【摘 要】“嘗試”就是為了解決探究主題問題而進(jìn)行猜想、試驗(yàn)、反思、再猜想的一種試探性活動(dòng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以從學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)出發(fā)構(gòu)建“嘗試問題組”，即結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生具身體驗(yàn)的問題鏈，讓學(xué)生通過猜想教學(xué)關(guān)聯(lián)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，開展自主探究、合作探究，引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；嘗試問題組；數(shù)學(xué)探究活動(dòng)；圓的切線與切點(diǎn)弦

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）19-0049-04

【作者簡(jiǎn)介】楊靜，江蘇省東海高級(jí)中學(xué)（江蘇東海，222399）教師，一級(jí)教師，獲江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽“杰出水手獎(jiǎng)”。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）提出，“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程……是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)?！苯虒W(xué)中，教師可以圍繞探究主題，進(jìn)行有效的問題設(shè)置，將探究主題化整為零，以遞進(jìn)式問題鏈的形式，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地進(jìn)行思考探究，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中，體驗(yàn)類比、歸納、演繹等數(shù)學(xué)研究方法，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

一、嘗試問題組：探究性活動(dòng)的內(nèi)驅(qū)力

高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知體驗(yàn)為起點(diǎn)，豐富學(xué)生的思維體驗(yàn)，保障學(xué)生思維能力的發(fā)展，這樣才能深化學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

（一）嘗試問題組：基于認(rèn)知體驗(yàn)的問題設(shè)置

“嘗”即分辨滋味，旨在檢驗(yàn)探究主題的深度；“試”即試驗(yàn)猜想，旨在將獨(dú)立思考或交流合作產(chǎn)生的命題付諸實(shí)踐?！皣L試”就是為了解決探究主題問題而進(jìn)行的一系列猜想、試驗(yàn)、反思、再猜想。高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中“嘗試問題組”的設(shè)置，即從“嘗試”的角度出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生具身體驗(yàn)的問題鏈，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作、猜想數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中通過“嘗試”進(jìn)行思考、反芻，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度。（見圖1）

[發(fā)現(xiàn)問題] [實(shí)驗(yàn)操作] [猜想結(jié)論] [分析問題] [解決問題] [歸納驗(yàn)證] [（圖1）]

（二）嘗試問題組：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的應(yīng)然選擇

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是基于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為一種小型的研究性思維活動(dòng)，既能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題的能力，又能使學(xué)生在探索和表述的論證過程中提高表達(dá)和交流的能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，養(yǎng)成獨(dú)立思考和合作交流等良好習(xí)慣?！秵栴}與探究》為蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的每章章末欄目之一，是相應(yīng)章節(jié)內(nèi)容的一個(gè)延伸，內(nèi)容主要圍繞一個(gè)探究主題，分為“問題”和“探究”兩個(gè)方面，讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)，探究解決問題的方案與路徑，為拓展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)提供了載體，是開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的良好素材。

“嘗試問題組”旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)命題，讓學(xué)生通過對(duì)問題組的獨(dú)立思考和合作交流，激發(fā)自我完善、自我提高的動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)問題解決過程中的相互啟發(fā)、相互促進(jìn)的合作意識(shí)；讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程，增強(qiáng)不同層次、不同水平的學(xué)生在探究活動(dòng)中的認(rèn)知獲得感，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，讓學(xué)生更深入地思考、整合知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，將批判性思維內(nèi)化成自身的經(jīng)驗(yàn)體系。

二、課堂實(shí)踐：探究性活動(dòng)的收斂架構(gòu)

“圓的切線與切點(diǎn)弦”是蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教科書選擇性必修第一冊(cè)第二章《圓與方程》的章末探究課，是《圓與方程》章節(jié)知識(shí)的延伸與拓展，也是后續(xù)圓錐曲線相關(guān)的內(nèi)容學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。本節(jié)課旨在通過研究幾何圖形的性質(zhì)和位置關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等多種數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。下面筆者以“圓的切線與切點(diǎn)弦”教學(xué)為例，具體闡釋在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何以“嘗試問題組”引領(lǐng)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。

（一）目標(biāo)引領(lǐng)：研究主題從“學(xué)情適合”出發(fā)

教學(xué)目標(biāo)是數(shù)學(xué)探究課堂的出發(fā)點(diǎn)和歸屬點(diǎn)，教師首先要從學(xué)情出發(fā)，設(shè)置適合學(xué)生學(xué)情的課堂目標(biāo)。整體探究目標(biāo)要明確，學(xué)生圍繞整體目標(biāo)進(jìn)行嘗試，教師圍繞學(xué)生解決問題中產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)問題將課堂目標(biāo)完善、落實(shí)。

整體目標(biāo)設(shè)置要從學(xué)情出發(fā)，要符合大部分學(xué)生的認(rèn)知水平，讓每一位學(xué)生都能參與到探究活動(dòng)中，目標(biāo)內(nèi)容要具體明確、導(dǎo)向性強(qiáng)。同時(shí)保障主體目標(biāo)的連貫性、延展性、可持續(xù)性，讓學(xué)生在嘗試問題組的引領(lǐng)下，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，提升學(xué)習(xí)能力。

在學(xué)完《圓與方程》章節(jié)之后，學(xué)生已經(jīng)能從代數(shù)角度研究點(diǎn)、直線、圓之間的關(guān)系，初步具備研究解析幾何的直接經(jīng)驗(yàn)，具有一定的圖形識(shí)別、問題發(fā)現(xiàn)及探究推理能力。圓的切線與切點(diǎn)弦中，點(diǎn)、線、圓的關(guān)系復(fù)雜，想要厘清并掌握其關(guān)系對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想要求較高，需要學(xué)生具有良好的直觀想象、邏輯推理能力。

基于上述學(xué)情分析，在“圓的切線與切點(diǎn)弦”的教學(xué)中，筆者制定了以下整體目標(biāo)：（1）掌握求解“過圓上一點(diǎn)的切線方程”的方法；（2）通過操作實(shí)驗(yàn)，提出合理猜想，體會(huì)問題探究的方法；（3）體驗(yàn)探究方法與研究方法的類比，滲透變換主元與方程（組）思想，培養(yǎng)觀察、歸納、反思的能力。

除此之外，學(xué)生還可以根據(jù)自身的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和認(rèn)知水平，有選擇地加深或拓寬某一目標(biāo)，讓目標(biāo)更具適用性。教師還應(yīng)針對(duì)每個(gè)學(xué)生的研究效率及目標(biāo)完成度給出總體評(píng)價(jià)，對(duì)于高效的學(xué)生給予參照式評(píng)價(jià)從而發(fā)揮榜樣作用，對(duì)于低效的學(xué)生給予指向性評(píng)價(jià)進(jìn)行引導(dǎo)，以促進(jìn)學(xué)生更進(jìn)一步地思考，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)展。

（二）問題引領(lǐng)：探究活動(dòng)從“操作嘗試”啟程

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是主體與客體交互生長(zhǎng)的復(fù)雜過程，需要教師和學(xué)生在思維、意志、動(dòng)機(jī)上的相互參與、相互配合，教學(xué)時(shí)，教師要以學(xué)生為主體，從學(xué)生的學(xué)習(xí)需求出發(fā)構(gòu)建探究問題，這個(gè)過程還需要教師的整體調(diào)控。結(jié)合探究主題，師生首先師生確定研究方式：提出問題—操作實(shí)驗(yàn)—交流討論—驗(yàn)證猜想。

1.嘗試問題直觀的遞進(jìn)設(shè)置

在問題設(shè)置上，教師首先要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，讓學(xué)生在探究抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)感受數(shù)學(xué)的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探索欲，為學(xué)生進(jìn)一步的研究指明方向。因此，在教學(xué)“圓的切線與切線弦”時(shí)，筆者首先設(shè)置了如下引例。

如圖2，圓O：x2+y2=9，分別根據(jù)下列條件，判斷P0與圓O的關(guān)系：

（1）點(diǎn)P0（2，[5]）；

（2）點(diǎn)P0（4，4）；

（3）點(diǎn)P0（1，1）。

【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)從引例出發(fā)，讓學(xué)生明確本節(jié)課是研究點(diǎn)、線、圓位置關(guān)系的問題探究課。通過特殊點(diǎn)的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過代數(shù)方法判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并了解與點(diǎn)有關(guān)的切線問題的著力點(diǎn)，從而確定本節(jié)課的研究路徑：點(diǎn)在圓上—點(diǎn)在圓外—點(diǎn)在圓內(nèi)。

2.嘗試問題統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)設(shè)置

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)由淺入深，從學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生歸納探究問題的研究路徑與研究方案。因此，嘗試問題采用統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)設(shè)置，從路徑嘗試、方案嘗試、操作嘗試、猜想嘗試、驗(yàn)證嘗試五個(gè)方向引導(dǎo)學(xué)生探討解決問題的路徑與方案，從而提出合理猜想并加以證明。

問題1：當(dāng)點(diǎn)P0（x0，y0）在圓O：x2 + y2 = r2上時(shí)，圓O過點(diǎn)P0的切線方程是怎樣的？你能否證明你的結(jié)論？

問題2：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P0（x0，y0）在圓O：x2 + y2= r2外時(shí)，方程x0x + y0y = r2表示怎樣的直線？

嘗試活動(dòng)：（1）直線l：x0x+y0y=r2與圓O有怎樣的位置關(guān)系？

（2）通過操作實(shí)驗(yàn)，你可以提出怎樣的猜想，怎樣證明你的結(jié)論？

（3）如果由點(diǎn)P0作圓O的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），你能根據(jù)問題1的結(jié)論證明你的猜想嗎？

本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，由問題1結(jié)論探尋對(duì)于點(diǎn)在圓外和點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，直線l的幾何意義。教師基于學(xué)生認(rèn)知體驗(yàn)的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究，通過嘗試活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生猜想直線為切點(diǎn)弦AB所在直線，并給出代數(shù)證明。換個(gè)角度，從點(diǎn)P0作切線，應(yīng)用問題1的結(jié)論進(jìn)行證明，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與應(yīng)用。

問題3：如圖4，當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2內(nèi)（異于O）時(shí)，你能發(fā)現(xiàn)直線x0x+y0y=r2與圓有怎樣的位置關(guān)系？

嘗試活動(dòng)：（1）直線l：x0x+y0y=r2與圓O有怎樣的位置關(guān)系？

（2）你能作出與點(diǎn)有聯(lián)系的切線嗎？

（3）根據(jù)你的操作，可以得到怎樣的猜想？

通過操作實(shí)驗(yàn)的設(shè)置，學(xué)生嘗試探究的方法，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，從而體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想的認(rèn)知過程。問題3是一個(gè)開放性的研究問題，學(xué)生需要根據(jù)自己的猜想進(jìn)行多次操作試驗(yàn)，讓思維經(jīng)歷對(duì)峙、分化、共鳴的過程，最后得到合理猜想。主要有兩個(gè)角度：（1）從點(diǎn)P0出發(fā)任意作一條弦，過弦的兩端作圓的切線，切線的交點(diǎn)在直線上；（2）在直線l上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切線的交點(diǎn)為點(diǎn)P0。

3.嘗試問題開放的思維延展

在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，基于學(xué)生的個(gè)體差異，教師應(yīng)留給學(xué)生充分交流探討的空間，讓學(xué)生圍繞一節(jié)課的探究主題，以其所掌握情況為支點(diǎn)，通過不斷的思考、嘗試、反思，形成自己的思維鏈。教師在探究過程中只有關(guān)注學(xué)生的思維過程，確定學(xué)生的認(rèn)知水平，才能充分地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思，從而實(shí)現(xiàn)探究方法和證明方法的正遷移。

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，讓學(xué)生用已有經(jīng)驗(yàn)嘗試解決“新生”問題，這樣才能激發(fā)學(xué)生的求知欲，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力。問題探究課堂可以從精心設(shè)計(jì)適合學(xué)情的“嘗試問題組”出發(fā)，構(gòu)建適合學(xué)生思維發(fā)展的課堂空間，營(yíng)造以學(xué)生為主體的思維學(xué)習(xí)場(chǎng)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力生成的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生開放的思維收斂在正向的維度，讓高中數(shù)學(xué)教學(xué)更具實(shí)效性。

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