劉金平

【摘要】條件概率作為概率與統(tǒng)計(jì)模塊的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，隨著新高考的實(shí)施與深入，在高考中的考查熱度與“曝光點(diǎn)”得以很大的提升，經(jīng)常以現(xiàn)實(shí)生活創(chuàng)新場(chǎng)景的應(yīng)用形式出現(xiàn)．理解并掌握條件概率的定義、計(jì)算公式以及相關(guān)的解題方法至關(guān)重要.本文結(jié)合實(shí)例，就條件概率問題的常見破解技巧方法加以剖析，指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)．

【關(guān)鍵詞】條件概率；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

條件概率問題是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常用到的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，也是概率模塊知識(shí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)．本文結(jié)合實(shí)例，就求解條件概率問題的四種常見解題技巧方法加以剖析，歸納解題規(guī)律與策略，拋磚引玉．

1? 定義法

利用條件概率的定義，回歸問題本質(zhì)，先求P（A）P（A）>0和P（AB），再由條件概率的計(jì)算公式P（BA）=P（AB）P（A），即可求解相應(yīng)的條件概率P（BA）的值．定義法是解決條件概率問題的根本．

例1? （2022年高考數(shù)學(xué)天津卷·13）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為．

解析? 由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為M，第二次抽到A的事件為N，

則P（M）=452=113，

P（MN）=452×351=1221，

利用條件概率的定義，可得

P（NM）=P（MN）P（M）=1221113=117，

故填答案1221；117．

點(diǎn)評(píng)? 定義法解決條件概率問題是破解此類問題中最常用的一種技巧方法．在實(shí)際解決條件概率問題時(shí)，有時(shí)條件概率的特征不是直接在題中展示出來，要結(jié)合題目條件的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)的挖掘，回歸條件概率的定義，進(jìn)而結(jié)合定義法，利用條件概率的計(jì)算公式來分析與處理．

例2? 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)反面”為事件B，則P（B|A）等于（? ）

（A）12.? （B）14.

（C）16.? （D）18.

解析? 由古典概型知P（A）=12，P（AB）=14，則由條件概率知

P（BA）=P（AB）P（A）=1412=12，

故選擇答案（A）.

點(diǎn)評(píng)? 要解決條件概率問題，要具體分清事件A、B及其條件的構(gòu)成，要理清相關(guān)的定義與對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式，結(jié)合對(duì)應(yīng)的概率的計(jì)算公式加以分析與處理．解決條件概率問題時(shí)，關(guān)鍵是抓住條件概率的定義，把問題加以轉(zhuǎn)化再分析與處理．

2? 基本事件法

基本事件法是用來解決一些與古典概型相關(guān)的條件概率問題，巧妙利用古典概型的概率公式，分別求解事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)n（A），以及在事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)n（AB），可得P（BA）=n（AB）n（A）．

例3? （2022年甘肅省酒泉市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（5月份））同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記兩枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則在2x+y=12的條件下，x與y不相等的概率是（? ）

（A）112.?? （B）16.?? （C）13.?? （D）23.

解析? 由題意，設(shè)“2x+y=12”為事件A，“x與y不相等”為事件B，那么事件A中涉及的基本事件為：（3，6），（4，4），（5，2），

則知n（A） = 3，

事件AB中涉及的基本事件為：（3，6），（5，2），

則知n（AB）=2，

所以P（B|A）=n（AB）n（A）=23，

故選擇答案（D）．

點(diǎn)評(píng)? 基本事件法是解決古典概型背景下條件概率問題中比較常用的一種技巧方法．通過古典概型的基本性質(zhì)，結(jié)合相關(guān)基本事件的列舉法或排列組合法等來計(jì)算并確定相應(yīng)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而通過古典概型的概率公式來分析與解決一些對(duì)應(yīng)的條件概率問題．

3? 縮樣法

縮樣法的本質(zhì)就是縮減樣本空間，是一種縮小基本事件集合的方法．縮樣法通過去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，合理縮減樣本空間，進(jìn)而利用古典概型的概率公式求解，可以很好地化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化條件概率的求解過程．

例4? （2022年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)二模數(shù)學(xué)試卷）從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球（除顏色外完全相同）的盒子中任取兩個(gè)球，則在選到的兩個(gè)球顏色相同的條件下，都是紅球的概率為．

解析? 依題意，已知選到的兩個(gè)球顏色相同，采用縮樣法來處理，而選到的兩個(gè)球顏色相同的基本事件個(gè)數(shù)有C24+C23=6+3=9種，選到的兩個(gè)球都是紅球的基本事件個(gè)數(shù)有C24=6種，所以在選到的兩個(gè)球顏色相同的條件下，都是紅球的概率P=69=23，故填答案23．

點(diǎn)評(píng)? 縮樣法的本質(zhì)就是在某一確定事件A發(fā)生的前提條件之下，合理確定事件B的縮減樣本空間

SymbolWA@ A=

SymbolWA@ ∩A，縮小范圍，從而在

SymbolWA@ A中計(jì)算事件B發(fā)生的概率，進(jìn)而得到條件概率P（B|A）．通過縮樣法，可以通過列舉法或排列組合法來確定對(duì)應(yīng)事件的基本事件個(gè)數(shù)，從而更加快捷有效地來破解條件概率問題．

4? 性質(zhì)法

結(jié)合條件概率和對(duì)立事件的定義，可得條件概率的基本性質(zhì)：（1）若事件B，C互斥，則P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）；（2）P（B|A）=1－P（B|A）等．利用以上相關(guān)的條件概率的基本性質(zhì)，可以非常有效地解決一些相關(guān)的條件概率問題．

例5? 在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球（除顏色外完全相同），其中紅球、黃球、黑球、白球分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，從中依次摸出2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率為．

解析? 設(shè)“摸出第一個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第二個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏，

則有P（A）=110，

P（AB）=110×29=145，

P（AC）=110×39=130，

利用條件概率公式有：

P（B|A）=P（AB）P（A）=145110=29，

P（C|A）=P（AC）P（A）=130110=13，

由于事件B，C互斥，結(jié)合條件概率的性質(zhì)有

P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）

=29+13=59，

所以所求的條件概率為59，故填答案59．

點(diǎn)評(píng)? 利用條件概率的基本性質(zhì)P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）可使一些條件概率問題的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“事件B與C互斥”．特別在解決一些復(fù)雜事件的概率問題時(shí)，可以把復(fù)雜事件分為兩個(gè)及更多個(gè)的互斥事件，先求解這些互斥事件所對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單事件的概率，再利用條件概率的性質(zhì)來分析求解．

5? 結(jié)語

條件概率問題及其綜合問題，是近年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)命題中的一個(gè)新考點(diǎn)，也是考查的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)．隨著問題情境與設(shè)置方式的創(chuàng)新，以及試題難度的變化，往往在各類題型（選擇題、填空題或解答題）中都可以巧妙出現(xiàn)，很好地考查了基本知識(shí)點(diǎn)與技巧方法．而通過以上條件概率問題的破解“四法”，熟練掌握基本解題技巧與方法，結(jié)合問題類型與實(shí)際情況，采用合理有效可行的技巧方法來分析與解決問題，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)．