付密

數(shù)學(xué)綜合與實踐課的價值在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的知識和方法解決實際問題的能力。四年級學(xué)生已經(jīng)通過“沏茶問題”“烙餅問題”的學(xué)習(xí)初步體會到統(tǒng)籌安排、節(jié)省時間的優(yōu)化思想，五年級學(xué)生通過學(xué)習(xí)“打電話問題”，借助畫圖、列表等方式展開多路徑探究，剝離問題表象，凸顯問題本質(zhì)，可進一步體會優(yōu)化思想在現(xiàn)實生活中的運用。

一、創(chuàng)設(shè)真情境

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》強調(diào)學(xué)生要在實際情境和真實問題中，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決實際問題。《怎樣通知最快》這節(jié)課最早出現(xiàn)在2011年版人教版教材中。2022年版教材變換了問題情境：“一個應(yīng)急小隊接到緊急任務(wù)，隊長需要盡快將任務(wù)通知到15名隊員。任務(wù)必須一對一進行傳達，每分鐘通知1人，請你幫助隊長設(shè)計一個最快的通知方案。”為進一步強化問題的生活背景，讓數(shù)學(xué)問題貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗，筆者在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的真實情境：“重陽節(jié)到了，廣埠屯社區(qū)居委會計劃邀請60歲以上的老人參加賞菊郊游活動。居委會王主任決定用打電話的方式通知本社區(qū)的15名老人，每分鐘通知1人，請你幫助王主任設(shè)計一個盡快通知到每一位老人的打電話方案。”這個真實情境更能凸顯打電話的必要性，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊。

二、展開真探究

“打電話”屬于探究性問題，沒有任何公式、方法可套用，教師可以借助學(xué)生的生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生以居委會主任的角色探究“假如你是居委會主任，你應(yīng)該怎么通知這15位老人”的問題，用任務(wù)驅(qū)動學(xué)生展開真探究。

課堂上，學(xué)生在操作、探究、推理中提出“打電話”的三種策略：逐個通知、分組通知、傳遞性通知。筆者讓學(xué)生分別展示，學(xué)生展示如下。

策略一：逐個通知。王主任打電話，一個人一個人地通知，一共15位老人，共需15分鐘。筆者以“這種方案只有王主任一人通知，太慢了”激發(fā)學(xué)生思考更快的方法，從而引出分組通知。

策略二：分組通知。分組方案1：把15位老人平均分成3組（5，5，5），先打電話通知3位組長，需3分鐘，再由3位組長分別通知各自的4位組員，需4分鐘，由“3+4=7”得出共需7分鐘。分組方案2：把15位老人分成4組（4，4，4，3），通知完4位組長共需4分鐘，最后接到通知的1位組長通知兩位組員，需要2分鐘，這期間另外3位組長能通知完各自的組員，則由“4+2=6（分鐘）”得出一共需要6分鐘。筆者追問：是不是分的組數(shù)越多，用的時間越少？由此，學(xué)生展示分組方案3：把15位老人平均分成5組（3，3，3，3，3），先通知5位組長需5分鐘，再由5位組長分別通知2名組員，需2分鐘，由“5+2=7（分鐘）”得出共需7分鐘。由此可見，并不是分的組數(shù)越多，所需的時間越少。筆者順勢追問：“想一想，還有更快的方法嗎？”學(xué)生通過交流、討論發(fā)現(xiàn)：想要通知的時間最少，必須同時通知，每位老人接到通知后立即通知其他老人（不重復(fù)通知），直到全部通知到為止。

策略三：傳遞性通知。用“ ”表示王主任，用 ?“○”表示老人，第1分鐘王主任通知1人，連同王主任一共有2人知道消息；第2分鐘知道消息的2人通知另外2人，共有“2×2=4”人知道消息；第3分鐘知道消息的4人通知4人，共有“4×2=8”人知道消息；第4分鐘知道消息的8人通知8人，共有“8×2=16”人知道消息。除去王主任，4分鐘一共可以通知15位老人（圖略）。

筆者鼓勵學(xué)生采用多種方式探究規(guī)律。學(xué)生在筆者的提示下發(fā)現(xiàn)表格更有利于直觀分析傳遞性通知蘊含的規(guī)律（表格如下）。

筆者引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：橫著看，新接到通知的老人人數(shù)依次是1，2，4，8，呈現(xiàn)出兩倍兩倍增長的規(guī)律，接到通知的老人和王主任的總?cè)藬?shù)依次是2，4，8，16，也是兩倍兩倍地增長；斜著看，“接到通知的老人和王主任的總?cè)藬?shù)”等于下一分鐘“新接到通知的老人總?cè)藬?shù)”；豎著看，“接到通知的老人和王主任的總?cè)藬?shù)-1（王主任）=接到通知的老人總?cè)藬?shù)”。這樣看來，王主任只需4分鐘就能通知完15位老人。

經(jīng)過以上教學(xué)，學(xué)生試著用數(shù)據(jù)對三種策略進行總結(jié)：“逐個通知”需要15分鐘，除了王主任，所有老人都閑著，最費時；“傳遞性通知”只需4分鐘，所有人都盡可能參與通知，最省時；而“分組通知”介于兩者之間。由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“傳遞性通知”最省時，是解決問題的最佳策略。

三、解決真問題

所學(xué)知識與真實生活發(fā)生互動、鏈接時，學(xué)生才更能體會到所學(xué)知識的應(yīng)用價值。筆者抓住學(xué)生的好奇心和求知欲，設(shè)計如下題目，讓學(xué)生對知識進行鞏固、遷移：一種細菌平均12秒裂變一次（由1個分裂成3個），照這樣計算，1分鐘后，每一個這種細菌可裂變?yōu)槎嗌賯€？

筆者引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵信息分析：細菌平均每過12秒裂變一次，1分鐘=60秒，60÷12=5（次），即1分鐘可以裂變5次，每次分裂，細菌由1個分裂成3個后，原來的那個細菌就消失了。學(xué)生先嘗試用畫圖法解決問題，畫到第4次后，就很難畫下去了。這時，筆者提示，當(dāng)數(shù)據(jù)較大時，可以用列表法解決問題。于是，學(xué)生列出如下表格。

由于“每次裂變后細菌的數(shù)量=裂變前細菌的數(shù)量×3”，所以5次裂變后細菌的數(shù)量是1×3×3×3×3×3=35=243（個）。1個細菌1分鐘裂變5次，變?yōu)?43個，1小時裂變300次，可裂變?yōu)?300個細菌。由此可知，細菌裂變的速度非常驚人。

基于以上探究，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界：在現(xiàn)實生活中，人們常說的“一傳十，十傳百”“浮萍生長”等現(xiàn)象都蘊含著我們今天發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你還有其他類似的發(fā)現(xiàn)嗎？在筆者引導(dǎo)下，學(xué)生通過查閱資料，列舉現(xiàn)實生活中的真實案例，拓展課外知識。例如，印度的舍罕國王重賞國際象棋的發(fā)明人——大臣西薩·班達依爾。獎賞規(guī)則是在棋盤的第1格賞1粒麥子，第2格賞2粒麥子，第3格賞4粒麥子，每小格賞的麥子粒數(shù)都是前一小格的2倍。棋盤上64格的麥粒都賞給他。結(jié)果印度的糧食全搬來，國王也兌現(xiàn)不了諾言。你知道究竟是多少粒麥子呢？隨后，學(xué)生揭示答案：1+2+4+8+……+263=264-1=18446744073709551615（粒）。這就是被愛因斯坦稱為“世界第八大奇跡”的幾何倍增學(xué)的來歷。學(xué)生由此進一步感受到倍增的力量。

真情境、真探究、真問題，“三真”課堂讓學(xué)生親歷學(xué)習(xí)過程，感悟思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提升解決問題的能力，感悟數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活的價值與奧妙。

（作者單位：廣水市實驗小學(xué)）

責(zé)任編輯 ?張敏