邵秀良 宋國云

人教版數(shù)學(xué)五年級下冊《怎樣通知最快》旨在讓學(xué)生在設(shè)計(jì)打電話方案的過程中找到最優(yōu)的通知方案，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，幫助學(xué)生初步建立模型意識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和解決問題的能力。教學(xué)時(shí)，教師要抓住“盡量人人都不空閑”，引導(dǎo)學(xué)生在充分積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建構(gòu)模型。

一、問題導(dǎo)向，初識模型

五年級學(xué)生容易被富有挑戰(zhàn)性、實(shí)用性的問題情境所吸引。教師要呈現(xiàn)源于生活且真實(shí)有效的信息，通過創(chuàng)設(shè)合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生明確思考方向并展開自主探究。

課堂伊始，教師出示問題情境：“一個應(yīng)急小隊(duì)接到緊急任務(wù)，隊(duì)長需要盡快將任務(wù)通知到15名隊(duì)員。任務(wù)必須一對一進(jìn)行傳達(dá)，每分鐘通知1人，請你幫助隊(duì)長設(shè)計(jì)一個最快的通知方案?！苯處煕]有讓學(xué)生思考“最快需要多少時(shí)間”，而是讓學(xué)生先猜一猜“怎樣通知最快”，然后以小組為單位設(shè)計(jì)一個打電話的方案。教師還提醒學(xué)生可以用文字、圖形、符號等表示通知過程。經(jīng)過討論，學(xué)生得到三種思路：①隊(duì)長逐個通知；②分組通知，即隊(duì)長通知組長，組長通知組員；③互相通知，即隊(duì)長通知隊(duì)員，收到通知的隊(duì)員和隊(duì)長一起繼續(xù)通知其他隊(duì)員。

對于思路①，教師引導(dǎo)學(xué)生得出“這種方案最簡單，但需要的時(shí)間最長”。對于思路②，教師用圖示直觀呈現(xiàn)學(xué)生提出的三種分組通知方案。第一種：如圖1，把15名隊(duì)員分成3組，每組設(shè)1名組長，隊(duì)長先通知各組長，組長再通知組內(nèi)4名隊(duì)員，這樣通知共需7分鐘。第二、第三種分組方案的通知方法和呈現(xiàn)方式與第一種一致，只不過第二種是分成4組通知，共需6分鐘，第三種是分成5組通知，共需7分鐘。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生比較“分組通知”與“隊(duì)長逐個通知”有什么不同，思考分組通知所需時(shí)間縮短的原因，思考是否分組越多用時(shí)越少。通過交流，學(xué)生明確：隊(duì)長逐個通知，只有隊(duì)長打電話，而分組通知，隊(duì)長和組長都打電話，所以省時(shí)；并非分組越多，用時(shí)越少。然后，教師提問：為什么分3組和分5組都用時(shí)7分鐘？你覺得還有縮短時(shí)間的可能性嗎？怎樣通知最快？學(xué)生經(jīng)過自主思考、小組討論，達(dá)成了共識：隊(duì)長和接到通知的隊(duì)員都去通知其他隊(duì)員，也就是“盡量人人都不空閑”是最快的。由此，學(xué)生討論出如圖2所示的通知方案：隊(duì)長依次通知4名隊(duì)員，每名隊(duì)員接到通知后立即通知其他隊(duì)員，其他接到通知的隊(duì)員馬上繼續(xù)通知（不重復(fù)通知）。學(xué)生進(jìn)一步歸納：全員參與通知，4分鐘就可以通知到每名隊(duì)員。

教師通過有效的提問，一方面引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行思考，避免了學(xué)生盲目猜想；另一方面調(diào)動了學(xué)生原有的知識、經(jīng)驗(yàn)分析問題，如四年級教材“沏茶問題”中“同一時(shí)間內(nèi)能同時(shí)做的事情同時(shí)做”、“烙餅問題”中“鍋盡量不要空著”等優(yōu)化策略。這與“怎樣通知最快”問題中“盡量人人都不空閑”的優(yōu)化策略本質(zhì)上相同。

二、數(shù)形結(jié)合，感知模型

畫圖呈現(xiàn)打電話的方案是學(xué)生建立模型的重要過程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。但在畫圖時(shí)，學(xué)生往往出現(xiàn)接到通知的人沒有都去通知或重復(fù)通知的疏漏?；诖耍趯W(xué)生畫圖的過程中，教師仍然要抓住“盡量人人都不空閑”這個問題本質(zhì)進(jìn)行指導(dǎo)。

實(shí)際教學(xué)中，教師進(jìn)行了兩次指導(dǎo)：第一次是引導(dǎo)學(xué)生探究“2分鐘最多通知多少人”后，教師展示一份學(xué)生的方案，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在方案中畫出了第2分鐘隊(duì)長和接到通知的隊(duì)員都同時(shí)參與通知，又通知到2個人，以進(jìn)一步突出問題本質(zhì)；第二次是引導(dǎo)學(xué)生探究“3分鐘最多通知多少人”后，教師出示常見的一種錯誤方案，即第3分鐘只有3個人在通知，漏掉了1個應(yīng)該參與通知的人。學(xué)生很快指出了這一方案中的問題并予以改正。教師乘機(jī)追問：怎樣才能做到不重不漏呢？這個問題又觸及了問題的本質(zhì)。有的學(xué)生說要在“○”里編上序號，有的學(xué)生說要把每分鐘新接到通知的隊(duì)員畫在同一列，這樣可以清楚地看出每分鐘通知了哪幾個人。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生修正了方案。

這個過程既讓學(xué)生掌握了用圖示表征打電話方案的方法，又讓學(xué)生在畫圖過程中認(rèn)識到每分鐘新接到通知的隊(duì)員數(shù)就是上一分鐘得到通知的總?cè)藬?shù)。這樣，在思維可視化策略的支持下，教師借助形象、直觀的圖示和動態(tài)的展示過程，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解層次，使其初步感知了該問題的數(shù)學(xué)模型。

三、想象推理，建構(gòu)模型

從逐一通知到分組通知，再到相互通知，學(xué)生經(jīng)歷了最優(yōu)方案的產(chǎn)生過程。在此過程中，教師抓住“盡量人人都不空閑”的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生想象、推理、歸納、概括，進(jìn)而理解、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

在學(xué)生初步感知模型的基礎(chǔ)上，教師安排了想象環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生思考第4分鐘能再通知多少人，說一說是怎么想出來的。根據(jù)學(xué)生的回答，教師用課件動態(tài)演示從第1分鐘到第4分鐘的通知過程示意圖（如圖3），標(biāo)示出每分鐘新接到通知的隊(duì)員數(shù)，并整理出表1。

隨后，教師設(shè)計(jì)“每分鐘新接到通知的隊(duì)員人數(shù)有什么特點(diǎn)”“為什么要加上隊(duì)長”“每分鐘隊(duì)長和隊(duì)員的總?cè)藬?shù)有什么特點(diǎn)”等問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析表格信息，探究其中的規(guī)律。通過觀察表格，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)每增加1分鐘，新接到通知的隊(duì)員人數(shù)正好是前面所有接到通知的隊(duì)員和隊(duì)長的總?cè)藬?shù)，而且直觀地感受到每分鐘新通知到的人數(shù)越來越多，也就是下一分鐘接到通知的總?cè)藬?shù)總是上一分鐘接到通知總?cè)藬?shù)的2倍。

數(shù)學(xué)模型的建立必須依靠學(xué)生自主歸納的過程，而教師引導(dǎo)學(xué)生抓住問題本質(zhì)進(jìn)行歸納，能讓學(xué)生有效建立數(shù)學(xué)模型。上述教學(xué)過程中，教師沒有直接問學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，而是讓學(xué)生思考“5分鐘一共通知了多少人”，學(xué)生自然地想到用算式“1+2+4+8+16=31”或“1×2×2×2×2×2-1=31”計(jì)算。隨后，教師讓學(xué)生分別說一說兩個算式的含義及為什么這樣列算式，學(xué)生結(jié)合“盡量人人都不空閑”進(jìn)行解釋。然后，教師通過追問“6分鐘一共通知了多少人？7分鐘呢？n分鐘呢？”引導(dǎo)學(xué)生歸納出“第n分鐘接到通知的隊(duì)員人數(shù)等于前（n－1）分鐘內(nèi)接到通知的隊(duì)員和隊(duì)長的總?cè)藬?shù)”的規(guī)律，并通過數(shù)量關(guān)系的抽象，概括出數(shù)學(xué)模型：到第n分鐘，接到通知的隊(duì)員總?cè)藬?shù)為2n-1。

（作者單位：襄陽市襄州區(qū)張家集鎮(zhèn)中心小學(xué)）

責(zé)任編輯 ?劉佳