

H2的平均值為20.78 m。遺憾的是，我們未獲取到官方數(shù)據(jù)來證實實驗數(shù)據(jù)，于是小組預(yù)備在模型c中再次測定圖書館高度。

3.模型c

測量工具：尋星鏡、激光筆、卷尺

測量對象：高級中學(xué)圖書館

測量步驟：尋找視野開闊、可自由活動的區(qū)域，通過尋星鏡的觀察地點(diǎn)切換完成模型d的三維呈現(xiàn)。確定好位置后以激光筆為輔助，將尋星鏡的視野中心確定在圖書館頂部一定點(diǎn)處，測出其仰角a1及水平角a2，再將尋星鏡水平平移距離L，重復(fù)上述步驟得出水平角a3，利用科學(xué)計算器得出結(jié)果。為減小誤差，依舊測量三組數(shù)據(jù)，取平均值作為最后結(jié)果。實驗數(shù)據(jù)如表3所示。

H的平均值為21.74 m。與模型b進(jìn)行對照，發(fā)現(xiàn)兩模型測量數(shù)據(jù)相似，在系統(tǒng)誤差的允許范圍內(nèi)，實驗結(jié)果成立。取其平均值，得出圖書館樓的高度H=21.26 m。

（四）實驗結(jié)果與分析：創(chuàng)新思維，利用新方法

在實踐中，三個模型都能夠正常運(yùn)用，得出了理想結(jié)果，但仍然存在一些有可能造成誤差的因素，比如a模型是否保持三腳架始終水平、模型b是否三點(diǎn)共線、c模型的測角誤差與其普適性（視野開闊且能自由移動）。

在實際計算中，面對冗雜、煩瑣的數(shù)據(jù)，人們?nèi)菀壮霈F(xiàn)計算錯誤。為改善計算過程，可使用Python軟件進(jìn)行編程，使計算更為簡便。以模型a為例（斜體部分為具體操作）：

t1=float（input（“輸入角θ的正切值”））

l1=float（input（“輸入L1的長度”））

h1=float（input（“輸入h1的高度”））

print（“建筑物的高度是%.2f”，%（h1+l1*t1））

得出結(jié)果自動保留2位小數(shù)。經(jīng)測試，程序運(yùn)行無誤。

其他模型同理，只需改變輸入?yún)?shù)與運(yùn)算公式即可。編程成功后便可以利用Python進(jìn)行數(shù)據(jù)計算。至此，實驗結(jié)束。

（五）評價與反饋：強(qiáng)化建模意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的具體過程，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)建模的意義。在建模過程中，教師要鼓勵學(xué)生“揚(yáng)長”而不是一味“避短”。許多從未得到過表揚(yáng)的學(xué)生，在數(shù)學(xué)建模過程中展現(xiàn)出自己的特長，比如擅長使用計算機(jī)或者善于在線查找資料，受到了教師的認(rèn)可和鼓勵，從而樹立了學(xué)習(xí)的自信心。因此，在與學(xué)生交流的過程中，教師應(yīng)該及時給予激勵性評價，給學(xué)生提供指導(dǎo)和幫助。教師在設(shè)計評價內(nèi)容時，不僅要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程，關(guān)注學(xué)生之間的個體差異、學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模的前后變化，使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)均有所發(fā)展。通常可以從以下幾個方面觀察和評價學(xué)生：提出的問題是否具有獨(dú)特性，解決方法是否新穎，探究過程是否有效，成果是否具有特色，反思和拓展是否有所收獲，學(xué)習(xí)方法是否得當(dāng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是否有所提升。教師要積極組織建?；顒樱_展數(shù)學(xué)建模大賽，讓更多的學(xué)生參與其中，經(jīng)歷建模的過程，真正解決實際問題，深刻感受數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實意義，通過學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)來提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［2］。

五、總結(jié)

通過數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生可以培養(yǎng)“優(yōu)化”思維、決策能力、建模能力、運(yùn)算能力以及跨學(xué)科思維能力。

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，它要求學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、廣闊的視野和跨學(xué)科的知識整合能力。在指導(dǎo)學(xué)生建模時，教師應(yīng)當(dāng)堅持立德樹人，鼓勵創(chuàng)新，遵循教育教學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)新時代的人才。

［參考文獻(xiàn)］

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：5-6.

史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀［M］.高等教育出版社，2020：103-104.