開放科學(xué)(資源服務(wù))標(biāo)識碼(OSID):DOI:10.16661/j.cnki.1672-3791.2312-5042-3602
作者簡介:馬文慧(1993—),女,碩士,研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)、數(shù)學(xué)建模、圖論。
摘 ?要:極限是高職數(shù)學(xué)課程中最為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)內(nèi)容,它既是前面函數(shù)這部分內(nèi)容的加深與延續(xù),又是后續(xù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等知識的前提與基礎(chǔ)。因此,函數(shù)極限在整個高職數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻,而求函數(shù)極限的方法種類繁多、靈活多變,對此高職學(xué)生不易熟練掌握,往往感到束手無策。筆者總結(jié)出一些高職學(xué)生能理解的求函數(shù)極限的常用方法,并結(jié)合例題解析每種方法的適用極限類型和注意事項(xiàng),旨在幫助高職學(xué)生能更好地理解與解決函數(shù)求極限的問題。
關(guān)鍵詞:高職數(shù)學(xué) ?函數(shù)極限??方法總結(jié)??洛必達(dá)法則
中圖分類號:O174
極限是高職數(shù)學(xué)中最重要的概念之一,它不僅是研究微積分學(xué)的重要工具,而且還是許多重要概念——微分、導(dǎo)數(shù)、定積分等的定義基礎(chǔ)。因此,掌握求函數(shù)極限的方法是學(xué)好高職數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵。本文根據(jù)高職學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,按照由易到難、學(xué)習(xí)的先后順序總結(jié)出幾種常用的求函數(shù)極限的方法,同時給出每類方法的注意事項(xiàng)以及優(yōu)缺點(diǎn),使得高職學(xué)生對函數(shù)極限有全面深入的理解,從而達(dá)到快速求解、簡化計(jì)算的目的。
1 ?定義法
一般情況下,為了高職學(xué)生能夠更好地理解函數(shù)極限的概念,教師在授課時往往為學(xué)生講解函數(shù)極限的描述性定義,而不是本科學(xué)生接觸的函數(shù)極限的嚴(yán)格定義——“”定義。函數(shù)極限的描述性定義[1],其核心思想就是當(dāng)自變量存在以下6種變化過程中的任何一個時(、、、、、),函數(shù)無限地接近于一個確定的常數(shù),這即為函數(shù)的極限。定義法又名觀察法,顧名思義就是利用一些數(shù)學(xué)軟件如GeoGebra、Mathfuns等描繪出函數(shù)的圖像并觀察,然后再結(jié)合函數(shù)極限的描述性定義、函數(shù)的性質(zhì)、特征等,得出函數(shù)極限的一種方法。
例1 ?求極限
解析:是的反函數(shù),學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)極限之前,已經(jīng)了解了其大致圖像和性質(zhì)。因此,通過數(shù)學(xué)軟件GeoGebra或者利用反函數(shù)的性質(zhì)可得到的圖像,如圖1所示,通過觀察圖像,該函數(shù)的極限一目了然。
解:由函數(shù)的圖像及特點(diǎn),可知當(dāng)時,無限地接近于,故由極限的描述性定義知:。
上述例子使用的定義法,是高職學(xué)生接觸的第一個求函數(shù)極限的方法,它不僅可以很好地幫助高職學(xué)生理解函數(shù)極限的內(nèi)在涵義,還可在無形之中鍛煉學(xué)生動手操作數(shù)學(xué)軟件畫圖的能力,更能為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的水平漸近線打下基礎(chǔ)。但定義法也有局限之處,就是它依賴于用數(shù)學(xué)軟件來描繪函數(shù)圖像,所以學(xué)生僅能在平時練習(xí)時使用,無法在考試中通過觀察函數(shù)圖像獲取函數(shù)極限。所以這也是此種方法的缺點(diǎn)——高度依賴數(shù)學(xué)軟件,但它可以在很大程度上幫助學(xué)生理解函數(shù)的極限。
2 代入法
在函數(shù)的連續(xù)性這部分內(nèi)容中,有如下定義[1]:如果函數(shù)在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義,且有該點(diǎn)的極限值等于其函數(shù)值,即,則稱函數(shù)在該點(diǎn)處是連續(xù)的。代入法又稱利用函數(shù)連續(xù)性求極限,根據(jù)此定義,只要能夠判定函數(shù)是連續(xù)的,就可以把求函數(shù)極限的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算函數(shù)值的問題。
對復(fù)合函數(shù),若,且函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則函數(shù)符號可以和極限符號交換次序,即。據(jù)此,可以簡化求函數(shù)極限的過程。
例2 ?求極限
解析:因?yàn)?img alt="" height="19" src="file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps376.png" width="67"/>是復(fù)合函數(shù),且是連續(xù)的,所以其在處的極限值等于函數(shù)在處的函數(shù)值。
解:。
在使用代入法求函數(shù)極限時,要特別注意以下幾點(diǎn)。(1)只有連續(xù)函數(shù)的極限值才等于其函數(shù)值。例如:當(dāng)分段函數(shù)在分點(diǎn)處不連續(xù)時,其在分點(diǎn)處的極限就需要求在該點(diǎn)的左右極限,而不是令極限值直接等于其在分點(diǎn)處的函數(shù)值。(2)只有復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)的極限處是連續(xù)的,函數(shù)運(yùn)算才可以和極限運(yùn)算交換順序。代入法雖然降低了計(jì)算難度,但它只能解決連續(xù)函數(shù)求自變量趨于有限值時的極限,適用范圍較窄。
3 無窮小的運(yùn)算性質(zhì)
關(guān)于無窮小的運(yùn)算性質(zhì),有如下定理[1]:無窮小與有界量的乘積是無窮小。根據(jù)這一定理,可以求一些符合定理?xiàng)l件的兩個函數(shù)乘積的極限。
例3 ?求極限
解析:函數(shù)可以看成兩個函數(shù)與的乘積,其中時,是無窮小,是有界量,根據(jù)定理,它們的乘積仍為無窮小。
解:時,是無窮小,是有界量,故。
一般情況下,高職學(xué)生能夠比較容易地判斷出函數(shù)在的某一個變化過程中是否為無窮小,但對于有界量的判定不是很熟練。這就要求高職學(xué)生要熟記一些常見的有界量,如、、、、、等。
4 無窮小與無窮大的關(guān)系
由無窮小與無窮大的定義[1],可知如下定理:在自變量的同一個變化過程中,無窮大的倒數(shù)是無窮小,恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大。由此定理可知,如果所求函數(shù)其倒數(shù)的極限為無窮小,那么原函數(shù)的極限就為無窮大。
例4 ?求極限
解析:當(dāng)把2帶入所求極限的函數(shù)后,發(fā)現(xiàn)分子極限為8,分母極限為0,因此屬于“”型極限。根據(jù)上述定理,可以考慮先求原函數(shù)倒數(shù)的極限,再利用無窮大與無窮小的關(guān)系,便可得出原函數(shù)的極限。
解:因?yàn)?img alt="" height="32" src="file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps401.png" width="86"/>,所以是時的無窮小,所以其倒數(shù)是時的無窮大,即,極限不存在。
像這樣,分子極限為常數(shù),分母極限為0的極限類型可記為“”型極限,這里1是泛指分子極限為常數(shù)而不僅僅是1,利用無窮小與無窮大的關(guān)系,該類型的極限結(jié)果均為。
5 極限的四則運(yùn)算法則
在自變量的同一個變化過程中,若兩個函數(shù)都有極限,則其和差的極限等于極限的和差,乘積的極限等于極限的乘積,商的極限等于極限的商,其中分母的極限不為零。能直接利用法則的情況與代入法類似,比較簡單。但大部分都需要經(jīng)過約分(十字相乘法,平方差、立方差公式)、有理化、通分、三角函數(shù)恒等式[2]等恒等變形后,才能使用法則。
例5 ?求極限
解析:該極限為“”型極限,觀察發(fā)現(xiàn)分子、分母可以用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解,約去極限為0的因式后,便可使用法則求極限。
解:
例6 ?求極限
解析:該極限為“”型極限,觀察發(fā)現(xiàn)分母可通過有理化去掉根號,進(jìn)而約去極限為0的因式,可直接使用法則求極限。
解:
例7 ?求極限
解析:時,括號內(nèi)兩式的極限均為,即不存在,故此極限為“”型極限。觀察發(fā)現(xiàn)可以先通分合二為一,轉(zhuǎn)化成“”型的極限,再利用法則。
解:
如果所求極限類型為“”“”型,無法直接使用極限的四則運(yùn)算法則,必須先對原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?,約去極限為0的因式后,才可使用法則求極限。
6 有理分式函數(shù)
當(dāng)時,“”型的有理分式函數(shù)極限有如下結(jié)論:
,其處理方法就是分子、分母同時除以的最高次冪[3]。
例8
該方法的結(jié)論可在解決客觀題時提高解題效率。
7 兩類重要極限
第一類重要極限的特點(diǎn)為:(1)該極限是“”型的極限;(2)該極限所有的位置都可被替換;(3)分式的分子中包含。
第二類重要極限的特點(diǎn)為:(1)該極限類型為型極限;(2)括號內(nèi)兩式子之間為“+”;(3)該極限所有的位置都可被替換;(4)括號內(nèi)除1外的式子和指數(shù)位置的式子互為倒數(shù)[4]。
例9 ?求極限
解析:該極限滿足第一類重要極限的前2個特點(diǎn),故只需要利用三角恒等變形,讓分子上出現(xiàn)即可。
解:
例10 ?求極限
解析:該極限符合第二類重要極限的前2個特征,只需要把指數(shù)位置的式子改造成括號內(nèi)除1外式子的倒數(shù),然后前后維持恒等即可。
解:
8 等價無窮小的代換
在計(jì)算兩個無窮小比值的極限時,有如下定理:如果,,且存在或?yàn)?img alt="" height="12" src="file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps446.png" width="14"/>,則有。這里要注意等價代換具有整體性,要么替換整個分子或整個分母,要么替換分子、分母的因式。簡單來說就是等價無窮小的代換只能發(fā)生在“×、÷”之間,不能發(fā)生在“+、-”之間。
例11 ?求極限
解析:雖然時,有、,但不能直接代換,因?yàn)?img alt="" height="15" src="file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml1164/wps452.png" width="30"/>、不是分子的因式,且其前面的符號為“+、-”。觀察發(fā)現(xiàn)分子可通過提取公因式后,利用、進(jìn)行代換。
解:
等價無窮小的代換極大地簡化了一些極限的求解[5],高職學(xué)生需要牢記一些常用的等價無窮小的代換公式[6]:即時,有,,。
9 洛必達(dá)法則
洛必達(dá)法則是在滿足一定條件下,把兩個函數(shù)商的極限轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)導(dǎo)數(shù)商的極限,從而解決“”或者“”型函數(shù)求極限的問題。其他類型的極限需要先做恒等變形,轉(zhuǎn)化極限類型后,再使用洛必達(dá)法則,如“”“”“”[7]。
例12 ?求極限
解析:該極限類型為“”,分子、分母及其導(dǎo)數(shù)都可求導(dǎo),且它們的導(dǎo)數(shù)都有極限,直接使用三次洛必達(dá)法則即可求出極限。
解:
例13 ?求極限
解析:該極限類型為“”,不符合洛必達(dá)法則的條件,但可以通過恒等變形,轉(zhuǎn)化極限類型為“”,再使用洛必達(dá)法則。
解:
例14 ?求極限
解析:這是“”型的極限,不能直接應(yīng)用洛必達(dá)法則,但可通過適當(dāng)變形,先通分,把極限轉(zhuǎn)化為“”型,再使用洛必達(dá)法則。
解:
在使用洛必達(dá)法則解決“”型極限前,要先借助對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),把其轉(zhuǎn)化為型函數(shù),再利用“”型極限的解法繼續(xù)求極限,如,其他“”型類似。
10 結(jié)語
求函數(shù)極限的題目種類繁多,涉及到高職數(shù)學(xué)中的許多知識點(diǎn),這就意味著學(xué)生要掌握的知識從函數(shù)極限一直延伸到導(dǎo)數(shù)、定積分等,因此高職學(xué)生熟練掌握起來有一定困難。本文按照由易到難的順序闡述了上述幾個理解和計(jì)算函數(shù)極限的方法,并給出了分析過程。綜合來看,沒有一種求函數(shù)極限的方法是萬能的,能夠解決所有題目;一個題目或許需要幾種方法才能求出極限。因此,高職學(xué)生在面對求函數(shù)極限的題目時,要根據(jù)其極限類型靈活地選用方法,從而達(dá)到簡化計(jì)算、快速求解的目的。
參考文獻(xiàn)
[1] 侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京:高等教育出版社,2021.
[2] 白梅.幾類特殊形式的極限求法探討[J].大學(xué)教育,2019(11):100-101,123.
[3] 孔敏,王娟,梁登星.分式型函數(shù)求極限的方法總結(jié)[J].黑龍江科學(xué),2021,12(7):128-129.
[4] 韋慧,倪晉波.高等數(shù)學(xué)中函數(shù)極限計(jì)算的幾種方法[J].安陽工學(xué)院學(xué)報(bào),2023,22(2):93-96.
[5] 周燕,林麗瓊,任立英.關(guān)于求解極限的若干思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2021,37(2):108-113.
[6]?武彩霞.不定式極限的幾種計(jì)算方法研究[J].河北建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),2021,39(4):175-180.
[7] 王麗麗.洛必達(dá)法則在解析求極限類問題中的應(yīng)用[J].河南工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2022,34(1):76-80.