林溫陽(yáng)

摘要：本文以Python遞歸函數(shù)應(yīng)用教學(xué)為例，深入剖析可操作的計(jì)算思維培養(yǎng)路徑，嘗試構(gòu)建“設(shè)疑啟思→導(dǎo)疑定向→議疑探究→析疑整合→質(zhì)疑創(chuàng)新”（IVECI）極簡(jiǎn)五環(huán)課堂教學(xué)模式，開(kāi)展面向計(jì)算思維培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐，以期為高中信息技術(shù)學(xué)科計(jì)算思維培養(yǎng)提供參考。

關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；信息技術(shù)；遞歸算法；教學(xué)模式

中圖分類號(hào)：G434? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 論文編號(hào)：1674-2117（2024）10-0039-04

計(jì)算思維的概念與內(nèi)涵

計(jì)算思維是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基本概念進(jìn)行問(wèn)題求解、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、人類行為理解等涵蓋計(jì)算機(jī)科學(xué)之廣度的一系列思維活動(dòng)，其作為解決復(fù)雜問(wèn)題的一種獨(dú)特思想方法，具有形式化、模塊化、系統(tǒng)化、自動(dòng)化等特點(diǎn)。計(jì)算思維綜合了數(shù)學(xué)思維、工程思維和科學(xué)思維，強(qiáng)調(diào)基于計(jì)算和創(chuàng)新的思維，其本質(zhì)是抽象（Abstract）、模擬（Imitation）與自動(dòng)化（Automation）。[1]《普通高中信息技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）也明確指出計(jì)算思維是個(gè)體運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法形成解決方案而產(chǎn)生的一系列思維活動(dòng)。培養(yǎng)計(jì)算思維就是讓學(xué)生能夠采用計(jì)算機(jī)可以處理的方式進(jìn)行問(wèn)題界定、建立模型、設(shè)計(jì)算法來(lái)解決問(wèn)題，并達(dá)成學(xué)習(xí)遷移。

從計(jì)算思維的視角辨析遞歸經(jīng)典案例

計(jì)算思維培養(yǎng)可以分解為三個(gè)基本步驟：首先，抽象建模，將待求解的問(wèn)題抽象成一個(gè)概念模型；其次，問(wèn)題分解，把復(fù)雜問(wèn)題拆分成若干簡(jiǎn)單子問(wèn)題；最后，設(shè)計(jì)算法，清晰地陳述解決問(wèn)題的指令順序，編程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題的抽象、模擬和自動(dòng)化。以Python語(yǔ)言為例，下列情況通常會(huì)考慮使用遞歸求解：①遞歸式定義，如求n的階乘、楊輝三角等；②遞歸式數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如鏈表、樹(shù)、圖等；③遞歸式經(jīng)典問(wèn)題，如漢諾塔（Hanoi）問(wèn)題、N皇后問(wèn)題等。

案例1：遞歸求階乘和繪制分形樹(shù)（入門(mén)）。

使用Python語(yǔ)言求階乘的方法很多，這是一個(gè)很好的遞歸入門(mén)引例。自定義求n！的遞歸函數(shù)，fact（n）是調(diào)用者，函數(shù)內(nèi)部fact（n-1）是被調(diào)用者，以此類推。整個(gè)遞歸調(diào)用過(guò)程如下頁(yè)圖1所示。在情境導(dǎo)課中，使用Python的Turtle庫(kù)編寫(xiě)代碼v繪制分形樹(shù)，輕松實(shí)現(xiàn)遞歸算法可視化（如下頁(yè)圖2）。

案例2：青蛙跳臺(tái)階問(wèn)題（簡(jiǎn)單）。

情境問(wèn)題：一只青蛙要跳上20級(jí)臺(tái)階，每次只能跳1級(jí)或2級(jí)，問(wèn)有多少種跳法？

問(wèn)題分析：青蛙既然一次能跳1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，那么跳上N級(jí)臺(tái)階的方法是：先跳上N-1級(jí)臺(tái)階，再跳1級(jí)即可，或者先跳上N-2級(jí)臺(tái)階，再跳2級(jí)亦可。因此，跳上N級(jí)臺(tái)階的方法總數(shù)=跳上N-1級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)+跳上N-2級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)。假定Jump（i）表示跳上i級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)，則遞推式為Jump（N）=Jump（N-1）+Jump（N-2），而遞歸終止條件為Jump（1）=1，Jump（2）=2。事實(shí)上，這是一個(gè)斐波那契（Fibonacci）數(shù)列。當(dāng)然，若是使用排列組合方法，亦可得到結(jié)果為：種。

案例3：漢諾塔（Hanoi）問(wèn)題（中等）。

情境問(wèn)題：相傳古印度大梵天在創(chuàng)世時(shí)，做了3根金剛石柱，在A柱自下而上、由大到小摞有64個(gè)圓盤(pán)，他讓婆羅門(mén)把圓盤(pán)全部轉(zhuǎn)移到C柱上，要求每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤(pán)，而且始終保持大盤(pán)在下、小盤(pán)在上。問(wèn)至少需要移動(dòng)多少次？

問(wèn)題解析：①當(dāng)n=1時(shí)，直接把圓盤(pán)從A柱移到C柱；②當(dāng)n＞1時(shí)，先將A柱上的（n-1）個(gè)圓盤(pán)通過(guò)C柱移到B柱；③接著把A柱上編號(hào)為n的圓盤(pán)移到C柱；④最后將B柱上的（n-1）個(gè)圓盤(pán)通過(guò)A柱移到C柱，遞歸結(jié)束。最終顯示移動(dòng)n個(gè)圓盤(pán)至少需要2n-1次。

案例4：路邊隨機(jī)停車問(wèn)題（較難）。

情境問(wèn)題：一條馬路長(zhǎng)度為5，問(wèn)平均能停多少輛長(zhǎng)度為1的汽車？

問(wèn)題分析：①將停車區(qū)域起點(diǎn)定為start，終點(diǎn)定為end，最初停車區(qū)域end-start=5；②如果end-start<1表示車位長(zhǎng)度小于車長(zhǎng)，就不能停車；③第一輛車A在start與end之間隨機(jī)停放，停車起點(diǎn)范圍為（start，end-1）；④第二輛車B在A車停好后，有（start，x）和（x+1，end）兩段可選的停車區(qū)域。接下來(lái)，分別調(diào)用自身，遞歸解決問(wèn)題。假設(shè)用M（X）表示馬路長(zhǎng)度為X時(shí)停車數(shù)量的期望值，則馬路最大空間利用率，公式如下。

案例5：八皇后問(wèn)題（最難）。

情境問(wèn)題：將八個(gè)皇后擺放在8×8的棋盤(pán)上，使之互不攻擊，即在同一行、同一列或同一斜線上，最多只能有1個(gè)皇后，問(wèn)共有多少種擺法？

問(wèn)題分析：①首先定義一個(gè)棋盤(pán)上皇后位置為arr[R，C]、當(dāng)前皇后擺放行為ROW、問(wèn)題規(guī)模為N的遞歸函數(shù)；②遍歷當(dāng)前行每一列，逐列嘗試擺放位置，若符合約束條件（不在同一行、同一列或同一斜線上），則將皇后置于此列，接著調(diào)用自身，轉(zhuǎn)到下一行；③如果遞歸調(diào)用返回值為真，說(shuō)明下一行的皇后找到了合適的位置，那么子問(wèn)題的求解方法可行，當(dāng)前皇后的擺放位置正確，此時(shí)如果全部擺放完畢，就算完成一種擺法；④如果遞歸調(diào)用返回值為假，則說(shuō)明下一行的皇后找不到合適的位置，就需要回溯，把當(dāng)前皇后右移一格再次嘗試遞歸探索；⑤如果遍歷完當(dāng)前行所有列，下一行的皇后仍然找不到合適的位置，那就繼續(xù)回溯直至某一行，甚至回溯到第一行，以尋找合適的擺放位置；⑥在主函數(shù)中從第一行開(kāi)始嘗試擺放第一個(gè)皇后，遞歸調(diào)用自身直到所有的皇后擺放完畢，最后輸出結(jié)果。

面向計(jì)算思維培養(yǎng)提煉遞歸核心要義

上述遞歸算法經(jīng)典案例分析，由易到難，分層設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，為學(xué)生提供適合其認(rèn)知心理規(guī)律的多樣化學(xué)習(xí)資源、認(rèn)知工具和認(rèn)知策略，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)遞歸、迭代、循環(huán)和遍歷等程序設(shè)計(jì)策略，發(fā)展學(xué)生的高階計(jì)算思維能力。

1.遞歸算法的基本原理

遞歸（Recursion）是通過(guò)不斷調(diào)用自身實(shí)現(xiàn)程序在執(zhí)行過(guò)程中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行降維求解。遞歸作為一種重要的程序設(shè)計(jì)方法，能有效地解決復(fù)雜性問(wèn)題，遞歸程序的底層邏輯是使用堆棧（Stack）—— 一種計(jì)算機(jī)科學(xué)中較為常見(jiàn)的抽象數(shù)據(jù)類型（ADT）。Python遞歸函數(shù)的格式如圖3所示。

遞歸算法的工作原理是：當(dāng)程序運(yùn)行首次進(jìn)入遞歸函數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行條件判斷，符合終止條件則返回結(jié)果，不符合條件則調(diào)用自身進(jìn)入函數(shù)內(nèi)層。這種反復(fù)調(diào)用自身，自頂向下逐層展開(kāi)，直至進(jìn)入最小可求解子問(wèn)題的過(guò)程即為“遞”；待到內(nèi)層函數(shù)執(zhí)行完畢，由內(nèi)向外步步回溯，直至返回最終結(jié)果的過(guò)程即為“歸”。遞歸算法必須具備兩個(gè)條件：一是存在終止條件，二是需要調(diào)用自己。二者缺一不可。需要說(shuō)明的是，終止條件語(yǔ)句必須寫(xiě)在遞歸調(diào)用語(yǔ)句之前，否則會(huì)出現(xiàn)堆棧溢出，致使遞歸函數(shù)進(jìn)入死循環(huán)。當(dāng)然，遞歸函數(shù)的終止條件可以不止一個(gè)，遞歸調(diào)用也可以多個(gè)。遞歸算法的根本在于問(wèn)題本身是否可以通過(guò)層層拆解到最小粒度來(lái)求解。

2.剖析遞歸算法的優(yōu)點(diǎn)與不是

優(yōu)點(diǎn)：遞歸通常是把一個(gè)大型的復(fù)雜問(wèn)題拆分為多個(gè)子問(wèn)題，拆分后的子問(wèn)題除了數(shù)據(jù)規(guī)模變小，其解決思路和原問(wèn)題完全一致。遞歸只關(guān)心向下一層的實(shí)現(xiàn)，而并不關(guān)心更下一層的細(xì)節(jié)，因此遞歸函數(shù)結(jié)構(gòu)清晰、定義簡(jiǎn)單。遞歸在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，它不單是一種計(jì)算方法，更是一種思維方式。

不足：實(shí)現(xiàn)遞歸需要大量的PUSH（壓棧）和POP（彈棧）操作，用于執(zhí)行上下文的現(xiàn)場(chǎng)保存和現(xiàn)場(chǎng)恢復(fù)，其內(nèi)存資源消耗遠(yuǎn)大于非遞歸函數(shù)調(diào)用，算法運(yùn)行效率較低。過(guò)深的遞歸調(diào)用還可能出現(xiàn)堆棧溢出的情況，因此，編寫(xiě)遞歸代碼需謹(jǐn)慎，務(wù)必設(shè)計(jì)好遞歸出口（終止條件），在必要時(shí)應(yīng)該把遞歸算法轉(zhuǎn)化為非遞歸算法。

以計(jì)算思維為主題進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)教學(xué)以內(nèi)容或活動(dòng)為導(dǎo)向，因缺乏清晰的引導(dǎo)性思維目標(biāo)和明確的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)，學(xué)生難以真正地自主架構(gòu)知識(shí)體系。威金斯和麥克泰格提出追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)理論（Understanding by Design，簡(jiǎn)稱UbD），強(qiáng)調(diào)教學(xué)要“理解為先，由終定始”，幫助學(xué)生掌握知識(shí)、理解意義、實(shí)現(xiàn)遷移，以促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。[2]下面，筆者以Python遞歸函數(shù)應(yīng)用為例，依據(jù)UbD即理解為先的教學(xué)理念進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.明確項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)

依據(jù)新課標(biāo)、教材要求和學(xué)生實(shí)際，重組信息技術(shù)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)發(fā)跨學(xué)科主題項(xiàng)目學(xué)習(xí)資源，挖掘其中的計(jì)算思維元素，設(shè)計(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)（如上頁(yè)表1）。[3]

2.制訂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

從項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)出發(fā)，設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)量表（過(guò)程性評(píng)價(jià)和結(jié)果性評(píng)價(jià)），考核學(xué)生的計(jì)算思維核心能力，如分解思維能力、抽象思維能力、算法思維能力等，關(guān)注學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)，及時(shí)捕捉反映學(xué)生理解程度的行為數(shù)據(jù)，做好發(fā)展性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生的綜合素養(yǎng)全面發(fā)展。

3.設(shè)計(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)

有研究表明，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)+配對(duì)編程對(duì)計(jì)算思維培養(yǎng)效果顯著。[4]這是發(fā)展學(xué)生計(jì)算思維的重要教學(xué)方法。筆者以Python遞歸函數(shù)應(yīng)用教學(xué)為例，嘗試構(gòu)建“設(shè)疑啟思→導(dǎo)疑定向→議疑探究→析疑整合→質(zhì)疑創(chuàng)新”（IVECI）極簡(jiǎn)五環(huán)教學(xué)模式，精心設(shè)計(jì)課堂師生活動(dòng)，并提供項(xiàng)目式學(xué)習(xí)資源與工具，在漸進(jìn)性的問(wèn)題推進(jìn)和開(kāi)放性配對(duì)編程中培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維（如上頁(yè)表2）。

總結(jié)與展望

高中信息技術(shù)課堂是計(jì)算思維培養(yǎng)的主陣地，編程教育是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維能力的絕佳切入口。高中信息技術(shù)新版教材選用Python作為計(jì)算思維學(xué)習(xí)工具，用于計(jì)算思維培養(yǎng)，具有重要的實(shí)踐價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。上述遞歸算法的經(jīng)典案例引導(dǎo)學(xué)生就實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象建模、設(shè)計(jì)算法、迭代改進(jìn)等，為培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維提供了可操作的路徑。

參考文獻(xiàn)：

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本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項(xiàng)課題“雙減背景下青年教師課堂教學(xué)行為診斷能力提升策略研究”（立項(xiàng)號(hào)：FJJKZX23-390）的研究成果之一。