孫金秋

摘要：學(xué)生學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用時(shí)感覺晦澀難懂，計(jì)算煩瑣，對(duì)該知識(shí)點(diǎn)掌握效果不佳。文章從傅里葉級(jí)數(shù)在高等數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)，以及傅里葉級(jí)數(shù)在后繼課程電路、信號(hào)與系統(tǒng)、電力電子技術(shù)中應(yīng)用的學(xué)習(xí)均借助了Matlab軟件。利用該軟件直觀地觀察傅里葉級(jí)數(shù)，使學(xué)生更好地理解傅里葉級(jí)數(shù)的核心思想。并借助該軟件完成傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)計(jì)算，減輕學(xué)生計(jì)算負(fù)擔(dān)，從而將更多的精力用于采用傅里葉級(jí)數(shù)解決實(shí)際工程問題。實(shí)踐證明，該教學(xué)模式提高了學(xué)生對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用的掌握。

關(guān)鍵詞：傅里葉級(jí)數(shù)；Matlab軟件；教學(xué)；工程問題；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2024）13-0177-04 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID） ：

0 引言

傅里葉級(jí)數(shù)理論的出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的影響，隨后被廣泛地應(yīng)用于電力、電子、計(jì)算機(jī)、通信和控制等多個(gè)領(lǐng)域解決實(shí)際問題[1]。

傅里葉級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)感覺晦澀難懂。即使聽懂的同學(xué)也只會(huì)用部分積分法求傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，然后把函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。而對(duì)于為什么要學(xué)傅里葉級(jí)數(shù)？傅里葉級(jí)數(shù)應(yīng)用于哪些場合？學(xué)生并不知道。很多高校在高等數(shù)學(xué)的授課中只簡單介紹該部分內(nèi)容，并不作為考試內(nèi)容；甚至有的高校將其作為自學(xué)內(nèi)容。導(dǎo)致學(xué)生該部分內(nèi)容的基礎(chǔ)非常薄弱，嚴(yán)重影響后繼課程中采用傅里葉級(jí)數(shù)解決實(shí)際工程問題的學(xué)習(xí)效果。

Matlab是大型的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計(jì)算能力，并可以將復(fù)雜和抽象的事物采用圖像化顯示。對(duì)于理科和工科學(xué)生，將來大部分工作中的運(yùn)算都可以借助Matlab完成[2]。因此本文將Matlab軟件引入傅里葉級(jí)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程中，利用該軟件讓學(xué)生深刻理解傅里葉級(jí)數(shù)，并能夠熟練利用軟件計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)，從而能夠采用傅里葉級(jí)數(shù)高效率解決實(shí)際工程問題。

1 基于Matlab 軟件的傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)探索

1.1 傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)由法國數(shù)學(xué)家傅里葉提出，即滿足條件（狄利克雷條件）的任何周期函數(shù)可以由一系列不同頻率的正弦（余弦）函數(shù)疊加而成。這種相加形式又稱為級(jí)數(shù)，所以也稱為傅里葉級(jí)數(shù)[3]。

A0 稱為周期函數(shù) f（t）的直流分量或恒定分量；A1m cos（Ωt + ?1 ）稱為周期函數(shù)f（t）的基波分量簡稱基波，周期為T；其他各項(xiàng)稱為周期函數(shù) f（t）的高次諧波。

1.2 傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)探索

目前高等數(shù)學(xué)的常規(guī)教學(xué)中，首先講述上述計(jì)算步驟，再討論一下當(dāng)函數(shù)具有對(duì)稱性時(shí)，怎樣簡化某些系數(shù)的計(jì)算。這種方式只強(qiáng)調(diào)了傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)理論性和計(jì)算技巧，學(xué)生感覺學(xué)習(xí)難度大，缺乏興趣。導(dǎo)致在后繼課程用到傅里葉級(jí)數(shù)解決專業(yè)問題時(shí)，大多數(shù)同學(xué)力所不及。因此本文探索將Matlab軟件引入傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)中。

授課時(shí)介紹完傅里葉級(jí)數(shù)的理論計(jì)算后，接著講述怎樣用Matlab軟件獲得周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)。在Matlab軟件的m文件中首先生成周期信號(hào)，然后分別計(jì)算常數(shù)項(xiàng)和各系數(shù)。例如求方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的m文件如圖1所示。運(yùn)行該m文件后，既可以在命令窗口中直接獲得方波信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開后的常數(shù)項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)，也可以采用圖形化的形式獲得各項(xiàng)系數(shù)，如圖2所示?？梢宰寣W(xué)生自己改變方波的某些參數(shù)，觀察各項(xiàng)系數(shù)的變化，也可以指導(dǎo)學(xué)生編寫其他周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開。借助Matlab軟件完成周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，既可以減少學(xué)生對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算的抵觸，又可以讓他們盡早學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)和工作，適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。

除了引導(dǎo)學(xué)生用Matlab軟件計(jì)算周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)外，還可以將傅里葉級(jí)數(shù)與專業(yè)課提前銜接融合。將后繼專業(yè)課程中關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)授課中舉例，使得學(xué)生盡早了解自己專業(yè)，并通過實(shí)際應(yīng)用提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。譬如對(duì)于自動(dòng)化專業(yè)，傅里葉級(jí)數(shù)會(huì)用于信號(hào)與線性系統(tǒng)課程中的頻域分析，電路課程中的非正弦周期電路的分析，電力電子技術(shù)課程中諧波分析等。

2 基于Matlab 軟件的傅里葉級(jí)數(shù)應(yīng)用教學(xué)探索

2.1 傅里葉級(jí)數(shù)在信號(hào)與系統(tǒng)課程中應(yīng)用教學(xué)探索

傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換是信號(hào)與系統(tǒng)課程中的重點(diǎn)內(nèi)容。通過傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換可以進(jìn)行系統(tǒng)的頻域分析。周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開后可以得到其幅度頻譜和相位頻譜。非周期信號(hào)通過傅里葉變換可以得到其頻譜函數(shù)。從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，對(duì)學(xué)生而言非常抽象，普遍認(rèn)為該內(nèi)容是這門課程最難的部分。因此本文探索借助Matlab形象化地展示時(shí)域與頻域的聯(lián)系。

本文在Matlab中設(shè)計(jì)了典型周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開的可視化GUI程序用于課堂演示，如圖3所示。在該程序中可以選擇不同占空比的方波或三角波，以及選擇傅里葉級(jí)數(shù)展開的項(xiàng)數(shù)。選擇后，便可以采用3D界面顯示該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開情況。以方波為例，在時(shí)域中可以直觀看到方波分解為直流項(xiàng)、基波和各次諧波。同時(shí)可以根據(jù)分解的結(jié)果，獲得頻域中直流項(xiàng)、基波和各次諧波的幅值，畫出該信號(hào)的幅頻特性。通過該3D界面直觀顯示，學(xué)生更容易將時(shí)域和頻域聯(lián)系起來，從時(shí)域過渡到頻域。

周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開后，理論上項(xiàng)數(shù)趨于無窮大。展開的項(xiàng)數(shù)越多，其與原信號(hào)越接近。但項(xiàng)數(shù)越多，后期處理時(shí)計(jì)算量就會(huì)越大。所以傅里葉級(jí)數(shù)展開的項(xiàng)數(shù)需折中考慮。因此本文除了采用圖3的GUI程序直觀地顯示信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開后其頻率特性外，還借助該軟件獲得周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開后不同項(xiàng)數(shù)的擬合效果。圖4和圖5是方波信號(hào)展開項(xiàng)數(shù)分別是5和50的擬合效果圖。

通過Matlab 軟件的直觀顯示，學(xué)生更加深入地理解傅里葉級(jí)數(shù)。從而能夠更好地利用傅里葉級(jí)數(shù)解決專業(yè)課中的工程問題。

2.2 傅里葉級(jí)數(shù)在電路課程中應(yīng)用教學(xué)探索

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開在電路課程中的典型應(yīng)用為非正弦周期電路的分析。該課程中首先介紹直流穩(wěn)態(tài)電路的分析，然后介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析。如果電路中的激勵(lì)為非正弦周期信號(hào)，譬如方波、三角波等，那該怎樣分析呢？

例如：RL串聯(lián)電路如圖6所示，當(dāng)激勵(lì)為圖7所示的方波時(shí)，求電感兩端的電壓。

這時(shí)便可引入傅里葉級(jí)數(shù)展開解決該實(shí)際問題。首先將方波信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開，然后分別計(jì)算前面3-5項(xiàng)為激勵(lì)時(shí)電路對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，最后根據(jù)疊加定理將各個(gè)激勵(lì)下的響應(yīng)相加便可，即諧波分析法。學(xué)生熟練掌握Matlab軟件后，可以直接采用本文2.2小節(jié)中的方法求出周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的前面各項(xiàng)，然后進(jìn)行電路的后繼計(jì)算。這樣避開傅里葉級(jí)數(shù)的手算，從而減輕學(xué)生的計(jì)算量，讓學(xué)生有更多的精力用于采用傅里葉級(jí)數(shù)解決實(shí)際問題。

本文為了讓學(xué)生更好地理解諧波分析法，還在Matlab 軟件中，采用Simulink 編寫了電路的仿真程序，分別直接采用圖7種方波作為激勵(lì)對(duì)圖6的電路作用和采用方波傅里葉級(jí)數(shù)展開的前三項(xiàng)和作為激勵(lì)對(duì)圖6的電路作用，然后比較兩種情況下電感兩端的電壓。驗(yàn)證諧波分析法的可行性。仿真程序如圖8 所示。

2.3 傅里葉級(jí)數(shù)在電力電子技術(shù)課程中應(yīng)用教學(xué)探索

電力電子技術(shù)課程講述電能形式的變換，主要包括AC/DC、AC/AC、DC/AC、DC/DC四種。因電力電子電路屬于開關(guān)、非線性電路，該課程的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言難度非常大。除了常規(guī)的分段線性化和波形分析法，本文將Matlab軟件中的Simulink用于該課程的仿真教學(xué)。除此之外，還在該課程中用傅里葉級(jí)數(shù)分析諧波問題。

整流電路將輸入的交流電變換成直流電。理想的直流電為平滑的直線，但實(shí)際獲得的直流電有脈動(dòng)。也就是獲得的直流電除了直流項(xiàng)還包括了各種頻率的諧波。譬如單相橋式整流電路輸出的直流電如圖9所示，三相橋式整流電路輸出的直流電如圖10 所示。怎樣定量地評(píng)價(jià)單相橋式整流電路和三相橋式整流電路輸出的直流電哪個(gè)更優(yōu)？這時(shí)必須借助于傅里葉級(jí)數(shù)。將兩種不同整流電路的輸出電壓進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開后，第一項(xiàng)是理想輸出的直流電，后面項(xiàng)數(shù)便是基波和各次諧波，基波和諧波占有的比重越小，則其輸出的直流電就更優(yōu)。

單相電壓型逆變電路常見的控制方式有固定脈沖控制和PWM控制兩類。其獲得的交流輸出電壓的波形如圖11和圖12所示。怎樣定量的評(píng)價(jià)固定脈沖控制和PWM控制哪種效果更好呢？這時(shí)也必須借助于傅里葉級(jí)數(shù)。將輸出電壓傅里葉級(jí)數(shù)展開后，第一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)通常為零，第二項(xiàng)的基波項(xiàng)是理想的正弦交流電，后面的各項(xiàng)便是各次諧波。顯而易見，各次諧波含有量越低越好。

由此可見，電力電子技術(shù)定量計(jì)算分析中，很多場合都需要借助傅里葉級(jí)數(shù)展開。如果手動(dòng)計(jì)算，計(jì)算量非常大，而且容易算錯(cuò)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過前期課程的學(xué)習(xí)對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)深度掌握后，便可以熟練地利用Matlab軟件對(duì)各種周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開，然后進(jìn)一步分析。

3 教學(xué)效果

本文從傅里葉級(jí)數(shù)在高等數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)，以及傅里葉級(jí)數(shù)在后繼課程電路、信號(hào)與系統(tǒng)、電力電子技術(shù)中應(yīng)用的學(xué)習(xí)均借助了Matlab軟件。一方面可以采用該軟件直觀地觀察傅里葉級(jí)數(shù)，使得學(xué)生更好地理解傅里葉級(jí)數(shù)的核心思想。另外一方面可以借助該軟件完成常規(guī)的數(shù)學(xué)計(jì)算，減輕學(xué)生的計(jì)算負(fù)擔(dān)，可以將更多的精力用于采用傅里葉級(jí)數(shù)解決實(shí)際問題。經(jīng)過基礎(chǔ)課、專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課不斷地強(qiáng)化學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠熟練掌握傅里葉級(jí)數(shù)，以及能夠用傅里葉級(jí)數(shù)解決實(shí)際問題。

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【通聯(lián)編輯：王力】

基金項(xiàng)目：北方國際大學(xué)聯(lián)盟教育教學(xué)研究課題：“面向智能制造，強(qiáng)化工程設(shè)計(jì)”的獨(dú)立學(xué)院新工科專業(yè)改造升級(jí)的探索與實(shí)踐，課題編號(hào)：20210615001