張盼 吳明忠

摘 要：本文利用導(dǎo)子的定義，通過分析擬L0filiform左對稱代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，討論其導(dǎo)子在擬L0filiform左對稱代數(shù)的一組特殊基上的作用，得到擬L0filiform左對稱代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)結(jié)構(gòu)。發(fā)現(xiàn)擬L0filiform左對稱代數(shù)的導(dǎo)子在這組特殊基下的矩陣是下三角矩陣，得出導(dǎo)子代數(shù)是可解李代數(shù)。

關(guān)鍵詞：左對稱代數(shù)；擬L0filiform左對稱代數(shù)；強(qiáng)充分基；導(dǎo)子；可解

中圖分類號：O152 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1673-5072（2024）02-0155-04

左對稱代數(shù)是一類非常重要的非結(jié)合代數(shù)，它與數(shù)學(xué)和物理的許多領(lǐng)域都有密切聯(lián)系，如在向量場、頂點代數(shù)、算子理論、仿射流形、李群上的不變仿射結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域都起著很重要的作用［1］。Filiform左對稱代數(shù)是一類代數(shù)結(jié)構(gòu)較好的左對稱代數(shù)，文獻(xiàn)［2］中對維數(shù)小于或等于5的filiform左對稱代數(shù)進(jìn)行了分類，其中用到一類特殊的左對稱代數(shù)L0。與文獻(xiàn)［3-4］類似，本文給出了擬L0filiform左對稱代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。

由于導(dǎo)子能反映代數(shù)最本質(zhì)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，近年來，一些特定代數(shù)的導(dǎo)子研究成為代數(shù)結(jié)構(gòu)理論中的重要課題［3-10］。其中，文獻(xiàn)［5］討論了一類廣義的Virasoro代數(shù)的導(dǎo)子結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［6-7］討論了具有特殊結(jié)構(gòu)的左對稱代數(shù)的導(dǎo)子，文獻(xiàn)［8］討論了一類n-李代數(shù)的導(dǎo)子，文獻(xiàn)［3-4］和［9-10］分別討論了一些特殊李代數(shù)的導(dǎo)子，這些代數(shù)導(dǎo)子的研究得到了一些有用的結(jié)論。

本文利用導(dǎo)子作用在擬L0filiform左對稱代數(shù)的一組特殊基來研究導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。另外，本文所討論的線性空間和代數(shù)都定義在數(shù)域F上。

1 基本概念

定義1［1］ 設(shè)N是數(shù)域F上的一個線性空間，在N中定義一個雙線性映射（x，y）→xy，滿足等式：

（xy）z－x（yz）=（yx）z－y（xz）， x，y，z∈N，

則稱N是一個左對稱代數(shù)。

定義2［2］設(shè)N是一個n維左對稱代數(shù)，如果滿足對任意的1in，都有dimNi=dimNi=n+1－i，且Nn+1=Nn+1=0，則N被稱為filiform左對稱代數(shù)。

定義3［2］ 設(shè)N是數(shù)域F上的n+1維左對稱代數(shù)，如果在一組基{e0，e1，e2，e3，…，en}上，滿足：

e0ei=ei+1，0in－1，

其他的乘積為0，則稱這組基為N的強(qiáng)充分基，此時N為一個filiform左對稱代數(shù)，記為L0。

定義4 設(shè)L=L1+L2+L3+…+Lm，其中LiL0，1im，并且有LiLj=LjLi=0，i≠j，則稱L為擬L0filiform左對稱代數(shù)。

注1 這里L(fēng)=L1+L2+L3+…+Lm是線性空間的和，但可以不是線性空間的直和，所以這樣的分解有非平凡的交。

引理1 設(shè)L=L1+L2+L3+…+Lm是一個擬L0filiform左對稱代數(shù)，dimLn=r

{ei0，ei1，ei2，ei3，…，ei，n－1，e1n，e2n，…，ern1im}

是L的一組基。

2 主要結(jié)果

設(shè)σ是代數(shù)A上的線性變換，而{v1，v2，v3，…，vn}是A的一組基。那么σ∈DerA當(dāng)且僅當(dāng)

σ（vivj）=σ（vi）vj+viσ（vj），1i，jn。（1）

另外，由前面的計算結(jié)果可以得出，擬L0filiform左對稱代數(shù)的每一個導(dǎo)子在引理1所述的特殊基下的矩陣是一個下三角矩陣，因此，可得下面的推論。

推論1 擬L0filiform左對稱代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)是可解李代數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ BURDE D.Left-symmetric algebras or pre-Lie algebras in geometry and physics［J］.Central European Journal of Mathematics，2006，4（3）：323-357.

［2］ DEKIMPE K，ONGENAE V.Filiform left-symmetric algebras［J］.Geometriae Dedicata，1999，74（2）：165-199.

［3］ WU M Z.Quasi Rn-filiform Lie algebras［J］.Linear Algebra and Its Applications，2013，439（5）：1203-1220.

［4］ REN B，HU N H.Quasi Ln-filiform Lie algebra［J］.Communications in Algebra，2005，33（2）：633-648.

［5］ 方政蕊.一類廣義的Virasoro代數(shù)的導(dǎo)子結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2016，46（23）：274-278.

［6］ 朱開曉，吳明忠.一個特殊的4維冪零左對稱代數(shù)的導(dǎo)子和自同構(gòu)［J］.西華師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2019，40（3）：271-276.

［7］ UMIRBAEV U.Left-symmetric algebras of derivations of free algebras［J］.Communications in Algebra，2017，45（7）：2809-2820.

［8］ 張坤.一類n-李代數(shù)的自同構(gòu)群及其導(dǎo)子李代數(shù)［J］.四川大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，50（3）：423-432.

［9］ WU M Z.The derivation algebra of Qn-filiform Lie algebra［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2013，28（3）：397-401.

［10］吳明忠.Ln-filiform李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)（英文）［J］.西華師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2007，28（4）：298-301.

Derivation of Quasi L0filiform Left-symmetric Algebra

Abstract：In this paper，the definition of derivation is utilized and the structure characteristics of quasi L0 filiform left-symmetric algebra are analyzed to obtain the structure of the derivation algebra of quasi L0 filiform left-symmetric algebra by discussing the action of its derivation on a special base of quasi L0 filiform left-symmetric algebra.It is found that the matrices of the derivation of quasi L0 filiform left-symmetric algebra are lower triangle matrices on this special base and the derivation algebra is a solvable lie algebra.

Keywords： left-symmetric algebra；quasi L0 filiform left-symmetric algebra；strongly adequate base；derivation；solvable