朱田晟驁 唐新標(biāo)

基金項目：

湖南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目“雙減背景下高中數(shù)學(xué)課程思政育人實踐研究”

（項目編號：Y20230426）.

摘? 要：通過對高中數(shù)學(xué)教材中一道跨學(xué)科拓廣探索題的教學(xué)實踐，深入挖掘拓廣探索題中蘊(yùn)含的跨學(xué)科背景材料，闡述如何在課堂上通過拓廣探索題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的“四個價值”—科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.通過跨學(xué)科教學(xué)設(shè)計的探索，建立起數(shù)學(xué)學(xué)科與地理學(xué)科之間的聯(lián)系，促進(jìn)不同學(xué)科的深度融合，讓學(xué)科教學(xué)指向跨學(xué)科融合育人，從而為課堂上落實“四個價值”和融合學(xué)科育人提供參考.

關(guān)鍵詞：拓廣探索；四個價值；學(xué)科融合；跨學(xué)科教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在基本理念中提出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.如何將“四個價值”落實到課堂上？人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》第56頁第27題是一道拓廣探索題，也是一道跨學(xué)科題目，筆者以這道跨學(xué)科習(xí)題材料為背景，設(shè)計了一節(jié)數(shù)學(xué)與地理融合的三角函數(shù)應(yīng)用課，探索在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實“四個價值”、融合學(xué)科育人的做法.

1? 教學(xué)過程

1.1? 情境引入，激發(fā)內(nèi)驅(qū)

大家知道，在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復(fù)始地變化.設(shè)地球表面某地的緯度值為φ，經(jīng)度值為α，正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點的緯度（如圖1），θ，φ，δ這三個量滿足θ=90°-|φ-δ|.

這里涉及幾個地理概念：緯度φ、太陽直射點的緯度δ

、太陽高度角θ，大家是如何理解的？θ=90°-|φ-δ|是如何得到的？

用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表達(dá)地理概念或地理現(xiàn)象，既簡潔直觀又便于地理原理、規(guī)律的解析和推演.

經(jīng)過討論交流后，引導(dǎo)學(xué)生思考.對于正午太陽高度角的計算公式θ=90°-|φ-δ|，可先建立數(shù)學(xué)模型，利用直線與圓相切及角之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，分直射點A與該地B在同一半球上的相對位置、直射點A與該地B不在同一半球上兩種情況進(jìn)行討論.A與B位于不同半球時，當(dāng)直射點與該地處在不同半球上時，δ取負(fù)值.如圖2所示，進(jìn)而可得θ=90°-|φ-δ|.

圖2

【設(shè)計意圖】地理學(xué)科中有一些規(guī)律、原理以及統(tǒng)計圖表等，與數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)，如果能恰當(dāng)運用數(shù)學(xué)知識方法對其解析、推演，那么可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“應(yīng)用意識”，引領(lǐng)學(xué)生感悟.

1.2

問題導(dǎo)向，探究鋪墊

問題1? 某校“經(jīng)天緯地、格物窮理”探究小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點的緯度平均值（太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負(fù)值）.

【設(shè)計意圖】在用數(shù)學(xué)語言理解、表達(dá)地理中的相關(guān)概念和規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步強(qiáng)化對的應(yīng)用，同時為問題2的提出作鋪墊.

問題2 ?春分后第x天，太陽直射點的緯度平均值y與x之間有關(guān)系嗎？如果有關(guān)系的話，有怎樣的關(guān)系？

1.3

實踐探究，數(shù)學(xué)建模

上課前幾周，教師就布置地理和數(shù)學(xué)學(xué)科代表組織同學(xué)一起找地理老師查閱相關(guān)數(shù)據(jù).課堂上，教師和學(xué)生一起展示這些數(shù)據(jù)（見表1）.

然后，教師和學(xué)生一起用擬合函數(shù)的方法分析處理這些數(shù)據(jù)，這實際上是從實際問題中提煉出數(shù)學(xué)模型的過程，也就是數(shù)學(xué)建模的過程.

打開Excel表格，輸入上面的相關(guān)數(shù)據(jù)，在A列中輸入春分后第x天，在B列中輸入太陽直射點緯度平均值y，選項中插入圖表，選擇散點圖中帶平滑曲線和數(shù)據(jù)標(biāo)記的散點圖，右擊后“選擇數(shù)據(jù)”，然后在“圖表數(shù)據(jù)區(qū)域”插入數(shù)據(jù)，即得到春分后第x天時太陽直射點的緯度平均值y與x之間關(guān)系的散點圖（如圖3），從圖中我們可以看出，春分后第x天時，太陽直射點的緯度平均值y與x之間近似呈正弦型函數(shù)關(guān)系：y=Msinωx.

專家研究發(fā)現(xiàn)，其中M為北回歸線的緯度值，約為23.4392911.

【設(shè)計意圖】因為數(shù)學(xué)建模的過程是建模活動的關(guān)鍵，學(xué)生要有把零散的數(shù)據(jù)擬合成函數(shù)后進(jìn)行分析的意識，模型探索是重點、關(guān)鍵點，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著力點.因此，教師沒有直接告訴學(xué)生二者的關(guān)系，而是選擇和學(xué)生一起建模體驗探究.

1.4

數(shù)據(jù)探究，價值引領(lǐng)

結(jié)合上述數(shù)據(jù)，教師進(jìn)一步深化學(xué)生對問題的理解，設(shè)問：你能根據(jù)前面的相關(guān)數(shù)據(jù)設(shè)計估計ω值的方法嗎？

經(jīng)過討論，學(xué)生選擇問題1中數(shù)據(jù)（45，16.08）進(jìn)行估計（也可以選擇其他的數(shù)據(jù)）：23.4392911·sin（45ω）=16.08，sin（45ω）≈0.68602757.

因為不是特殊角的三角函數(shù)值，需要用到反三角函數(shù)的知識，需要借助查表、計算工具才能得到結(jié)果：45ω≈arcsin0.68602757，ω≈0.9625883.

【設(shè)計意圖】通過三角函數(shù)在地理學(xué)科中的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價值.同時，問題的解決要用到反三角函數(shù)的知識，可激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步自學(xué)反三角函數(shù)知識，體現(xiàn)了教材“拓廣探究題”的教學(xué)功能與價值引領(lǐng).

1.5

解決問題，提升能力

請大家解決下面兩個問題.

（1）定義從某年春分到次年春分所經(jīng)歷的時間為一個回歸年，求一個回歸年對應(yīng)的天數(shù)（精確到0.0001）；

（2）利用（1）的結(jié)果，估計每400年中，應(yīng)設(shè)定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數(shù)最為接近（精確到1）.

【設(shè)計意圖】通過三角函數(shù)在地理學(xué)科中的應(yīng)用，在探索數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)模型解決地理問題，提升學(xué)生解決實際問題的能力.

1.6

拓展延伸，創(chuàng)新發(fā)展

教師介紹地理中的“星下點”問題，拓廣知識，培養(yǎng)學(xué)生的探究興趣.

我們在觀看衛(wèi)星發(fā)射的電視直播時，在宇宙飛船控制中心的大屏幕上都會看到形如圖4所示的曲線，引導(dǎo)學(xué)生探究這些曲線是怎樣形成的.

圖4

這里就涉及星下點與星下點的軌跡問題，繞地球運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星質(zhì)心和地心的連線與地球表面相交的點叫作星下點.星下點是人造地球衛(wèi)星繞地球運行過程中，經(jīng)過其軌道上的每一個位置時，衛(wèi)星在地球表面上所形成的一個投影點.衛(wèi)星繞地球運動過程中，所有星下點連成的曲線叫作星下點軌跡，人們用星下點軌跡來表示衛(wèi)星在地球上空的飛行路線.探究星下點的位置就要用到反三角函數(shù)知識，三角函數(shù)在地理學(xué)科中有著重要的應(yīng)用，反三角函數(shù)是解決地理等其他學(xué)科問題的重要工具，有興趣的同學(xué)可以自學(xué)相關(guān)知識，拓展自己的知識面.同時，教師要介紹中國的航天科技成果，指出“兩彈一星”精神、載人航天精神、探月精神和新時代北斗精神，納入了第一批中國共產(chǎn)黨人精神譜系.

2? 教學(xué)反饋

課后，教師通過個別交流等方式了解學(xué)生對這堂課的收獲與感受，學(xué)生普遍反映這堂課受益匪淺，覺得更像是對數(shù)學(xué)和地理課本知識的延伸與應(yīng)用，深切地感受到數(shù)學(xué)學(xué)科能與地理學(xué)科有緊密的聯(lián)系.很多學(xué)生利用假期自學(xué)了反三角函數(shù)的知識，在圖書館、網(wǎng)上查找相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)在地理學(xué)科中的應(yīng)用.

3? 教學(xué)評析

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整合性、綜合性和交融性，在教學(xué)設(shè)計和組織過程中，我們要將封閉性、碎片化進(jìn)行整合，進(jìn)行學(xué)科融合教學(xué).

數(shù)學(xué)的表現(xiàn)是抽象的、符號化和形式化的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時首先接觸到的是概念、命題、公式、原理以及計算、證明等，這些都是處于顯性形態(tài)的，而數(shù)學(xué)的價值常常處于潛形態(tài)，這就需要教師把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，深度挖掘教材知識，精心設(shè)計課堂教學(xué)，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的四個價值，落實數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo).

3.1? 感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，實現(xiàn)思維育人

高中地理與生活密切相關(guān)，學(xué)科綜合性很強(qiáng)，如果能幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角來理解、分析和解決地理問題，往往可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識.這一堂課，教師基于教材上的拓廣探索題，小臺階設(shè)計，小坡度推進(jìn)，在探究的過程中把學(xué)生的思維逐步引向深入，通過跨學(xué)科融合教學(xué)設(shè)計，建立起數(shù)學(xué)與地理兩個學(xué)科之間的融合聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，加深了學(xué)生對課程內(nèi)容的理解，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)課堂中對地理學(xué)科的體驗感，更重要的是激發(fā)了學(xué)生對新知識探索的熱情.

3.2? 感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，實現(xiàn)科學(xué)育人

教師帶領(lǐng)學(xué)生與地理老師一起收集數(shù)據(jù)，通過引導(dǎo)學(xué)生用擬合函數(shù)的方法來分析這些數(shù)據(jù)，從實際問題中提煉出數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.通過對ω值的估計探索，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值.通過實際應(yīng)用例題的設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生知識應(yīng)用的成就感，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值.同時，問題的解決要用到反三角函數(shù)的知識，可激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步自學(xué)反三角函數(shù)知識，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神，體現(xiàn)了教材“拓廣探究題”的教學(xué)功能與價值引領(lǐng).

3.3? 感悟數(shù)學(xué)的文化價值，實現(xiàn)文化育人

學(xué)科文化是在學(xué)科知識與學(xué)科組織的發(fā)展過程中形成的獨特的知識理論體系、思維方式、價值觀念、學(xué)科傳統(tǒng)、倫理規(guī)范、學(xué)科制度和行為習(xí)慣等，通過學(xué)科文化來培育學(xué)生，實質(zhì)上就是“育其心”“育其行”“育其根”.通過介紹“星下點”問題，拓廣數(shù)學(xué)和地理文化知識，介紹航天科技、航天精神，讓學(xué)生增強(qiáng)民族自豪感和文化自信，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價值，實現(xiàn)文化育人.

課堂是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的主陣地，學(xué)科融合是強(qiáng)化課程協(xié)調(diào)育人的必要手段，是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的必要途徑，是形成深層知識理解的必要環(huán)節(jié).高中數(shù)學(xué)教材中有很多的跨學(xué)科素材，它們分布在章引言、節(jié)首的問題情境、章（節(jié)）末的閱讀材料以及例題、習(xí)題等欄目中.這些跨學(xué)科素材或是以其他學(xué)科知識為載體創(chuàng)設(shè)科學(xué)情境，為數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)提供認(rèn)知背景，或是以數(shù)學(xué)知識為主導(dǎo)，運用數(shù)學(xué)知識和方法解決其他學(xué)科的問題，或運用數(shù)學(xué)眼光和思維去理解其他學(xué)科的奧秘，為用教材進(jìn)行跨學(xué)科的教學(xué)組織提供了可實施的基礎(chǔ).一線的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)組織時要深入挖掘教材中蘊(yùn)含的跨學(xué)科背景材料，有效地組織學(xué)科融合教學(xué)，促進(jìn)不同學(xué)科的深度融合，讓學(xué)科教學(xué)指向?qū)W科融合育人.

參考文獻(xiàn)

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數(shù)學(xué)（必修第一冊A版）［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［3］ 方元沁.高中跨學(xué)科教學(xué)初探——以地理中的地震震級為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（28）：56-58.

［4］ 吳忠偉.核心素養(yǎng)視角下的高中應(yīng)用題新特點及教學(xué)策略——以新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（14）：39-41.

［5］ 李敏.高中跨學(xué)科能力整合提升策略探究——以地理和數(shù)學(xué)學(xué)科為例［J］.中學(xué)地理教學(xué)參考，2018（4）：20-23.

［6］ 郭祥超.教育學(xué)的主體間學(xué)科文化及其建構(gòu)［J］.教育發(fā)展研究，2014（13）：110-113+124.