国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

借助數(shù)形結(jié)合 發(fā)展幾何直觀

2024-06-12 04:25王衛(wèi)東
基礎(chǔ)教育論壇·上旬 2024年4期
關(guān)鍵詞:幾何直觀數(shù)形結(jié)合初中數(shù)學(xué)

王衛(wèi)東

摘? 要:幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。文章基于教學(xué)過程,逐步闡述如何借助數(shù)形結(jié)合思想,促使學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系的數(shù)形轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)中,充分積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力,發(fā)展幾何直觀能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》關(guān)于幾何直觀的內(nèi)涵是這樣表述的:幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素,依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類;根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì);建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型;利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題,探索解決問題的思路。

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的關(guān)系,使“點(diǎn)”與“數(shù)”有了和諧的統(tǒng)一。數(shù)可以用直線上的點(diǎn)來表示,反之直線上的點(diǎn)也可以用數(shù)來表示;絕對值與距離的關(guān)聯(lián),讓點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以用數(shù)來表達(dá);平面直角坐標(biāo)系的建立,讓“數(shù)”和“形”有了完美的結(jié)合。也就是說,可以用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題,也可以從幾何的視角研究解決代數(shù)問題。初中階段,數(shù)形結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的基本思想,也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要路徑之一。

在用代數(shù)的方法研究解決幾何圖形問題和借助幾何圖形研究解決代數(shù)問題中,平面直角坐標(biāo)系是有效的數(shù)學(xué)工具,也是數(shù)形結(jié)合的平臺。在平面直角坐標(biāo)系中,有序數(shù)對可以用來刻畫點(diǎn)的位置,還可以刻畫圖形的位置和形狀。它能描述兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系,讓學(xué)生利用靜態(tài)的圖形研究動(dòng)態(tài)的變化過程。下面以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“4.3 坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的軸對稱和平移”第1課時(shí)的教學(xué)為例,嘗試引導(dǎo)學(xué)生在積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程中感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力,發(fā)展幾何直觀能力。

一、明方向,定內(nèi)容,由形想數(shù)

為明確本節(jié)課數(shù)學(xué)問題的研究方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容,教師先展示一組能體現(xiàn)圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變化在日常生活中應(yīng)用的圖片(略),并設(shè)計(jì)一組問題鏈讓學(xué)生進(jìn)行自主探究和實(shí)踐操作。

問題1:從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度看,這些圖片所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識可以分為幾類?分類的依據(jù)是什么?

問題2:分別說說軸對稱圖形和圖形的對稱軸,兩者的概念和性質(zhì)各是什么?

問題3:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中作出線段AB關(guān)于y軸對稱的線段[A′B′,] 分別寫出點(diǎn)A,B,[A′,B′]的坐標(biāo),并觀察A,B兩點(diǎn),以及與它們的對應(yīng)點(diǎn)[A′,B′]的坐標(biāo),你有什么發(fā)現(xiàn)?

本環(huán)節(jié)是從日常生活的具體事例中抽象出數(shù)學(xué)知識,觸發(fā)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn),通過簡單作圖和回答問題,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到新知識的探究中,從而明確本節(jié)課的研究方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容。這是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思維過程。從觀察現(xiàn)實(shí)生活中的軸對稱現(xiàn)象,到在平面直角坐標(biāo)系中作軸對稱圖形,再到寫相應(yīng)的坐標(biāo)及最后思考各坐標(biāo)的特征,這是從幾何直觀(作圖)到代數(shù)表達(dá)的一個(gè)由“形”到“數(shù)”、發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的活動(dòng)過程。在這個(gè)數(shù)學(xué)思維過程中,學(xué)生能夠基本確定本節(jié)課主要是研究“數(shù)”和“形”的關(guān)系。

二、引入數(shù),升華形,由形助數(shù)

在平面直角坐標(biāo)系中,研究點(diǎn)的變化規(guī)律是研究平面直角坐標(biāo)系中圖形問題的基本路徑之一。新知識和新方法的探究應(yīng)該符合低起點(diǎn)、小切口的原則,讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探究過程。在問題的解決過程中,學(xué)生受限于個(gè)人的思維水平和能力差異,所獲得的經(jīng)驗(yàn)和抽象概括內(nèi)容是不同的。因此,在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,教師應(yīng)該提倡合作交流,發(fā)展學(xué)生的批判思維和質(zhì)疑精神。如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作交流呢?這時(shí),教師可以引入對點(diǎn)的坐標(biāo)這種“數(shù)”的思考,讓學(xué)生在思考中得到對刻畫點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中這種“形”的深度體驗(yàn)。

問題4:在圖2中分別作出點(diǎn)[A2,3]關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1,以及關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A2,并寫出點(diǎn)A1,A2的坐標(biāo),比較對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),你有什么發(fā)現(xiàn)?

問題5:取不同的點(diǎn),再次驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并與同伴交流。

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)[Aa,b]關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為[a,-b,] 關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為[-a,b。] 在寫點(diǎn)A1,A2坐標(biāo)的過程中,學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般的提出猜想、驗(yàn)證猜想的思維過程。最后,由點(diǎn)的軸對稱(形)到發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)(數(shù))規(guī)律,學(xué)生經(jīng)歷了由形到數(shù)的體驗(yàn)、感悟過程。在與同伴的交流過程中,學(xué)生經(jīng)歷了質(zhì)疑、批判、評價(jià)、決策的過程。而問題鏈的解決,是從引入“數(shù)”開始,以升華“形”結(jié)束的,是一個(gè)幾何直觀與代數(shù)表達(dá)相融合的過程,使學(xué)生體驗(yàn)到了“數(shù)”和“形”是相輔相成的。

三、形助數(shù),尋路徑,由形定數(shù)

為進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,使學(xué)生能從觀察“形”的結(jié)構(gòu)特征得到“數(shù)”的表達(dá)特征,從“數(shù)”的表達(dá)特征想象“形”的結(jié)構(gòu)特征,實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,這就要求教師倒推教學(xué)過程中問題鏈的設(shè)計(jì),從而促使學(xué)生再度探究數(shù)與形的關(guān)聯(lián),尋找解決問題的路徑。

問題6:如圖3 ,作出點(diǎn)[A2,3]關(guān)于直線x = -1的對稱點(diǎn)A1,以及關(guān)于直線y = 1的對稱點(diǎn)A2,并寫出點(diǎn)A1和A2的坐標(biāo)。

問題7:在問題6中,連接AA1交直線x = -1于

點(diǎn)M1,連接AA2交直線y = 1于點(diǎn)M2,直接寫出點(diǎn)M1和M2的坐標(biāo)。

問題8:若點(diǎn)[P6,2]和點(diǎn)[Q-2,2]關(guān)于某條直線對稱,試直接寫出該直線的表達(dá)式。

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)[A2,3]關(guān)于直線x = -1的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為[-4,3,] 關(guān)于直線y = 1的對稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為[2,-1。] 點(diǎn)[P6,2]和點(diǎn)[Q-2,2]關(guān)于直線x = 2對稱。因?yàn)閷ΨQ軸發(fā)生了變化,所以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)不再是簡單的符號變化。因此,在問題6和問題7中,學(xué)生從作出對稱點(diǎn)到寫出點(diǎn)的坐標(biāo),是對數(shù)形的淺層結(jié)合。而在問題8中,學(xué)生從根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn),到畫出P,Q兩點(diǎn)的對稱軸,最后寫出對稱軸的表達(dá)式,這是一個(gè)具體可操作的可視化過程。在這個(gè)過程中,學(xué)生探究數(shù)形之間的關(guān)聯(lián),從形中尋找數(shù),使得數(shù)形深度結(jié)合,從而獲得一個(gè)具體的、有深度的、數(shù)形結(jié)合的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、融數(shù)形,提能力,數(shù)形相融

在明確探究問題的線索和研究解決問題的方法之后,學(xué)生的學(xué)習(xí)再度走向深入。如何從點(diǎn)關(guān)于軸對稱的學(xué)習(xí)深入到點(diǎn)關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的學(xué)習(xí),以及由此得出任意一個(gè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)的學(xué)習(xí)。此時(shí),教師應(yīng)該提供關(guān)聯(lián)性知識和解決問題的問題鏈,并在問題鏈的深度挖掘中使學(xué)生鞏固數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

問題9:寫出點(diǎn)[A2,3]關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo),以及點(diǎn)[Pa,b]關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。

問題10:已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[A4,-1,B2,3,] 試寫出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo),并與同伴交流你的思考過程。

有了前面解決問題的經(jīng)驗(yàn),對問題9的解決,學(xué)生基本能畫出如圖4所示的圖形,從而解決問題。

對于問題10,大部分學(xué)生無從下手,少部分學(xué)生通過畫圖猜想出正確答案,但無法解釋其中的原理。此時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生回顧并觀察問題7中點(diǎn)M1與點(diǎn)A和點(diǎn)A1,點(diǎn)M2與點(diǎn)A和點(diǎn)A2之間的坐標(biāo)關(guān)系,并提出猜想,通過畫圖驗(yàn)證猜想是否成立。學(xué)生立刻發(fā)現(xiàn)問題7中的點(diǎn)M1的橫坐標(biāo)為[2+-42=-1,] 點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)為[3+-12=1,] 而點(diǎn)M1,M2分別是線段AA1和線段AA2的中點(diǎn),于是提出初步猜想:中點(diǎn)橫坐標(biāo)就是線段兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)之和的一半,中點(diǎn)縱坐標(biāo)就是線段兩端點(diǎn)縱坐標(biāo)之和的一半。因此,問題10中的點(diǎn)M的坐標(biāo)是[3,1。]

對于怎樣證明猜想的準(zhǔn)確性,學(xué)生可以利用圖形的軸對稱性質(zhì)和三角形全等性質(zhì)構(gòu)造圖形來驗(yàn)證。教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)軸平行的特殊線段中點(diǎn)坐標(biāo)與線段端點(diǎn)坐標(biāo)存在關(guān)聯(lián),從而引發(fā)學(xué)生猜想:一般情況下的線段中點(diǎn)坐標(biāo)是不是也如此,并利用圖形來驗(yàn)證猜想是否成立。在這個(gè)過程中,學(xué)生經(jīng)歷了提出猜想、畫圖驗(yàn)證、證明猜想的全過程。在與同伴的交流中,學(xué)生則經(jīng)歷了批判、選擇和決策的數(shù)學(xué)思維全過程,促進(jìn)數(shù)形結(jié)合,進(jìn)一步發(fā)展了幾何直觀能力,培養(yǎng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

五、建框架,促思維,形成學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

構(gòu)建學(xué)習(xí)框架,是落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體,是尋找解決問題的手段和方法,也是解決問題的核心環(huán)節(jié)。因此,在課堂小結(jié)環(huán)節(jié),教師要學(xué)會(huì)放手,提供給學(xué)生思考的方向和必要的思考時(shí)間,讓學(xué)生自主進(jìn)行歸納小結(jié)。關(guān)于本節(jié)課的學(xué)習(xí),師生對以下幾個(gè)方面進(jìn)行歸納小結(jié)。

(1)這節(jié)課的重點(diǎn)是什么?難點(diǎn)是什么?

(2)在平面直角坐標(biāo)系中研究圖形問題時(shí),其研究的基本對象是什么?從點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,到關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱,再到關(guān)于象限的角平分線對稱,最后到求平面直角坐標(biāo)系中任意線段的中點(diǎn)坐標(biāo),在整個(gè)過程中,我們解決問題的核心方法是什么?

雖然學(xué)生的歸納各有不同,但大家對于數(shù)形結(jié)合思想、幾何直觀能力的認(rèn)識達(dá)成了共識。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中,我們以兩條坐標(biāo)軸作為對稱軸,從觀察點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律入手,到如何刻畫點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位置的“形”的思考,從而獲得原始的直接經(jīng)驗(yàn);再到對稱軸為直線x = -1和直線y = 1時(shí),感受點(diǎn)的坐標(biāo)“數(shù)”的變與不變,深入探究變化中的不變性,從而積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);到最后以直線y = x為對稱軸寫出對稱點(diǎn)的坐標(biāo),以及拓展到能在平面直角坐標(biāo)系中求出任意一條線段中點(diǎn)的坐標(biāo),獲得理性數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)形結(jié)合思想貫穿了整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng),使學(xué)生獲得了充分體驗(yàn),逐步發(fā)展了幾何直觀能力。

六、教學(xué)反思

對于本節(jié)課,如果只按照教材的課時(shí)分配進(jìn)行教學(xué),教學(xué)內(nèi)容止步在點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱和作圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,那么本課時(shí)的教學(xué)就只是注重教授知識,忽略了“在平面直角坐標(biāo)系中研究對稱性問題”這條關(guān)鍵教學(xué)主線,也難以對后續(xù)研究二次函數(shù)圖象的軸對稱性和反比例函數(shù)圖象中心對稱進(jìn)行知識關(guān)聯(lián),很難形成系統(tǒng)性的知識整合。忽視初中階段研究圖形和函數(shù)圖象的軸對稱性問題,會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識體系破碎化,缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性,限制學(xué)生的思維發(fā)展,使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)局限于單一課時(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí),長遠(yuǎn)來看不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。我們還要深度思考:這節(jié)課的教學(xué)對后續(xù)的學(xué)習(xí)能起什么作用?對學(xué)生哪方面的數(shù)學(xué)思想方法有培養(yǎng)和提升作用?對于幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展提供了什么樣的學(xué)習(xí)路徑?這需要教師繼續(xù)思考、實(shí)踐與提煉。

參考文獻(xiàn):

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

[2]趙桂芳. 加強(qiáng)尺規(guī)作圖? 建立幾何直觀[J]. 遼寧教育,2022(21):5-9.

猜你喜歡
幾何直觀數(shù)形結(jié)合初中數(shù)學(xué)
淺談幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略
幾何直觀——數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然之道
多路徑:讓課堂教學(xué)更直觀
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“幾何直觀”的教學(xué)策略分析
數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用
淺析數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)看解析幾何
例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的“頓悟”
初中數(shù)學(xué)高效課堂的創(chuàng)建策略
學(xué)案式教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用