余葉

【摘要】本文通過四個具體例子，探究平面向量共線的方法.每個例子通過具體解析可以加深對平面向量共線性的理解.讀者可以通過本文掌握平面向量共線的基本概念和判斷方法，并能夠熟練地應(yīng)用于實際問題中.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；平面向量；解題方法

平面向量是平面上的有序數(shù)對，具有大小和方向.平面向量共線性是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，對于解決實際問題具有重要意義.本文將通過四個例子，介紹常見的平面向量共線方法，并進(jìn)行數(shù)值計算和解析求解，以幫助讀者更好地理解和應(yīng)用這些方法.

1? 探究方法1? 向量數(shù)量積法

假設(shè)有兩個向量a和b，可以通過計算它們的數(shù)量積來判斷它們是否共線.數(shù)量積的計算公式為：a·b=|a||b|cosθ，其中a和b分別為向量的模長，θ為它們之間的夾角.如果兩個向量共線，則夾角θ為0°或180°.

例1? 已知向量a2，3和向量b4，－1，判斷兩向量是否共線.

解析? （1）向量a的分量為x1=2，y1 =3；

向量b的分量為x2 =4，y2=－1.

（2）計算數(shù)量積：a·b= x1·x2 + y1·y2=2×4+3×－1=8－3=5.

（3）計算向量a和向量b的模長：

|a|=22+32=4+9=13；

|b|=42+－12 =16+1=17.

（4）計算向量a和向量b之間的夾角：

cosθ=a·b|a||b|=513×17≈0.34.

（5）因為cosθ的值不是1或－1，所以向量a和向量b不共線.

2? 探究方法2? 向量叉乘法

假設(shè)兩個向量c和d，可以通過計算它們的叉乘來判斷它們是否共線.叉乘的計算公式為：c×d=|c||d|sinθn，其中c和d分別為向量的模長，θ為它們之間的夾角，n為垂直于平面的單位向量.如果兩個向量共線，則叉乘結(jié)果為零向量.

例2? 已知向量c3，5和向量d2，－4，判斷兩向量是否共線.

解析? （1）向量c的分量為x1=3，y1=5；

向量d的分量為x2=2，y2=－4.

（2）計算叉乘：

c×d=x1×y2－x2×y1=3×－4－2×5=－12－10=－22.

（3）因為向量c和向量d的叉乘結(jié)果不是零向量，所以它們不共線.

3? 探究方法3? 向量平行投影法

假設(shè)有一個向量e，可以通過計算它在另一個向量F上的平行投影的模來判斷它們是否共線.平行投影的模計算公式為：|e|e→f=|e||cosθ|，其中e為向量e的模長，θ為它們之間的夾角.如果向量e在f上的平行投影等于向量e的模長，則它們共線.

例3 ?已知向量e4，6和向量f2，2，判斷兩向量是否共線.

解析? （1）向量e的分量為x1=4，y1=6；

向量f的分量為x2=2，y2=2.

（2）計算向量e和向量f之間的夾角：cosθ=e·f|e||f|=4×2+6×242+62×（22+22））

=20/52×8≈0.98.

（3）計算平行投影：

|e|e→f=|e||cosθ|=52×0.98≈7.07.

（4）因為|e|e→f的值不等于e，所以向量e和向量f不共線.

4? 探究方法4? 定義法（比值法）

通過定義法判斷平面向量的共線性，向量g和向量h共線的定義是：存在一個實數(shù)k，使得向量g可以表示為k乘以向量h，即向量g=kH.

例4? 已知向量g2，4和向量h－1，－2，判斷兩向量是否共線.

解析? （1）向量g的分量為x1=2，y1=4；

向量h的分量為x2=－1，y2=－2.

（2）根據(jù)定義法，我們需要找到一個實數(shù)k使得g=kh.

（3）通過比值法求得：

k1=x1x2=2－1=－2；

k2=y1y2=4－2=－2；

因為k1=k2=－2，

所以k=－2，g=－2h

（4）根據(jù)定義，向量g2，4和向量h（－1，－2）是共線的.

例5? 與a=3，－4同向的單位向量為．

解析? 設(shè)與a=（3，－4）同向的單位向量為b=λa（λ>0）

所以b=λa=λ（3，－4）=（3λ，－4λ），

又因為b是單位向量，所以b=9λ2+16λ2=25λ=1，所以λ=±15，

而λ>0，所以λ=15，所以b=35，－45.

故答案為：35，－45.

5? 結(jié)語

通過以上四個例子的分析，可以總結(jié)出幾種常見的判斷平面向量共線性的方法：數(shù)量積法、叉乘法、平行投影法、定義法（比值法）.這些方法可以在實際問題中靈活運用，幫助我們判斷向量是否共線，并解決相關(guān)問題.

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