劉文彬

【摘要】萬有引力定律是物理學(xué)中的一個基本定律，它描述了兩個物體之間的引力關(guān)系.在教學(xué)和考試中，對萬有引力定律的理解和應(yīng)用是非常重要的.本文旨在對萬有引力定律的常見考查題型進(jìn)行探討，并提供解題思路.重點(diǎn)分析三種主要的題型：軌道比較問題、雙星問題和衛(wèi)星變軌問題.對于每一種題型，都將提供具體的解題策略，并通過實(shí)例進(jìn)行說明，幫助學(xué)生更有效地理解和解決這些題型.

【關(guān)鍵詞】萬有引力定律；高中物理；解題技巧

只要物體具有質(zhì)量，就一定存在萬有引力，因此萬有引力無處不在.高中物理中，萬有引力定律的考查十分常見，通常以選擇題形式出現(xiàn)，絕大多數(shù)情況都是以天體運(yùn)動問題進(jìn)行設(shè)問.本文結(jié)合具體例題分別介紹三類常見的考查題型和解題思路，幫助學(xué)生理解萬有引力，運(yùn)用萬有引力定律求解相關(guān)問題.

1 軌道比較問題

衛(wèi)星處于不同軌道有著不同作用，如近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道就有一定區(qū)別.比較不同類型衛(wèi)星的相關(guān)參數(shù)屬于比較常見的萬有引力應(yīng)用問題，解題時首先要明確衛(wèi)星向心力與萬有引力的關(guān)系，其次列出相關(guān)等式，得到所求物理量與軌道半徑之間的關(guān)系，從而對問題進(jìn)行解答.

例1 2020年8月1日，在北京人民大會堂上，對我國的北斗3號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)建成舉辦了開通儀式，宣布了我國北斗3號全球衛(wèi)星正式進(jìn)行使用.而北斗3號全球衛(wèi)星在宇宙中的運(yùn)行軌道如圖1所示，已知a，b，c衛(wèi)星均圍繞著地球做圓周運(yùn)動，a是地球的同步衛(wèi)星，a、b的運(yùn)行軌道半徑相同.下列說法正確的是（ ?）

（A）圖中的a衛(wèi)星的角速度要比c衛(wèi)星的角速度小.

（B）圖中的a衛(wèi)星的角速度要比b衛(wèi)星的角速度大.

（C）圖中的a衛(wèi)星的角速度要比第一宇宙的速度大.

（D）圖中的b衛(wèi)星的運(yùn)動的周期等于24h.

思考 不同軌道的衛(wèi)星角度比較，首先需要列出相關(guān)等式分析角速度、加速度與軌道半徑的關(guān)系，其次根據(jù)萬有引力定律求解周期和運(yùn)行速度，即可對問題作出解答.

解析 由牛頓第二定律可得GMmr2=mv2r.衛(wèi)星的線速度公式為v=GMr，則衛(wèi)星的角速度公式為ω=vr=GMr3，可知軌道半徑大的衛(wèi)星角速度小，所以衛(wèi)星a的角速度小于c的角速度，故選項(xiàng)（A）正確；

衛(wèi)星的加速度為a=v2r=GMr2.根據(jù)題目能夠了解到，軌道半徑大的衛(wèi)星，相對應(yīng)的加速度是比較小的，所以在圖中的衛(wèi)星a與b的加速度大小兩者是相等的，所以能夠排除（B）選項(xiàng)；

第一宇宙速度相比較衛(wèi)星圍繞地球圓周運(yùn)動時的速度會更大，它是最大的環(huán)繞速度，所以途中的a衛(wèi)星會比第一宇宙速度會更小，排除（C）選項(xiàng)；

衛(wèi)星a與b的軌道半徑相同，角速度相等，則周期也相等，所以衛(wèi)星b的周期等于24h，故選項(xiàng)（D）正確；

綜上，正確答案為（A）（D）.

2 雙星問題

雙星問題是萬有引力在高中物理中應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，一般是考查雙星的向心力來源、周期之比、線速度等物理量之比，具有一定難度.求解雙星問題的關(guān)鍵，需要理解向心力是有相互作用的萬有引力提供，并且根據(jù)萬有引力公式能得到周期、總質(zhì)量的表達(dá)式，也能知道兩個星球到中心的距離半徑與質(zhì)量成反比，利用這些特點(diǎn)，能對問題作出具體解答.

例2 2023年6月，中國天眼FAST發(fā)現(xiàn)了一個名為PSRJ1953+1844的雙星系統(tǒng).假設(shè)該雙星系統(tǒng)是由兩顆質(zhì)量之和為M的脈沖星組成，兩者之間距離為L，繞連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，引力常量為G，求該雙星系統(tǒng)的運(yùn)行周期T.

思考 首先根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律公式，列出相對應(yīng)等式，其次根據(jù)質(zhì)量、距離之和的具體值列式，聯(lián)立這些等式，運(yùn)算找到運(yùn)行周期T的表達(dá)式即可.

解析 設(shè)雙星系統(tǒng)中兩個星球質(zhì)量分別為m1，m2，其圓周運(yùn)動半徑分別為r1，r2，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，對星球m1有Gm1m2L2=m1·4π2T2r1，對星球m2有Gm1m2L2=m2·4π2T2r2，又m1+m2=M，r1+r2=L，聯(lián)立可得T=2πL3GM.

3 衛(wèi)星變軌問題

衛(wèi)星變軌問題是常見的一類萬有引力問題，如果一個做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星的速度受到一些因素的影響而產(chǎn)生了變化，那么此時萬有引力就會進(jìn)行改變，不再是原來的運(yùn)行需要的向心力時，軌道就會出現(xiàn)改變.這類問題的求解首先要理解宇宙速度與衛(wèi)星軌道的關(guān)系，其次利用萬有引力定律列式分析軌道半徑與角速度、加速度、環(huán)繞速度和周期的關(guān)系，就能得到問題答案.

例3 如圖2所示，在進(jìn)行同步衛(wèi)星發(fā)射的過程當(dāng)中，如圖2所示衛(wèi)星會首先進(jìn)入到橢圓的軌道I，衛(wèi)星運(yùn)行到Q點(diǎn)時，增大衛(wèi)星的速度，使其進(jìn)入II軌道運(yùn)行.則（ ?）

（A）這個衛(wèi)星在地球進(jìn)行發(fā)射時的發(fā)射速度一定大于11.2km/s.

（B）衛(wèi)星在同步軌道II上的運(yùn)行速度小于7.9km/s.

（C）衛(wèi)星處于軌道II時加速度大于軌道I上通過Q點(diǎn)的加速度

（D）衛(wèi)星在Q點(diǎn)通過加速實(shí)現(xiàn)由軌道I進(jìn)入軌道II.

思考 首先理解第一宇宙速度，衛(wèi)星將繞地球做圓周運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到第二宇宙速度，衛(wèi)星將離開地球圍繞太陽運(yùn)動，其次根據(jù)萬有引力公式分析同一位置的加速度是否相等，并分析變軌需要的條件，最終得到正確答案.

解析 第二宇宙速度為11.2km/s，這個速度也是衛(wèi)星脫離地球引力之后，所能夠產(chǎn)生的最小發(fā)射速度，但是，由于衛(wèi)星在脫離地球引力之后，仍然需要圍繞著地球做圓周運(yùn)動，故發(fā)射速度不能大于11.2km/s，選項(xiàng)（A）錯誤；

第一宇宙速度為7.9km/s，是衛(wèi)星在地球表面飛行的速度，也是最小的發(fā)射速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得GMmr2=mv2r，解得v=GMr.衛(wèi)星在同步軌道II運(yùn)行時，軌道半徑變大，運(yùn)行速度小于7.9km/s，選項(xiàng)（B）正確；

只有在萬有引力作用情況下，有GMmr2=ma，解得a=GMr2.同一位置的加速度相等，衛(wèi)星在軌道II上通過Q點(diǎn)加速度等于在軌道I上通過Q點(diǎn)的加速度，選項(xiàng)（C）錯誤；

衛(wèi)星在Q點(diǎn)通過加速，做離心運(yùn)動，由軌道I進(jìn)入軌道II，選項(xiàng)（D）正確；

綜上，正確答案為（B）（D）.

4 結(jié)語

三類問題都是萬有引力定律常見的考查題型，且都具有一定難度.在同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星軌道參數(shù)的比較問題中，需要緊密結(jié)合萬有引力定律求解；在雙星問題中，需要聯(lián)合萬有引力和其他等式求解；在衛(wèi)星變軌問題中，需要結(jié)合萬有引力定律理解不同軌道需要的速度與加速度.熟悉和掌握例題題型，能讓學(xué)生更有條理地分析問題，更巧妙地運(yùn)用萬有引力定律解答不同問題.

參考文獻(xiàn)：

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