李建功

【摘要】本文通過詳細分析一次函數(shù)在求解最大利潤和最小花費等實際問題中的應(yīng)用，闡明利用一次函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)可以高效解題的技巧.文中舉出多個例題，說明如何構(gòu)建變量之間的線性關(guān)系模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為求解一次函數(shù)極值問題的方法.同時，著重解析運用一次函數(shù)的增減性質(zhì)可以快速判斷函數(shù)值大小關(guān)系，從而簡便地得出最優(yōu)解的解題策略.這種模型方法不僅能培養(yǎng)學(xué)生分析問題、建立模型的能力，也能加深他們對一次函數(shù)曲線變化趨勢和函數(shù)值比較的理解，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)工具描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.這種訓(xùn)練對提高學(xué)生的邏輯思維與運算能力有著深遠的意義.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一次函數(shù)；解題技巧

1 引言

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一次函數(shù)具有重要的意義，因為它為學(xué)生提供了解決實際問題、建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ).一次函數(shù)是一種簡單而重要的數(shù)學(xué)工具，通過它，學(xué)生可以培養(yǎng)關(guān)于線性關(guān)系、變化率和最值問題等方面的數(shù)學(xué)思維.首先，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解和描述線性關(guān)系.在實際生活中，很多現(xiàn)象都可以通過一次函數(shù)表示，比如時間與距離的關(guān)系、價格與數(shù)量的關(guān)系等.通過學(xué)習(xí)一次函數(shù)，學(xué)生能夠更好地理解這些現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而建立對線性關(guān)系的直觀感受.其次，一次函數(shù)的引入能幫助學(xué)生掌握變化率的概念.一次函數(shù)的斜率代表了函數(shù)的變化率，這對理解事物的增長、速度的增減至關(guān)重要.學(xué)生通過研究一次函數(shù)的斜率，能夠更深刻地理解變化率的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)打下基礎(chǔ).

2 借助一次函數(shù)求最大利潤

一次函數(shù)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)了學(xué)生解決最值問題的能力.通過建立一次函數(shù)模型，學(xué)生可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實中的優(yōu)化問題，比如最大利潤、最短時間等.這種能力對學(xué)生在日后的學(xué)業(yè)和職業(yè)中都具有實際應(yīng)用的價值.在最值問題中，一次函數(shù)常用來表示某個變量與另一個變量之間的線性關(guān)系.例如，如果我們有一個關(guān)于時間的一次函數(shù)，可以用它來描述某個物體的位置隨時間的變化情況.在這種情況下，我們可能對這個一次函數(shù)進行最值問題的求解，如找到物體的最大高度或最短時間到達某個位置等.

例1 某企業(yè)準(zhǔn)備銷售投影儀幫助希望小學(xué)進行數(shù)字化升級改造，該企業(yè)現(xiàn)有A、B兩種型號的投影儀，進貨價與銷售價如表1所示.

該企業(yè)購入A、B兩種型號的投影儀共耗費32000元，希望小學(xué)完成數(shù)字化升級改造后該企業(yè)共獲利4400元．

問題1：該企業(yè)分別購入多少臺A、B兩種型號的投影儀？

問題2：若該企業(yè)再次購入A、B兩種型號投影儀共30臺，其中B型投影儀的數(shù)量不多于A型投影儀數(shù)量的2倍，請設(shè)計一個方案使該企業(yè)購入兩種型號投影儀各多少臺時獲得最大利潤，最大利潤是多少？

解析 （1）設(shè)該企業(yè)購入A、B兩種型號的投影儀分別為a臺，b臺，

則3000a+3500b=32000（3400-3000）a+（4000+3500）b=4400，

解得a=6，b=4.

因此該企購入的A、B兩種型號的投影儀分別為6臺和4臺.

（2）設(shè)購入A型號投影儀x部，購入B型號投影儀（30-x）部，最終獲利為ω元，

ω=（3400-3000）x+（4000-3500）（30-x）=－100x+15000.

因為B型號投影儀的數(shù)量不多于A型號投影儀數(shù)量的2倍，

所以30-x≤2x，

解得x≥10.

因為ω=－100x+15000，當(dāng)x=10時，ω取最大值為14000.

所以當(dāng)該企業(yè)購進A型號投影儀10臺，購入B型號投影儀20臺時獲得最大利潤，最大利潤為14000元.

例2 隨著一帶一路經(jīng)濟帶的蓬勃發(fā)展，越來越多的企業(yè)在我國新疆設(shè)廠，將產(chǎn)品銷往“一帶一路”沿線國家.某手套廠每月生產(chǎn)A、B兩種規(guī)格的手套共20萬雙，且當(dāng)月生產(chǎn)的手套可以全部銷售，該手套廠兩種規(guī)格手套的成本及售價如表2所示.

（1）假如該手套廠五月份的銷售收入為300萬元，則該手套廠五月分別生產(chǎn)了多少雙A、B規(guī)格的手套？

（2）假如該手套廠六月份投入的成本不超過216萬元，則如何安排生產(chǎn)A、B兩種規(guī)格的手套才能令該手套廠的利潤最大？同時求出最大利潤是多少.

解析 （1）設(shè)該手套廠生產(chǎn)A、B兩種規(guī)格的手套分別為a雙，b雙，

由題意可得18a+6b=300a+b=20，

解得a=15，b=5.

所以分別生產(chǎn)A、B規(guī)格的手套15萬雙和5萬雙.

（2）設(shè)該手套廠六月份分別生產(chǎn)A，B規(guī)格手套x萬雙和（20-x）萬雙，利潤為ω萬元，

由題意可得12x+4（20－x）≤216，

所以x≤17.

因為ω=（18－12）x+（6－4）（20－x）=4x+40是一次函數(shù)，ω隨x的增大而增大，

所以x=17時，獲得最大利潤ω=4×17+40=108（萬元）.

3 借助一次函數(shù)確定最少花費

用一次函數(shù)求最大利潤和最小花費的原理相似.在這兩種問題中，都通過建立與變量相關(guān)的線性模型來描述利潤或花費隨產(chǎn)量的變化.對于最大利潤，利潤是收入與成本之差，而對于最小花費，花費是總花費，這兩者均可表示為一次函數(shù)形式.通過限定范圍求極值來解決最大利潤和最小花費的問題.這種方法為解決實際問題提供了一種簡單而通用的數(shù)學(xué)工具，幫助我們理解和優(yōu)化各種生產(chǎn)和消費情境.

例3 某市舉辦“初中生創(chuàng)新創(chuàng)意知識大賽”，組委會計劃購買A、B兩種獎品共30件，現(xiàn)已知獎品A每件價格30元，獎品B每件價格20元.

問：如果組委會購買的B獎品不超過A獎品數(shù)量的3倍，那么分別購買多少件A、B獎品花費最少？

解析 設(shè)A種獎品購買了x件，則B種類獎品購買了（30－x）件，

由題意可得30－x≤3x，

解得x≥7.5.

設(shè)購買兩種獎品的總金額為ω元，

因為ω=30x+20（30－x）=10x+600是一次函數(shù)，

所以ω隨著x的增大而增大，即當(dāng)x=8時，ω有最小值，即ω=10×8+600=680.

所以當(dāng)購買A種獎品8件，B種獎品22件時總費用最少，最少的費用是680元.

4 結(jié)語

一次函數(shù)為學(xué)生提供了理解變量之間線性關(guān)系、分析變化率、建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ).通過學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生可以培養(yǎng)解決實際問題的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ).希望學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中加強對一次函數(shù)本質(zhì)的理解，靈活運用所學(xué)知識分析和解決問題.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)通過大量練習(xí)，熟練掌握應(yīng)用一次函數(shù)的技能.只有融會貫通了一次函數(shù)的數(shù)學(xué)概念與解題技巧，才能靈活運用所學(xué)知識分析和解決實際問題，這是學(xué)習(xí)一次函數(shù)的最終目標(biāo).

參考文獻：

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［2］朱宸材，茅莉萍，徐芷筠.指向初中生模型觀念培養(yǎng)的教學(xué)實踐與反思——以一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式為例［J］.中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2023（06）：56-60.

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