王興林

【摘要】做任何工作都不能墨守成規(guī)，需要不斷創(chuàng)新，只有創(chuàng)新，才能發(fā)展和進(jìn)步，解決數(shù)學(xué)問題也是如此，所以在中考數(shù)學(xué)試題中不斷出現(xiàn)創(chuàng)新類試題，以此考查考生的類比、遷移和隨機(jī)應(yīng)變等能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；創(chuàng)新題；解題技巧

中考試題除了考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還會(huì)考查靈活應(yīng)用性問題，比如創(chuàng)新題型.創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題的命制是以代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)、三角形、四邊形及圓等常規(guī)知識(shí)為基礎(chǔ)，賦予新的定義、新的情境等進(jìn)行“包裝”，使平淡的題目煥發(fā)新的活力，讓人們感受到數(shù)學(xué)的魅力．培養(yǎng)學(xué)生在新情境下分析和解決問題的能力，考查學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新、探索和創(chuàng)造精神，是各類試題的一道亮麗風(fēng)景線．下面以2023年各地中考試題為例予以說明.

創(chuàng)新1

新定義

新定義試題是給出一個(gè)全新的、從來沒有見過的新概念或者新規(guī)定，要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，其目的是為了考查考生對(duì)圖文的閱讀和理解、分析、創(chuàng)新及應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、自主探究的素養(yǎng)．

例1 （2023·重慶中考）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，因?yàn)?－1=6，3－1=2，所以7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，因?yàn)?－1≠6，所以8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為______；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記PM=3a+b+c+d，QM=a－5，若PMQM能被10整除，則滿足條件的M的最大值為______．

答案為：6200，9313．

點(diǎn)睛

本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識(shí)，準(zhǔn)確理解“新定義”的含義是解決此類問題的前提，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．

創(chuàng)新2

數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化考題是把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，考查考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)文化的鑒賞、對(duì)數(shù)學(xué)方法的遷移，備受命題者青睞.

例2 （2023·江蘇徐州統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到：玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓形器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．

（1）若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為?? ；

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．

分析

（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例進(jìn)行作圖．

詳解

（1）由圖1可知：璧的“肉”的面積為π×32－12=8π，

環(huán)的“肉”的面積為π×32－1.52=6.75π，

所以它們的面積之比為8π∶6.75π=32∶27;

（2）①在該圓環(huán)內(nèi)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段AC的垂直平分線，線段AB，AC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可.

由作圖可知滿足比例關(guān)系為1∶2∶1的關(guān)系.

②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑AB，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接BE，然后分別過點(diǎn)C、D作BE的平行線，交AB于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以FG為直徑畫圓，則問題得解，如圖5所示.

點(diǎn)睛

本題考查平行線所截線段成比例和圓的基本性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)為兩點(diǎn)：一是挖掘古代典籍與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，二是將數(shù)學(xué)落實(shí)在“弘揚(yáng)正能量”的傳統(tǒng)美德上．

創(chuàng)新3

定義“新運(yùn)算”

“新運(yùn)算”是指在已經(jīng)學(xué)習(xí)過的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，定義一種新的運(yùn)算方法，常常使用一些特殊字符，如“”“*”“※”等.“新運(yùn)算”類問題的情境一般比較陌生，需要先準(zhǔn)確理解“新運(yùn)算”法則，才能靈活運(yùn)用．新定義的算法在轉(zhuǎn)化前，不適合已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算法則的，需要化生為熟.

例3 （2023·重慶中考）在多項(xiàng)式x－y－z－m－n（其中x>y>z>m>n）中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：x－y－|z－m|－n=x－y－z+m－n，x－y－z－m－n=x－y－z－m+n，…．下列說法：

①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．

其中正確的個(gè)數(shù)是（? ）

（A）0.?? （B）1.?? （C）2.?? （D）3.

分析

根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．

答案選（C）．

點(diǎn)睛

本題考查新定義題型，根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有可能的結(jié)果比較．主要考查絕對(duì)值計(jì)算和分類討論思想的應(yīng)用．

當(dāng)然，數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新還有很多，如，跨學(xué)科交匯、探索性問題、實(shí)踐操作類問題等等.限于篇幅，在此不再一一贅述.