【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；方法引領(lǐng)；教學(xué)設(shè)計；冪函數(shù)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）19-0043-04

【作者簡介】楊玲玲，江蘇省句容市第三中學(xué)（江蘇句容，212400）教師，一級教師。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教材必修一第6章第1節(jié)，是第5章《函數(shù)》內(nèi)容的延續(xù)和深化，也是函數(shù)思想方法應(yīng)用的具體化。學(xué)生在初中時已經(jīng)接觸過y = x，y = x2，y = x-1等函數(shù)，對這些函數(shù)有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)和研究經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生梳理已有經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生學(xué)會從數(shù)和形兩個角度來研究冪函數(shù)的性質(zhì)。這樣的研究方式對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著引領(lǐng)、指導(dǎo)和組織的作用，能夠幫助學(xué)生建立研究函數(shù)模型的方法范式，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和方法的自然延拓。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1.了解冪函數(shù)的概念，會畫出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等冪函數(shù)的圖象；

2.了解幾個常見的冪函數(shù)的性質(zhì)，會利用它們的單調(diào)性比較兩個底數(shù)不同而指數(shù)相同的指數(shù)冪值的大??；

3.經(jīng)歷探究冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程，明確研究一類函數(shù)模型的基本方法，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、學(xué)情分析

1.學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課對象是江蘇省四星級普通高中高一學(xué)生，在知識結(jié)構(gòu)上，他們在初中時已經(jīng)研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等初等函數(shù)，在高中又學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及簡單性質(zhì)，已經(jīng)積累了研究函數(shù)的初步知識基礎(chǔ)。在經(jīng)驗(yàn)方法上，他們經(jīng)歷了對y = x，y = x2，y = x-1等函數(shù)的初步學(xué)習(xí)，已經(jīng)擁有了研究函數(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)，并具備一定的觀察、分析、抽象、概括能力。

2.達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)

在探究冪函數(shù)性質(zhì)的過程中，需要學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想有較深刻的認(rèn)識和理解，有較強(qiáng)的直觀想象、邏輯推理能力和良好的獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、教學(xué)過程設(shè)計

1.復(fù)習(xí)回顧，方法引領(lǐng)

【課堂引導(dǎo)語】函數(shù)概念的分析，為探索種種運(yùn)動規(guī)律提供有力工具，教給人們?nèi)绾我罁?jù)已有的經(jīng)驗(yàn)去預(yù)測未來的事物，從而進(jìn)一步獲得自然界的科學(xué)知識，從千姿百態(tài)的現(xiàn)象中總結(jié)出反映本質(zhì)的基本規(guī)律?！樟窒Ｄ?/p>

問題1：在以往的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的哪些基本內(nèi)容？

在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)過一些具體的函數(shù)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等，y = x，y = x2，y = x-1是其中的特例；在高中，學(xué)習(xí)過函數(shù)的一些基本性質(zhì)，比如：定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性等。結(jié)合初高中所學(xué)，可以得到表1。

問題1.1：表1中函數(shù)y = x2的奇偶性可以如何得到？

問題1.2：表1中函數(shù)y = x2的單調(diào)性可以如何得到？

問題1.3：函數(shù)y = x2的奇偶性和單調(diào)性之間有什么聯(lián)系？對我們研究新的函數(shù)有什么啟發(fā)？

上述問題的答案可以通過觀察y = x2圖象特點(diǎn)得到，即“以圖識性”，這是初中研究函數(shù)最常用的方法；也可從解析式出發(fā)，即“依性作圖”，這是學(xué)生在進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后新習(xí)得的方法。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，為“對稱取點(diǎn)”作圖埋下伏筆，也為學(xué)習(xí)“研究單調(diào)性時只需研究定義域的‘一半”作鋪墊。后續(xù)學(xué)生可以從這兩個角度來研究y = x3，y = x[12]，y = x-2這3個具體函數(shù)。

【設(shè)計意圖】上述教學(xué)首先通過普林希姆的話，引出本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)：在函數(shù)學(xué)習(xí)中，要善于根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法，進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移，進(jìn)一步研究未知的知識。然后通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)相關(guān)知識并明確研究函數(shù)的兩種方法，體會函數(shù)圖象與性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，為研究冪函數(shù)作鋪墊。

2.歸納特征，構(gòu)建概念

問題2：這六個函數(shù)的解析式有什么共同特征？你能概括出它們的一般形式嗎？

【設(shè)計意圖】從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言抽象出冪函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y = xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)。

3.合作探究，歸納性質(zhì)

問題3：你能根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來研究y = x3，y = x[12]，y = x-2的圖象和性質(zhì)嗎？說說你的設(shè)想。

【探究活動1】初探函數(shù)y = x3，y = x[12]，y = x-2的性質(zhì)。

函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的“寬度”，值域決定了函數(shù)的“高度”，奇偶性反映了函數(shù)的對稱性，單調(diào)性反映了函數(shù)的變化趨勢。學(xué)生通過自主探究、小組討論，先從解析式入手，能夠得到三個函數(shù)的定義域、值域、奇偶性，即“依性作圖”。

【設(shè)計意圖】高中數(shù)學(xué)教學(xué)提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式。上述教學(xué)放手讓學(xué)生自主探究：定義域、值域、奇偶性可以依據(jù)定義從數(shù)的角度判斷，而單調(diào)性借助圖象判斷更加直觀。經(jīng)過充分的探究，學(xué)生能夠建立統(tǒng)一的觀點(diǎn)：具有奇偶性的函數(shù)，先研究定義域的“一半”，“另一半”由對稱性得到。

【探究活動2】畫出函數(shù)y = x3，y = x[12]的圖象。

學(xué)生在小組內(nèi)討論交流，展示圖象，說明畫法，并回答以下問題。

問題3.1：你采用什么方法畫出它們的圖象？取了哪些點(diǎn)？

問題3.2：根據(jù)這幾個點(diǎn)你是怎么確定它的圖象是這樣的形狀呢？怎么做可以讓所畫圖象趨勢更準(zhǔn)確一點(diǎn)？

問題3.3：能否少取一些點(diǎn)？理由是？

【師生活動】學(xué)生結(jié)合取點(diǎn)分析出y = x3在第一象限隨自變量增大呈現(xiàn)出“快速增長”趨勢，y = x[12]在第一象限隨自變量增大呈現(xiàn)出“緩慢增長”趨勢。教師用作圖軟件在同一個坐標(biāo)系內(nèi)作出y = x3，y = x[12]的圖象，讓學(xué)生體會變化趨勢的不同。

問題3.4：給出函數(shù)y = x4，你認(rèn)為它在［0，+∞）的圖象和哪個函數(shù)類似？

問題3.5：給出函數(shù)y = x[13]，你認(rèn)為它在［0，+∞）的圖象和哪個函數(shù)類似？

在這里，教師要及時用作圖軟件驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)0＜α＜1，α＞1兩種情況下的圖象特征。

【設(shè)計意圖】畫圖能夠讓學(xué)生直觀感受圖象位置與變化規(guī)律。遞進(jìn)式問題串能夠幫助學(xué)生梳理圖象與性質(zhì)之間的思維路徑，感受依性作圖和以圖識性中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，獲得研究具體函數(shù)的新思路，促進(jìn)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。

師：前面我們通過歸納6個函數(shù)的解析式的共同特性得到了冪函數(shù)的定義，得到了這5個函數(shù)的圖象（見圖1）。如果從形的角度歸納圖象的共同特征，又能有哪些收獲呢？

問題3.6：如圖1，觀察這5個函數(shù)圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些共同的特性？

問題3.7：當(dāng)指數(shù)怎樣變化時，冪函數(shù)在［0，+∞）會呈現(xiàn)這樣的變化趨勢呢？

【師生活動】觀察幾個特殊函數(shù)的圖象，讓學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，引導(dǎo)學(xué)生從特殊點(diǎn)、單調(diào)性等方面尋找共同特性，進(jìn)行歸納并提出一般猜想：一般地，函數(shù)y = xα，當(dāng)α＞0時，函數(shù)的圖象都過點(diǎn)（0，0）和（1，1）；在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在［0，+∞）上是增函數(shù)。教師借助軟件歸納驗(yàn)證得出圖2。

【設(shè)計意圖】上述探究過程中，學(xué)生合作探究，通過觀察、歸納、猜想，形象記憶了函數(shù)圖象和性質(zhì)。教師通過問題串的形式，層層遞進(jìn)，由特殊到一般，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)冪函數(shù)隨冪指數(shù)變化的圖象性質(zhì)變化情況，進(jìn)而給出一般猜想，并借助作圖軟件歸納驗(yàn)證。

師：回顧前面的研究過程，對α＜0的冪函數(shù)是否也會有類似的共性呢？

【探究活動3】小組合作，設(shè)計探究α＜0時冪函數(shù)性質(zhì)的研究思路與方案。

問題3.8：在用描點(diǎn)法畫y = x-2的圖象之前，你會做哪些準(zhǔn)備工作？

問題3.9：觀察函數(shù)圖象，可以得到哪些共性？

【師生活動】選擇兩個特殊的函數(shù)y = x-1，y = x-2畫出圖象，歸納共性并提出一般猜想：一般地，函數(shù)y = xα，當(dāng)α＜0時，函數(shù)的圖象都過點(diǎn)（1，1）；在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)。教師借助軟件歸納驗(yàn)證。

【設(shè)計意圖】上述教學(xué)讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組之間交流、討論、合作設(shè)計研究思路和方案，并通過追問評價學(xué)生是否理解了依性作圖和以圖識性的關(guān)系，掌握了研究新函數(shù)的思路。這個過程中，學(xué)生將前面研究的經(jīng)驗(yàn)類比遷移，再次經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過程，積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)，感受探究一類函數(shù)共性的基本方法。

4.自主探究，形成體系

問題4：如圖3，五種指數(shù)范圍下的冪函數(shù)在（0，+∞）的圖象都在第一象限，你能給出這里“形”背后的“數(shù)”的說明嗎？

問題4.1：冪函數(shù)在其他象限的圖象如何得到？

問題4.2：根據(jù)第一象限特征，結(jié)合奇偶性，冪函數(shù)的圖象共有多少類？

【設(shè)計意圖】上述教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性，為以后作圖提供一般思路和方法，幫助學(xué)生在復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生的理性思維和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并體會冪函數(shù)圖象之美。

5.探究典例，實(shí)踐應(yīng)用

【課堂例題】試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）1.14，0.894；

（2）2.1-3，2-3，1.8-1。

【設(shè)計意圖】例題考察冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，旨在通過練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步加深對冪函數(shù)性質(zhì)的理解，并體會用性質(zhì)解決實(shí)際問題的過程，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)。

6.總結(jié)升華，形成系統(tǒng)

問題5：本節(jié)課主要研究了哪些內(nèi)容？是如何研究的？研究一個新函數(shù)的途徑和策略是什么？我們還能研究什么？

【設(shè)計意圖】通過回顧整節(jié)課的研究過程，幫助學(xué)生建立起研究一類函數(shù)的基本思路，體會研究一類函數(shù)共性的一般方法，積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)，體會特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、歸納類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用。從知識、方法、思想等多維度進(jìn)行反思提煉，既總結(jié)收獲、積累經(jīng)驗(yàn)，同時又站在本章起始的視角明晰后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)的基本思路，體現(xiàn)單元引領(lǐng)作用。最后，提出數(shù)學(xué)史中“冪”的發(fā)展，滲透數(shù)學(xué)文化。

7.分層作業(yè)，鞏固新知

【感受·理解】P134習(xí)題1，2，3，4。

【思考·運(yùn)用】P134習(xí)題5，6，7。

【拓展·探究】證明：冪函數(shù)y = x3在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)。

【設(shè)計意圖】作業(yè)設(shè)計上注重分層，通過“感受·理解”讓學(xué)生掌握冪函數(shù)的概念，鞏固對冪函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識；通過“思考·運(yùn)用”加深學(xué)生對冪函數(shù)性質(zhì)的理解；通過“拓展·探究”提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和代數(shù)論證的能力。