韓乙飛

（福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 福州 350007 ）

群之間的同態(tài)個(gè)數(shù)是研究群結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要的研究問(wèn)題,研究群同態(tài)是刻畫(huà)群結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要工具,目前已經(jīng)有許多研究成果。Frobinous[1]得出n 階循環(huán)群Cn到有限群C 的同態(tài)個(gè)數(shù)是gcd(n,)的整數(shù)倍,其中g(shù)cd(n,)表示n 與的最大公因數(shù);Yosida[2]把文獻(xiàn)[1]的結(jié)果進(jìn)行推廣,得出當(dāng)Cn為n 階可交換群時(shí),Cn到C 的同態(tài)個(gè)數(shù)也是的整數(shù)倍。對(duì)于有限循環(huán)群之間的同態(tài)也存在一些有趣的結(jié)論。屈寅春[3]給出了兩個(gè)有限循環(huán)群之間所有同態(tài)映射的總數(shù)計(jì)算公式；馮克勤等[4]證明無(wú)限循環(huán)群的自同構(gòu)群階數(shù)為2,n 階有限循環(huán)群的自同構(gòu)群同構(gòu)于φ（n）階阿貝爾群,其中φ（n）為歐拉函數(shù).這些表明群與群之間的群同態(tài)和群同構(gòu)個(gè)數(shù)與數(shù)論有著密切的關(guān)系。對(duì)于循環(huán)群之間的同態(tài)個(gè)數(shù)的研究并不多見(jiàn),而且還沒(méi)有文獻(xiàn)研究恒等態(tài)射的k次方根態(tài)射。

先根據(jù)有限循環(huán)群上k 次方根態(tài)射的定義,把k次方根態(tài)射個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為同余式xk≡1(mod m) 的解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)初等數(shù)論知識(shí),求出當(dāng)k 為奇素?cái)?shù)時(shí),xk≡1(mod m) 的解的個(gè)數(shù)。記號(hào)如下:f（x）是整系數(shù)多項(xiàng)式,f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù),gcd（k,n）表示整數(shù)k 與n的最大公因數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)G 為m 階有限循環(huán)群,m＞1,φ：G→G 為群同態(tài)。若φk=1G，1G,為恒等態(tài)射,k 為正整數(shù),稱φ 為G的k 次方根態(tài)射。

定義2對(duì)正整數(shù)m,小于或等于m 的數(shù)中與m互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為歐拉函數(shù),記作φ（m）。當(dāng)m=1,φ（1）＝1;當(dāng)m＞1,令m 的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)數(shù)分解式為

定義3設(shè)m 是大于1 的整數(shù),f（x）=anxn+…+a1x+a0是n 次整系數(shù)多項(xiàng)式,若對(duì)于整數(shù)a,有f（a）≡0（mod m）,則稱x≡a(mod m) 為f（x）的一個(gè)解。

引理1階循環(huán)群上次方根態(tài)射的個(gè)數(shù)與同余式

的解數(shù)相等。

引理2[5]設(shè)gcd（m1，m2）=1,那么同余式f（x）≡0(mod m1m2) 解的個(gè)數(shù)為f（x）≡0(mod m1) 與f（x）≡0(mod m2) 解數(shù)之積。

解數(shù)為同余式組

解數(shù)之積。設(shè)（2）式的解數(shù)為T(mén),同余式組（3）式中的解數(shù)Ti,于是T=T1T2…Ts。

引理3[5]若p 為素?cái)?shù),則同余式xk≡1(mod p) 的解數(shù)為gcd（k,p-1）。

引理4[5]設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,l 為正整數(shù)。若同余式 f（x）≡0(mod p)與f′（x）≡0(mod p)無(wú)公共解,那么同余式f（x）≡0(mod p)與f（x）≡0(mod pl)的解數(shù)相等。

引理5設(shè)整數(shù)p,r 都大于1,a∈｛0，1，2，…，pr-1-1｝。若x≡a(mod pr) 為同余式

的解,則x≡a+tpr-1(mod pr) 都為同余式（4）的解,對(duì)任意的t=0,1,2,…,p-1;若x≡a(mod pr) 不為同余式（4）的解,則x≡a+tpr-1(mod pr) 都不為同余式（4）的解,對(duì)任意的t=0,1,2,…,p-1。

進(jìn)一步,若知道（4）式在｛x≡0，1，2，…，pr-1-1(mod pr)｝中的解集為,其中s 為正整數(shù),則（4）式的解集為≤i≤s,0≤t≤p-1 ｝,個(gè)數(shù)為sp 個(gè)。

證明設(shè)t=0,1,2,…,p-1。

因此（4）式的解集為

解的個(gè)數(shù)為sp 個(gè)。

2 主要定理及證明

定理設(shè)為奇素?cái)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)數(shù)分解式,φ 為歐拉函數(shù),m 階循環(huán)群上k 次方根態(tài)射個(gè)數(shù)為

證明由引理1,m 階循環(huán)群上次方根態(tài)射個(gè)數(shù)等于

的解數(shù)。根據(jù)引理2,（5）式的的解數(shù)為同余式組

解數(shù)之積。設(shè)（5）式的解數(shù)為T(mén),同余式組（6）式中的解數(shù)Ti,則T=T1T2…Ts。當(dāng)k 為奇素?cái)?shù)時(shí),下面證明Ti=gcd（k,φ（pi）），1≤i≤s。

情形1 ri＝1。

此時(shí)（6）式為

由引理3,（7）式的解數(shù)為

情形2 ri＞1。

注:當(dāng)k=2,上述定理不成立。理由如下:設(shè)m=2a,a為大于2 的整數(shù)，當(dāng)k=2,設(shè)同余式x2≡1（mod 2a）解數(shù)為T(mén)。根據(jù)文獻(xiàn)[6],得T=22≠gcd（2,φ（2a））=2。故k=2,上述定理不成立。