易彬彬

【摘要】本文主要對(duì)如何借助函數(shù)思想高效解答高中數(shù)學(xué)試題作探討，同時(shí)羅列相應(yīng)的解題技巧.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

函數(shù)思想作為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中一種常用的思維策略，指的是利用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化及解決問(wèn)題，通過(guò)變量與定量之間的關(guān)系完成解題.面對(duì)一些比較特殊的試題，教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想打破局面，使其挖掘出題目中的隱性條件，讓他們結(jié)合函數(shù)解析式的性質(zhì)等高效解題.

1? 借助函數(shù)思想高效解答集合試題

集合作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中較為簡(jiǎn)單的一部分，是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的前提，函數(shù)可以視為兩個(gè)實(shí)數(shù)集合間的映射，也就是自變量集合與函數(shù)值集合，不過(guò)這兩個(gè)集合的元素并非任意對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是每個(gè)自變量只與一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng).這表明處理集合問(wèn)題時(shí)可以借助函數(shù)思想，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生合理運(yùn)用函數(shù)思想處理集合試題，讓他們高效的解題［1］.

例1? 已知集合A={x|x2+3<0}，集合B={x|x2－2x+m≤0，x2－2nx+5≤0}，假如AB，請(qǐng)分別求出實(shí)數(shù)m與n的取值范圍.

分析? 本題從表面上來(lái)看是一道集合類(lèi)試題，但又有不等式的出現(xiàn)，顯得較為復(fù)雜，不過(guò)可應(yīng)用函數(shù)思想，結(jié)合函數(shù)圖象及性質(zhì)高效解題.

詳解? 將集合A化簡(jiǎn)，

可以得到A={x|1

設(shè)f（x）=x2－2x+m，

g（x）=x2－2nx+5，

所以B1={x|x2－2x+m≤0}，

B2={x|x2－2nx+5≤0}，

所以B=B1∩B2，

因?yàn)锳B，

所以AB1，AB2，

也就是說(shuō)區(qū)間（1，3）分別被集合B1與B2所對(duì)應(yīng)的區(qū)間包含，

據(jù)此畫(huà)出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖1所示，

那么能夠得到f（1）≤0，f（3）≤0，

且g（1）≤0，g（3）≤0，

然后解不等式能夠求得m≥1或者m≤－3，

n≥3或者n≤73.

圖1

2? 借助函數(shù)思想高效解答方程試題

函數(shù)與方程之間本身就有所關(guān)聯(lián)，雖然初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)這方面不是特別重視，但是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，較為重視函數(shù)和方程兩者之間的練習(xí)，而且教材中專(zhuān)門(mén)安排內(nèi)容加以闡述，像“二次函數(shù)與一元二次方程”等.為此，高中數(shù)學(xué)教師在平常的解題訓(xùn)練中，需要指引學(xué)生巧妙應(yīng)用函數(shù)思想處理方程問(wèn)題，促使他們能夠結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)高效地完成解題［2］.

例2? 已知方程|x|=ax+1存在一個(gè)負(fù)根，并不存在正根，試求a的取值范圍.

分析? 題目中出現(xiàn)的是一個(gè)帶有絕對(duì)值符號(hào)的特殊方程，此類(lèi)方程通常要進(jìn)行分類(lèi)討論，但是可以借助函數(shù)思想，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)分析方程，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)判定方程的根，最終輕松解答試題.

詳解? 把方程中的a當(dāng)作函數(shù)中的一個(gè)變量，

因?yàn)閨x|=ax+1，

所以a=|x|－1x=1—1x（x>0）—1—1x（x<0），

根據(jù)a的解析式畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，如圖2所示，結(jié)合圖象可直接判斷出a≥1，

故a的取值范圍是a≥1.

圖2

3? 借助函數(shù)思想高效解答不等式試題

盡管函數(shù)與不等式是兩個(gè)類(lèi)型完全不同的知識(shí)內(nèi)容，不過(guò)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，函數(shù)和不等式之間有著一定的關(guān)系，具體表現(xiàn)為不等式的性質(zhì)反應(yīng)出的是函數(shù)單調(diào)性.高中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中，可指引學(xué)生借助函數(shù)思想對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行分析和研究，使學(xué)生了解不等式的特征與本質(zhì)，讓他們采用函數(shù)思想輕松解答不等式的恒成立問(wèn)題及常見(jiàn)的最值問(wèn)題［3］.

例3? 對(duì)于任意x∈［－1，1］，函數(shù)f（x）=x2+（a－4）x+4－2a>0恒成立，求a的取值范圍.

分析? 處理這一題目時(shí)可直接采用函數(shù)思想，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是“在某一閉區(qū)間上含有參數(shù)的二次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題”，故無(wú)需討論Δ<0的情況，然后結(jié)合分類(lèi)討論思想進(jìn)行求解，考慮到各種情況，最終求得準(zhǔn)確的結(jié)果.

詳解? 因?yàn)閒（x）=x2+（a－4）x+4－2a，

所以該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=4－a2，

又因?yàn)閤∈［－1，1］，

所以要對(duì)a的情況進(jìn)行分類(lèi)討論，

即為1<4－a2，－1≤4－a2≤1，4－a2<1，

分別討論討論其在函數(shù)的遞增、遞減區(qū)間上f（x）值的情況，

綜合起來(lái)求得a的取值范圍是a<1.

4? 借助函數(shù)思想高效解答數(shù)列試題

數(shù)列屬于高中數(shù)學(xué)與高考中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，教材中主要介紹等差與等比這兩類(lèi)數(shù)列，基于本質(zhì)視角來(lái)說(shuō)，數(shù)列也是函數(shù)的特殊產(chǎn)物，也就是當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集時(shí)，函數(shù)就成為數(shù)列.針對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來(lái)說(shuō)，當(dāng)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，尤其是求數(shù)列的最值時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生充分借助函數(shù)思想，讓他們找到簡(jiǎn)便的解題方法，使其高效地解答試題.

例4? 已知函數(shù)f（x）=3x2+bx+1為偶函數(shù)，g（x）=5x+c為奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列an=（23）n－1，n∈N*，假如bn=2f（an）g－an+1，請(qǐng)求出數(shù)列bn中的項(xiàng)的最大值和最小值.

分析? 在這一題目中，“數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)”展現(xiàn)得淋漓盡致，這里的“特殊”指的是自變量取值范圍為自然數(shù)，根據(jù)題意可知數(shù)列bn能視為一個(gè)二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得數(shù)列bn的最大值與最小值.（詳解略）

5? 借助函數(shù)思想高效解答實(shí)際問(wèn)題

在新時(shí)代背景下，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是能夠解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到學(xué)以致用的目標(biāo).因?yàn)楹瘮?shù)思想在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛，對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，教師應(yīng)刻意設(shè)計(jì)一些生活化問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建立函數(shù)模型的方式解題，并借助函數(shù)思想解決現(xiàn)實(shí)生活中與函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，從而將函數(shù)知識(shí)學(xué)活學(xué)透，讓他們可以靈活自如地運(yùn)用函數(shù)思想解題.（例題略）

6? 結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，當(dāng)碰到部分難題時(shí)，教師可以提示學(xué)生基于函數(shù)思想視角切入，對(duì)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行重新解析和研究，使其借助函數(shù)知識(shí)找到解題的切入點(diǎn)，降低試題難度，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想解答多種類(lèi)型的試題，繼而不斷提高解答數(shù)學(xué)題目的效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］魏健.基于函數(shù)思想的高中數(shù)學(xué)解題探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（06）：35-37.

［2］張宏斌.淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（18）：26-28.

［3］邵春燕.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（06）：29-30.