摘??要:?矩陣多項式理論知識在很多線性代數(shù)或者高等代數(shù)教材中都有所涉及,其逆矩陣求解計算性較強,方法較多。本文主要概述了不同矩陣多項式的逆矩陣的各類求解方法,即:多項式除法、待定系數(shù)法、替代法、綜合除法.?教師在課堂教學中適當?shù)厝谌氡疚膬热葑鳛樗夭模梢陨罨虒W內容,增強知識點之間的關聯(lián)性,也能培養(yǎng)學生的探索知識點間相互滲透的主動意識,對培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力,提高學生學習線性代數(shù)和高等代數(shù)課程的主動性有著重要的作用.
關鍵詞:?逆矩陣;?多項式除法;?待定系數(shù)法;?替代法;?綜合除法
中圖分類號:G642 ??????文獻標識碼:A
Inverse?Matrix?Solution?of??Matrix?Polynomial
Cai?Xuepeng
College?of?Mathematics?and?Physics,?Xinjiang?Agricultural?University
XinjiangUrumqi?Xinjiang???830052
Abstract:The?knowledge?of?matrix?polynomial?is?involved?in?many?linear?algebra?textbooks,?and?its?inverse?matrix?solution?is?more?computationally?efficient?and?has?many?methods.?In?this?paper,?various?methods?of?solving?the?inverse?matrix?of?different?matrix?polynomials?are?summarized,?namely:?polynomial?division,?undetermined?coefficient?method,?alternative?method,?synthetic?division?method.?If?teachers?properly?integrate?the?content?of?this?paper?into?the?classroom?teaching?as?materials,?it?can?deepen?the?teaching?content,?enhance?the?correlation?between?knowledge?points,?and?cultivate?students'?active?awareness?of?exploring?the?mutual?penetration?of?knowledge?points,?which?plays?an?important?role?in?cultivating?students'?innovation?awareness?and?innovation?ability?and?improving?students'?initiative?in?learning?linear?algebra?and?advanced?algebra?courses.
Keywords:?Inverse?matrix;?Polynomial?division;?Undetermined?coefficient?method;?Substitution?method;?Synthetic?division
在線性代數(shù)中,矩陣的逆[1]是其主要的學習內容,常用的方法包括了伴隨矩陣法、初等變換法等[2-6].?這類求解方法較為基礎、單一.?關于矩陣多項式的逆矩陣求解方法[8,9]課本中涉及較少,?且相關課外書籍也未大量提及,?但是部分學生對于該內容興趣較為濃厚.?因此,?為了方便學生更加快速、便捷地對各類矩陣多項式進行逆矩陣求解.?本文重點分析矩陣多項式的逆矩陣的求解方法,?即:多項式除法、待定系數(shù)法、替代法、綜合除法,?并通過幾個實例簡單闡述這些方法的應用,?期望能為求解各類矩陣多項式的逆矩陣問題提供一些思路.
1 預備知識
1. 1 矩陣多項式
設
是關于未知數(shù)的次多項式, 是方陣是的同階單位矩陣, 則稱
是由多項式
形成的矩陣的多項式, 記作.
1. 2 矩陣多項式的逆矩陣
設是一個階方陣, 是矩陣的多項式, 如果存在矩陣, 有如下關系:
則稱矩陣多項式是可逆的, 又稱矩陣為矩陣多項式的逆矩陣[8]. 當矩陣多項式可逆時, 逆矩陣由矩陣多項式唯一確定, 記為.
2 求矩陣多項式的逆矩陣的幾種方法
2. 1 多項式除法
多項式除法求矩陣多項式的逆矩陣主要針對一些抽象的矩陣多項式. 下文敘述將應用到以下兩引理:
引理1[1] 對于階方陣, 若存在矩陣, 使得或, 則矩陣可逆, 且矩陣是矩陣的逆矩陣.
引理2[5] 設和是兩個給定的多項式, 則一定存在多項式和, 使得, 其中, 多項式的次數(shù)小于多項式的次數(shù), 或者.
下面, 本文將根據(jù)的最高次數(shù)分三種情況, 并對這三種情況分別舉例說明如下:
假設矩陣多項式, 求矩陣多項式的逆矩陣[7].
情形一 的次數(shù)比的次數(shù)高, 引理2中的為非零常數(shù).
例1 設, 求的逆矩陣.
解 記
由多項式除法可知,
于是
即
所以, 的逆矩陣為.
例2 設, 求的逆矩陣.
解 記
由多項式除法可知,
于是,
即:
所以, 的逆矩陣為.
情形二 的次數(shù)比次數(shù)高, 引理2中的是次數(shù)大于等于1的多項式.
例3 設, 求的逆矩陣.
解 類似的, 根據(jù)多項式除法可得:
又因為
所以, 矩陣也是可逆的, 則
由式以及矩陣是可逆的, 可知可逆, 從而可知可逆, 其逆矩陣為:
將式的代入式, 便可得到,
綜上所述, 的逆矩陣為.
例4 設, 求的逆矩陣.
解 類似的, 根據(jù)多項式除法可得:
又因為
所以, 矩陣也是可逆的, 則
由式以及矩陣是可逆的, 可知可逆, 從而可知可逆, 其逆矩陣為:
將式的代入式, 便可得到
綜上所述, 的逆矩陣為.
情形三 的次數(shù)比的次數(shù)高.
例5設, 求的逆矩陣.
解 類似可知
再由多項式除法得,
將代入上式, 可得
從而
于是的逆為.
例6 設, 求的逆矩陣.
解 由例5可知
再由多項式除法得,
將代入上式, 可得,
從而,
于是的逆為.
2.2 待定系數(shù)法
采用待定系數(shù)法也可以求解矩陣多項式的逆矩陣[5], 詳細過程見例7和例8.
例7矩陣滿足, 令矩陣, 證明可逆, 并且計算矩陣的逆矩陣.
解 由于的逆矩陣次數(shù)是二次, 故可設
又由于,則有
進而獲取的方程組如公式所示:
通過公式及相關條件, 可以求得、和的數(shù)值,
即
經(jīng)進一步的計算, 可以確定:
例8 矩陣滿足, 令矩陣,證明矩陣可逆, 并且計算矩陣的逆矩陣.
解 由于矩陣的逆矩陣次數(shù)是二次, 故可設
又由于,則有
進而獲取的方程組如公式所示:
通過公式及相關條件, 可以求得、和的數(shù)值,
即
經(jīng)進一步的計算, 可以確定:
2. 3 替代法
設為矩陣多項式, 且當時, 存在和, 將其帶入公式中, 在設定為零多項式的情況下, 可以確定, 然后可以將替換成矩陣, 并且假設, 而, 則可以確定, 從而可以確定是矩陣多項式的逆矩陣[8].
通過上述求解方式, 可以推出下述定理:
定理1[9] 設為一個階矩陣,為復數(shù)域,,,且的根都是的特征根,則可逆的充要條件是. 此時有存在,使得
且
求解矩陣多項式的逆矩陣還可采用替代法, 具體見例9和例10.
例9 設矩陣, 同時, 計算的逆矩陣.
解 的特征多項式為:
,
且.
由上述定理可知, 可逆, 由輾轉相除法可得,
.
因此由上述定理1可知,
.
例10 設矩陣, 同時, 計算的逆矩陣.
解 的特征多項式為:
,
且.
由上述定理可知, 可逆, 由輾轉相除法可得,
.
因此由上述定理1可知,
.
2.4 綜合除法
求解矩陣多項式的逆矩陣還可采用綜合除法, 具體見例11
例11 已知矩陣滿足關系式,計算.
解 設
, ,
從題目中可知,
, 為的零化多項式,
利用綜合除法求得,
,
故
.
例12 已知, 在公式中, 成立,計算.
解 設
, ,
從題目中可知,
, 為的特征多項式,
利用綜合除法求得,
,
故
.
結合定理1, 將矩陣多項式最小化, 由此可得
.
3 結論
矩陣逆矩陣的求解方法很多, 較為常見的有初等變換法和伴隨矩陣法, 這兩種方法是求逆矩陣較簡單的方法, 這兩種求解方法一般要先計算出矩陣多項式, 然后再用逆矩陣求解方法計算, 過程比較繁瑣, 而且容易出錯.
本文主要結合多項式除法、待定系數(shù)法、替代法、綜合除法對矩陣多項式的逆矩陣進行求解. 在實際求解過程中, 應根據(jù)多項式的實際情況, 選擇最為便捷的解法, 以提升對矩陣多項式逆矩陣的求解效率.
參考文獻:
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基金項目:新疆農業(yè)大學教研教改項目“融入人工智能元素的《線性代數(shù)》課程的教學案例設計”,項目編號:2024PTJG092
作者簡介:蔡學鵬(1991—? ),男,漢族,甘肅武威人,碩士,講師,主要從事圖論及其應用和矩陣理論研究。