章權(quán)兵 張華永 任愛娣

［摘 要］ 課程思政是全面提升人才培養(yǎng)質(zhì)量、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要途徑。對(duì)電子類專業(yè)的專業(yè)課程“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”的思想政治教學(xué)進(jìn)行了探索，并選取課程中的復(fù)變函數(shù)的積分、傅里葉變換、定解問題等主要教學(xué)內(nèi)容，通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的剖析，挖掘知識(shí)點(diǎn)中所蘊(yùn)含的科學(xué)元素和思政元素，將思想政治教育融入知識(shí)傳授中。在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)其學(xué)習(xí)主動(dòng)性的同時(shí)，幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，以達(dá)到教書育人的目的。

［關(guān)鍵詞］ 課程思政；復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程；復(fù)變函數(shù)的積分；傅里葉變換；定解問題

［中圖分類號(hào)］ G642.3［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-9324（2024）08-0089-04

引言

立德樹人是中國(guó)教育的根本任務(wù)和時(shí)代使命，為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，必須通過教育立德樹人。黨的二十大報(bào)告強(qiáng)調(diào)：“全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。”［1］立德樹人在教學(xué)中的重要地位更加凸顯。

課程思政是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、全面提升人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要途徑。課程思政不是增開一門課，也不是增設(shè)一項(xiàng)活動(dòng)，而是一種教育理念、一種教育活動(dòng)［2］，是培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人的現(xiàn)實(shí)需要，也是保障“三全育人”實(shí)現(xiàn)的必然選擇［3］。高校要實(shí)現(xiàn)立德樹人根本目標(biāo)，不能僅靠思想政治理論課，必須加強(qiáng)課程思政建設(shè)，要在專業(yè)課程教學(xué)中進(jìn)行思想政治教育，使專業(yè)課程與思政課程同向同行，在完成知識(shí)傳授的同時(shí)，發(fā)揮育人功能［4］。2020年，教育部在印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》中明確指出，“全面推進(jìn)課程思政建設(shè)是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措”［5］。落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，對(duì)教師隊(duì)伍的建設(shè)提出了更高的要求；推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，發(fā)揮好課程教學(xué)的育人作用，是每位教師須要承擔(dān)的重要使命和責(zé)任［6］。

一、“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程思政的必要性

“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”是安徽大學(xué)電子、通信等理工科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要包含復(fù)變函數(shù)、積分變換、典型常微分方程和偏微分方程的求解及其解的性質(zhì)等內(nèi)容，這些都為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［7-8］。由于該課程基本概念抽象、理論性強(qiáng)、涉及的知識(shí)點(diǎn)多且相互之間的關(guān)聯(lián)度大，因此學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)難度較大。如果學(xué)生沒有理解清楚前面的知識(shí)點(diǎn)，那么后續(xù)內(nèi)容就會(huì)很難聽懂，并且問題越積越多，最后易放棄學(xué)習(xí)。傳統(tǒng)的教學(xué)方式很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且重在基本理論和公式推導(dǎo)，缺乏科學(xué)精神的培養(yǎng)和科學(xué)方法的引導(dǎo)［9］。

事實(shí)上，“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程蘊(yùn)含著豐富的思政元素，并分布于各個(gè)章節(jié)的細(xì)微之處。如何結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)和課程內(nèi)容，深入挖掘課程中的科學(xué)元素和思政元素，使思想政治教育融入知識(shí)傳授中，在吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)其學(xué)習(xí)主動(dòng)性的同時(shí)，做到潤(rùn)物無(wú)聲地對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想價(jià)值引領(lǐng)，幫助他們樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，是須要思考和解決的重要問題［10］。

二、課程思政教學(xué)實(shí)踐

課程思政不是空談，要依附于教學(xué)內(nèi)容［11］。本文結(jié)合筆者多年的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以復(fù)變函數(shù)的積分、傅里葉變換和定解問題等教學(xué)內(nèi)容為例，挖掘了“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程的思政元素，對(duì)該課程的思想政治教學(xué)進(jìn)行了探索并提供了材料支撐。

（一）復(fù)變函數(shù)的積分

“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程的一個(gè)重要內(nèi)容是復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論，它在電學(xué)、流體力學(xué)和航空力學(xué)等方面具有廣泛的應(yīng)用，而復(fù)變函數(shù)的積分是其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

復(fù)變函數(shù)的積分與高等數(shù)學(xué)中第二型曲線積分有很多相同或相似之處。例如，它們的定義在形式和內(nèi)容上是一致的，并且具有大量相同的運(yùn)算性質(zhì)。與第二型曲線積分一樣，復(fù)變函數(shù)的積分包含沿曲線的分割、近似、求和、取極限等步驟，其中蘊(yùn)含了豐富的哲學(xué)思想。分割、近似使每一段弧長(zhǎng)都趨于零，是一個(gè)化整為零的過程；而求和、取極限是一個(gè)合零為整的過程。實(shí)際上，再?gòu)?fù)雜的問題都可分割為一系列簡(jiǎn)單的小問題，將這些小問題逐個(gè)解決后再尋求總體突破，復(fù)雜問題自然就迎刃而解了。人生的大目標(biāo)也是由一個(gè)個(gè)小目標(biāo)組合而成的，只有循序漸進(jìn)，突破一個(gè)個(gè)小目標(biāo)，才能最終實(shí)現(xiàn)自己的夢(mèng)想，正所謂“故不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江?！?。（《荀子·《勸學(xué)》）借此引導(dǎo)學(xué)生明白學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷積累的過程，必須腳踏實(shí)地、努力進(jìn)取并持之以恒，才能實(shí)現(xiàn)從量變到質(zhì)變的根本改變。

復(fù)變函數(shù)的積分還有一些重要性質(zhì)，例如：可以像計(jì)算一元實(shí)函數(shù)定積分一樣應(yīng)用著名的牛頓-萊布尼茨公式。盡管復(fù)變函數(shù)的積分對(duì)函數(shù)的要求要遠(yuǎn)高于實(shí)函數(shù)的積分，但復(fù)變函數(shù)的積分并不涉及一元實(shí)函數(shù)積分的中值定理。在教學(xué)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生將這兩種積分進(jìn)行對(duì)比研究，指出它們之間的異同之處，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使學(xué)生在理解復(fù)變函數(shù)積分相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，掌握基本的科學(xué)探索方法。此外，要充分研究復(fù)變函數(shù)的積分與實(shí)函數(shù)定積分的相似性質(zhì)，以及它們之間的緊密聯(lián)系。例如，利用計(jì)算第二型曲線積分的參數(shù)法可方便地得到計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的參數(shù)法，進(jìn)而將復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一元實(shí)函數(shù)定積分的計(jì)算，從而為復(fù)積分的計(jì)算提供一種有效方法；反過來(lái)，實(shí)函數(shù)中某些比較復(fù)雜，甚至難以計(jì)算的定積分和反常積分，可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，并可利用留數(shù)定理等輕松解決。這告訴我們，在某種理論框架下無(wú)法解決或難以解決的問題，放在一個(gè)新的理論框架下可能會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。借此激勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)，不斷拓寬知識(shí)面。社會(huì)在發(fā)展，科學(xué)在進(jìn)步，要想跟上社會(huì)發(fā)展的節(jié)奏，必須不斷求索新知，樹立終身學(xué)習(xí)的理念。

（二）傅里葉變換

傅里葉變換將滿足一定條件的函數(shù)表示成三角函數(shù)的線性組合或積分，從而為將信號(hào)分析由時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域提供了理論依據(jù)。作為數(shù)學(xué)理論中非常重要的工具，其在信息科學(xué)和物理化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

從時(shí)域角度來(lái)分析，信號(hào)是隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的函數(shù)，自變量是時(shí)間。比如一首優(yōu)美的樂曲，人們能夠感受到它的旋律是隨時(shí)間變化的。然而，樂曲中不同的音符實(shí)質(zhì)上表示的是不同頻率的聲音。從頻域角度來(lái)研究信號(hào)，將時(shí)間變量換成了頻率變量，揭示了隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的信號(hào)其內(nèi)在的頻率特性，使得在時(shí)域中難以解決的問題，往往在頻域中得以簡(jiǎn)化。對(duì)于同一個(gè)信號(hào)，分別從頻域和時(shí)域進(jìn)行分析，就是從不同的角度來(lái)看待問題，并能得到不同的結(jié)果，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。（蘇軾·《題西林壁》）這也告訴我們，對(duì)于同一事物，觀察的立足點(diǎn)和角度不同，就會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)，得到不同的結(jié)論。借此啟發(fā)學(xué)生，在面對(duì)復(fù)雜工程問題時(shí)，若只拘于一種思考，往往無(wú)法抓住問題的核心和本質(zhì)；而換個(gè)角度思考，可能會(huì)“柳暗花明又一村”。要認(rèn)清事物的本質(zhì)，就必須從多角度觀察，多維度思考。

進(jìn)一步來(lái)看，一個(gè)三角函數(shù)表示信號(hào)的能力非常有限，只能表示一個(gè)固定振幅和頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但多個(gè)不同頻率三角函數(shù)的線性疊加可以表示更加復(fù)雜的函數(shù)，從而解決更加復(fù)雜的問題。這也類似于個(gè)人與集體的關(guān)系，個(gè)人的力量總是有限的，但集體的力量卻是無(wú)窮的，團(tuán)隊(duì)合作所取得的成果往往能超過成員個(gè)人的總和。每個(gè)人都要融入集體，才能充分發(fā)揮個(gè)人的作用；而集體要發(fā)揮出團(tuán)隊(duì)真正的力量，就必須團(tuán)結(jié)，正所謂“協(xié)力山成玉，同心土變金”，沒有團(tuán)結(jié)精神的團(tuán)隊(duì)將是一盤散沙。借此引導(dǎo)學(xué)生思考個(gè)體與整體、個(gè)人與集體的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，激勵(lì)學(xué)生為全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)、實(shí)現(xiàn)第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)，以中國(guó)式現(xiàn)代化全面推進(jìn)中華民族偉大復(fù)興而奮斗。

傅里葉變換在信號(hào)處理等很多領(lǐng)域有著無(wú)可替代的重要性，但其正式發(fā)表卻是一個(gè)非常曲折的過程。1807年，傅里葉在關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文中提出了傅里葉變換，但遭到拉格朗日的反對(duì)而未發(fā)表；此后經(jīng)過不斷的補(bǔ)充完善，并于1811年再次提交，但仍未被正式發(fā)表。盡管如此，傅里葉并未放棄，于1822年出版了專著《熱的解析理論》，其創(chuàng)立的包括傅里葉變換在內(nèi)的理論對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)、物理等科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。借此，教師可以激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)傅里葉勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神和堅(jiān)持不懈、追求真理的優(yōu)秀品質(zhì)。同時(shí)，要讓學(xué)生明白，按照當(dāng)時(shí)的理論水平，傅里葉的研究成果確實(shí)存在爭(zhēng)議，拉格朗日拒絕其論文發(fā)表正是嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神的最好體現(xiàn)。

（三）定解問題

定解問題的建立是“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”中一個(gè)基本且重要的問題。定解問題建立的合適與否，直接決定著能否從中得到物理意義明確且符合客觀實(shí)際的解。定解問題包括數(shù)理方程本身（泛定方程）和定解條件（初始條件、邊界條件等）。在定解問題的建立過程中體現(xiàn)了馬克思主義辯證法，需要我們辯證思考。在教學(xué)中體現(xiàn)辯證法思想，既可以使學(xué)生加深對(duì)定解問題的認(rèn)識(shí)和理解，又可以引導(dǎo)學(xué)生掌握分析和解決問題的正確方法，是培養(yǎng)積極、科學(xué)的探索精神的生動(dòng)實(shí)踐。

首先，在定解問題建立過程中推導(dǎo)出的泛定方程，反映了所研究的物理過程和現(xiàn)象的矛盾運(yùn)動(dòng)。例如：均勻弦的微小橫向自由振動(dòng)方程反映了弦自身張力和橫向運(yùn)動(dòng)的矛盾統(tǒng)一；熱傳導(dǎo)方程反映了熱量的傳導(dǎo)和吸收的矛盾統(tǒng)一；泊松方程反映了電荷分布與其產(chǎn)生的靜電場(chǎng)之間的矛盾統(tǒng)一。這些例子正是矛盾普遍存在、矛盾推動(dòng)事物發(fā)展等辯證法思想的生動(dòng)體現(xiàn)。在推導(dǎo)泛定方程的具體過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解矛盾運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，而規(guī)律是可以被認(rèn)識(shí)的，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理、追求真知的理想和信念。

其次，定解問題是矛盾普遍性和特殊性的統(tǒng)一體，泛定方程是對(duì)一類物理過程共性的一種描述，而具體到每一個(gè)物理過程又有其特殊性，這體現(xiàn)在定解條件中，具體問題要具體分析。例如，在均勻弦的微小橫振動(dòng)問題中，泛定方程描述了弦振動(dòng)的橫向位移所遵循的普遍規(guī)律，而之所以有不同的弦振動(dòng)現(xiàn)象則源于不同的定解條件，只有把泛定方程和定解條件放在一起看作一個(gè)完整的定解問題，才能對(duì)具體的弦振動(dòng)問題給出正確的求解和解釋。借此，教師要引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)持矛盾普遍性和特殊性相統(tǒng)一的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)世界是豐富多彩的，我們既要樹立獻(xiàn)身科學(xué)、探求真理的遠(yuǎn)大抱負(fù)，又要有腳踏實(shí)地、實(shí)事求是的學(xué)習(xí)和工作態(tài)度。

最后，我們?cè)谘芯恳粋€(gè)物理過程時(shí)不能孤立地進(jìn)行研究，必須考慮周圍環(huán)境對(duì)它的影響。例如，在均勻弦的微小橫向受迫振動(dòng)方程中，自由項(xiàng)是由于弦受到外力作用而引入的，反映了外在因素和弦振動(dòng)問題的聯(lián)系。定界條件中不同的邊界條件也充分體現(xiàn)了外界環(huán)境對(duì)弦振動(dòng)的不同影響。這些外在的影響因素在很大程度上決定了弦的振動(dòng)方式，所以研究弦振動(dòng)問題需充分考慮其與外界的廣泛聯(lián)系。在定解問題的教學(xué)中堅(jiān)持普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行科學(xué)研究時(shí)既要掌握扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，又要廣泛學(xué)習(xí)其他相關(guān)領(lǐng)域知識(shí)，具有寬廣的知識(shí)面。

結(jié)語(yǔ)

立德樹人是教育之本，課程思政是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的重要途徑?！皬?fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”是電子、通信等理工科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，如何在課程教學(xué)中將知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)相結(jié)合，踐行課程思政理念，實(shí)現(xiàn)協(xié)同育人目標(biāo)，具有重要意義。

本文對(duì)“復(fù)變函數(shù)與數(shù)理方程”課程思政教學(xué)進(jìn)行了探索，并選取了幾個(gè)典型的教學(xué)內(nèi)容，挖掘了知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含的科學(xué)元素和思政元素，使思想政治教育融入知識(shí)傳授中。從教學(xué)效果來(lái)看，這種方式有效提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)思維能力，并對(duì)學(xué)生世界觀、人生觀、價(jià)值觀的正確樹立起到了很好的引導(dǎo)作用。

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37-39+46.

Exploration of Curriculum Ideology and Politics in the Course of Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics

ZHANG Quan-bing， ZHANG Hua-yong， REN Ai-di

（School of Electronic and Information Engineering， Anhui University， Hefei， Anhui 230601， China）

Abstract： Curriculum ideology and politics provides an important way to comprehensively improve the quality of talent training and implement the fundamental task of moral education. This paper explores the ideological and political teaching of the specialized course Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics of electronics specialties， and selects several major teaching contents， including integral of complex variable function， fourier transform and definite solution problem. Through the analysis of the teaching content， the scientific elements and ideological and political elements contained in these knowledge points are excavated， so that ideological education can be integrated into knowledge teaching. It can not only stimulate students interest in studying and cultivate their learning initiative， but also help them to establish correct outlook on life， values and world， so as to achieve the purpose of cultivating talents.

Key words： curriculum ideology and politics; complex variables function and equations of mathematical physics; integral of complex variable function; fourier transform; definite solution problem