方佩佩

摘要：本文從核心素養(yǎng)出發(fā)，提出合情推理能力對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)具有推動(dòng)的作用.學(xué)生的創(chuàng)新能力想要得到提升，合情推理能力的培養(yǎng)須放在首位.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；合情推理；高考；能力考查

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）12-0053-03

合情推理是指通過對(duì)已經(jīng)發(fā)生的事實(shí)觀察、分析、比較等，提出合理的猜想，進(jìn)行深入的推理.在核心素養(yǎng)的培育階段，要強(qiáng)化合情推理能力，并將其作為問題解決中猜測(cè)、探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的思維方式的關(guān)鍵，這種思維訓(xùn)練對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有著推動(dòng)作用.正因?yàn)楹锨橥评砟芰Φ闹匾?，?duì)合情推理能力的考查成為近幾年數(shù)學(xué)新課程高考的熱點(diǎn).合情推理劃分為歸納推理與類比推理[1]，本文將對(duì)有關(guān)合情推理能力的考題做出分類分析與思考.

1 歸納推理的考查分析

由特殊到一般，是歸納推理的一個(gè)特征，它要求我們要透過“現(xiàn)象”看“本質(zhì)”.一般地，“求同存異”“先粗后精”“逐步細(xì)化”等技巧，是解答歸納推理題的基礎(chǔ)技巧.

例1（2010高考福建卷文科第16題）在一次學(xué)習(xí)過程中，某位同學(xué)找出了值為相同常數(shù)的五個(gè)不同式子：

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°;

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°;

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°;

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°;

（Ⅰ）選擇其中任何一個(gè)式子，通過計(jì)算得出常數(shù)的值；

（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）求出的具體值，進(jìn)一步拓展到一般的三角恒等式，并證明.

評(píng)析這道題主要考查的是學(xué)生的歸納推理能力，也是福建省數(shù)學(xué)高考?xì)v史上第一次直接考查研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容的題目，凸顯了核心素養(yǎng)中邏輯推理能力的考查.本題從5個(gè)特殊的三角恒等式出發(fā)，猜測(cè)一般性的三角函數(shù)恒等式，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，可歸納猜測(cè)：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=34.

例2（2011年高考江西卷理科第7題）觀察下列各式：55=3 125，56=15 625，57=78 125，…，則52 011的末四位數(shù)字為（）.

A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125

評(píng)析這個(gè)問題的主要目的是考查學(xué)生的歸納推理能力和對(duì)函數(shù)周期性的理解，發(fā)現(xiàn)末四位數(shù)字按3 125，5 625，8 125，0 625，3 125，5 625，8 125，0 625，…，周期性出現(xiàn)，周期為4，2011被4除余3，因此末四位數(shù)字為8 125，故選D.

例3（2015年高考山東卷理科第11題）

觀察下列各式：C01=40；

C03+C13=41；

C05+C15+C25=42；

C07+C17+C27+C37=43；

…………

照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時(shí)，C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+C2n-12n-1=.

評(píng)析本題旨在考查考生的歸納推理能力，著重考查他們?cè)谟^察、分析、歸納和推理判斷方面的能力.通過歸納推理，可以順利得出答案為4n-1.本題并不算特別困難，但可以清楚地看出合情推理在新課程高考中正逐漸受到重視[2]，由歸納推理得到的結(jié)果不一定正確，但具有預(yù)測(cè)性.

2 類比推理的考查分析

類比推理是一種思維方式，它通過觀察一類對(duì)象的某些特征來推斷另一個(gè)對(duì)象具有相似特征.在學(xué)習(xí)中，類比推理主要應(yīng)用于類似數(shù)與式、平面與空間、向量與數(shù)、不等式與相等性、等差與等比的概念.當(dāng)今，考試改革開始重視考查類比推理的文化內(nèi)涵，并將其視為評(píng)估學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、問題分析和解決能力的重要方面之一.

2.1 數(shù)與形的類比

在解題時(shí)，通過類比數(shù)與式是一種有效的方式，在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，可以通過將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)式或者將數(shù)式描述為圖形的方式來解決問題.通過這種數(shù)形類比的方式，學(xué)生可以將問題變得更加簡(jiǎn)單明了，從而開拓思路，提高對(duì)問題的認(rèn)識(shí).

例4對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a>b.設(shè)fx=2x-1*x-1，且關(guān)于x的方程為fx=mm∈R恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是.

評(píng)析本題以函數(shù)為載體，通過定義一種新的運(yùn)算“*”，將函數(shù)用這種新運(yùn)算表示出來，主要考查學(xué)生類比的能力，運(yùn)用數(shù)與形的類比，巧妙地將求方程根的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=m圖象交點(diǎn)的問題，從而使問題得到解決.

由條件知f（x）=2x2-x，x≤0-x2+x，x>0，該函數(shù)圖象如圖1所示，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=m有三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)x12x2x3，1-34

2.2 低維與高維的類比

通常情況下，我們將低維到高維的類比理解為從平面到空間的類比.這種類比有多種形式，比如線到面的類比、圓到球的類比、平面角到二面角的類比等.在學(xué)習(xí)空間問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)多嘗試通過類比與平面中相似的數(shù)量關(guān)系問題、位置結(jié)構(gòu)等問題來解決.通過類比這些平面問題，我們可以更好地理解和應(yīng)用到空間問題中.通過這樣的方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛力，開拓思維視野，找到更多的解決方法，并將已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起.

例5如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥A1C于E，且PA=PE，則點(diǎn)P的軌跡是（）.

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

評(píng)析本題有部分學(xué)生簡(jiǎn)單地認(rèn)為P點(diǎn)滿足到定點(diǎn)A的距離等于其到定直線A1C的距離，因此點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分.需要注意的是拋物線的定義的前提是在同一平面內(nèi)，而這里點(diǎn)P和點(diǎn)A與直線A1C并不在同一平面內(nèi)，因此出現(xiàn)答案錯(cuò)誤.這里我們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)到A1A⊥底面ABCD，而AP平面ABCD，因此A1A⊥AP，又因?yàn)镻E⊥A1C于E，且PA=PE，點(diǎn)P到∠AA1C兩邊距離相等.從平面到空間的類比告訴我們，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等時(shí)，它在平面上位于這個(gè)角的角平分線上.同樣地，我們可以將這個(gè)概念延伸到三維空間中，得出相似的結(jié)論：如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)應(yīng)該位于與這個(gè)角的兩邊距離相等的平面上，這里我們暫且將其稱為角平分面[3].利用二維到三維的類比，我們可以得到結(jié)論P(yáng)點(diǎn)既在底面ABCD上，也在∠AA1C的角平分面上，那么P點(diǎn)就在兩個(gè)平面的交線上，因此選A.

2.3 其他的類比

例6（2022全國(guó)乙卷理科第9題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）.

A.13 B.12 C.33D.22

評(píng)析許多考生看到這題望而卻步，覺得條件太少，四棱錐的高和底面都在動(dòng)，尤其連底面四邊形形狀都無法確定，第一眼就覺得運(yùn)算量極大.但是只要靜下心來分析，不妨先假設(shè)高確定，思考底面是什么形狀時(shí)面積最大，由于四棱錐的底面與球面的交線是圓，所以四棱錐的底面是圓內(nèi)接四邊形，若要四棱錐體積最大，則需要底面面積達(dá)到最大.此時(shí)可以展開聯(lián)想：周長(zhǎng)為定值的矩形，當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)寬相等時(shí)面積最大，圓內(nèi)接矩形中也是正方形面積最大.由此可以通過直觀想象，結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行大膽的合情推理，底面圓內(nèi)接四邊形或許也是正方形面積最大.后續(xù)我們?cè)賹?duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的證明，假設(shè)一個(gè)四棱錐的底面為ABCD，并且四邊形ABCD所在圓的半徑為r.同時(shí)假設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線夾角為α，則SABCD=12·AC·BD·sinα≤12·AC·BD≤12·2r·2r=2r2（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立），此時(shí)再設(shè)高為x，即可很容易表示出體積，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得出答案為C.可以看出，直觀想象，合情推理起到了關(guān)鍵的“預(yù)測(cè)”作用，面對(duì)難題要敢于想象，大膽預(yù)測(cè).

例7（2018年全國(guó)卷Ⅰ理科第12題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）.

A.334B.233C.324D.32

評(píng)析本題我們可以類比“過球心的平面截得圓面面積最大”，得出平面α必然過正方體的中心，再根據(jù)條件“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”，即可得到所求截面為正六邊形，從而順利得出答案為A.

3 結(jié)束語

波利亞曾說過：“一個(gè)認(rèn)真把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證推理，而為了取得真正的成就必須合情推理[4].”在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，合情推理的重要性是毋庸置疑的，合情推理是將原有的知識(shí)體系進(jìn)行有效的整合與創(chuàng)新，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.通過合情推理的考查，能幫助學(xué)生提升邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)生的創(chuàng)新能力想要得到提升，合情推理能力的培養(yǎng)需要放在首位.

參考文獻(xiàn)：

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[3] 李錦標(biāo).運(yùn)用合情推理巧解高考數(shù)學(xué)題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（11）：84

[4] G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想（第一卷）（第二卷）[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

［責(zé)任編輯：李璟］