王清木

摘? 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力是近幾年一個盛行的話題，也是很多教師切身跟進(jìn)的實驗課題，其目的是培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的主觀能動性，追求鉆研的學(xué)習(xí)精神，勇于質(zhì)疑、善于提問的學(xué)習(xí)態(tài)度和及時解決問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在中考中，圓的知識點作為重點考查的內(nèi)容，其考查形式也在不斷發(fā)生變化。在很多數(shù)學(xué)試題中，如果考生能注意到題目中各條件的關(guān)聯(lián)，挖掘題中的條件，利用隱圓的幾種模型找到存在的隱圓，巧妙地構(gòu)造出隱形圓，再利用圓的相關(guān)性質(zhì)定理來解題，就能夠起到化難為易的效果。這也培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；自主學(xué)習(xí)；隱圓

一、良好的課堂氣氛是自主學(xué)習(xí)的前提

數(shù)學(xué)不同于其他科目，它是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模彩强菰锏?，學(xué)生很容易因此受到干擾，認(rèn)為數(shù)學(xué)乏味無趣。這會使學(xué)生的思維停止運轉(zhuǎn)，對數(shù)學(xué)提不起興趣甚至望而卻步。如果想解放學(xué)生的思維，教師可以用詼諧幽默的語言等營造輕松愉悅、民主的課堂氣氛。輕松愉悅的課堂氛圍可以給學(xué)生帶來美好的心情，放松的學(xué)習(xí)心態(tài)可以為學(xué)生建立一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣打下基礎(chǔ)；民主可以讓學(xué)生暢所欲言，敢大膽表達(dá)自己的所想所知。數(shù)學(xué)也需要表達(dá)，如此良性的循環(huán)會激發(fā)學(xué)生躍躍欲試的激情，學(xué)生將有可能迸發(fā)出各式各樣、不可估量的創(chuàng)造力。

二、建立友好和諧的師生關(guān)系是自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

課堂是師生互動的平臺，引導(dǎo)性語言需要師生間的對接配合。教師如果對學(xué)生知根知底，就能充分挖掘潛能。每個人的潛能都是巨大的，學(xué)生只要有自信，其潛力將得到極大發(fā)揮。教師在課內(nèi)要發(fā)揮自己獨特的個人魅力，與學(xué)生做朋友，尊重學(xué)生、相信學(xué)生，樹立其強大的自信心，為建立和諧的師生關(guān)系打下堅實的基礎(chǔ)。

在課外，教師可以與學(xué)生多進(jìn)行學(xué)科間的聯(lián)系交流，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難和真實想法，適當(dāng)給出合理的、有建設(shè)性的意見，從而得到學(xué)生的信任，拉近師生間的關(guān)系。良好的師生關(guān)系能讓學(xué)生產(chǎn)生親近感和向教師學(xué)好數(shù)學(xué)的想法，這就為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打開了局面。同時教師要多用鼓勵性的語言，從不同角度鼓勵學(xué)生，這可以給學(xué)生帶來自信，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，從而促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題并大膽提出新問題。因此和諧的師生關(guān)系也是學(xué)生開懷暢言、進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)必不可少的基礎(chǔ)。

三、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是自主學(xué)習(xí)的有力保障

（一）課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)本身就是學(xué)習(xí)的一個重要環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、體現(xiàn)學(xué)生主體地位、提高學(xué)生聽課效率的主要途徑。所以預(yù)習(xí)不能淡化，不能流于形式，而是要落到實處，并成為一種習(xí)慣。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)方法，形式應(yīng)避免單一，作業(yè)的布置盡量多層，作業(yè)的檢查務(wù)必嚴(yán)格。部分學(xué)生隨著年級的增加，其成績呈下滑趨勢，這是因為小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容相對形象具體；到了初中，學(xué)生就需要一定的邏輯推理能力；到了高中，則需要學(xué)生更強大的分析能力。知識難，要求高，而多數(shù)學(xué)生對思考、鉆研、分析等沒能堅持，由于惰性導(dǎo)致相關(guān)思考始終停留在表面，這必使學(xué)生的成績退步。相反，隨著年級的遞增，預(yù)習(xí)的作用也會更突出。

（二）課中做好課堂筆記，積極問答

做隨堂練習(xí)時，學(xué)生需要在課前準(zhǔn)備好文具，課上認(rèn)真聽講、識記內(nèi)容、劃上重點，對疑惑難懂的知識做上記號。教師則需要不斷地巡查、提醒、強調(diào)，使之成為常態(tài)；鼓勵學(xué)生主動發(fā)言、質(zhì)疑問難，能夠大膽熱情地與他人交流、討論或爭辯。積極互動既可以活躍氣氛、消除焦慮、融洽師生關(guān)系、增進(jìn)同學(xué)友情，又可以使學(xué)生的交際、表達(dá)、邏輯和思維能力逐步提高。對表現(xiàn)被動的學(xué)生，教師可以點名指定其回答。同時教師對問題的設(shè)計要確保梯度，以使不同層次的學(xué)生都有回答的機會。當(dāng)學(xué)生回答問題遇到困難時，教師要適時、恰到好處、巧妙地給以啟發(fā)和指導(dǎo)，讓每個學(xué)生都有表現(xiàn)的時刻，都能嘗試到成功的喜悅，從而不畏懼、厭倦數(shù)學(xué)。

（三）解答規(guī)范

各題型都有相應(yīng)的解題格式與步驟。學(xué)生解題的格式模糊，意味著思路不清，步驟無序，就會混亂出錯。學(xué)生的解答過程不能時而豎寫、時而橫寫，基礎(chǔ)題要一步步完整作答；計算題要嚴(yán)格根據(jù)運算律、運算法則進(jìn)行計算；應(yīng)用題的步驟要牢記于心；證明題要有理有據(jù)，明了流暢；提高題要詳略得當(dāng)，條理清晰。學(xué)生應(yīng)杜絕解題時字跡潦草不清、亂涂亂改，要合理安排字體大小、間距及答題空間。

這就要求教師在平時授課時，表述嚴(yán)謹(jǐn)、書寫工整，起到標(biāo)桿作用，并在學(xué)生的作業(yè)、階段考試中落實查正。學(xué)生的計算能力不足，讀題慢，不了解題意，在考試中就會陷入遲疑，從而緊張不安、書寫不流利，這些都會影響解題速度、占用考試時間。對此教師要針對性地對學(xué)生進(jìn)行解題思維和技巧的專門訓(xùn)練，以不斷提高學(xué)生的答題速度。如設(shè)置搶答題形式、限時快速解題、同類題型集中訓(xùn)練等，先易后難，逐步提升；也可以與學(xué)生進(jìn)行必要的交流和心理輔導(dǎo)，使學(xué)生對考試不膽怯，發(fā)揮不失常。

四、融合多元化教學(xué)，助力自主學(xué)習(xí)

創(chuàng)設(shè)情境、連貫的問題串、小組活動等有多種方式，教師可以選擇幾種方式的融合，變成多元化的教學(xué)，這可以讓學(xué)生感到更為新奇，從而帶著好奇心自覺沉入學(xué)習(xí)中。在教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)一個能在課堂中實現(xiàn)學(xué)習(xí)高潮的問題情境，讓課堂活躍起來。學(xué)生的大腦興奮起來，其思維自然就活動起來，思維空間也開闊了，這樣學(xué)生的聯(lián)動性將得到激發(fā)，再加上教師為學(xué)生定好的學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)將得以可行。

例如，隱圓在中考的選填甚至解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，題目常常以動點問題呈現(xiàn)，如點、線的運動，圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，對此大多學(xué)生沒有思路，不知如何解答。那何謂隱圓？隱圓其實就是題目中圓的性質(zhì)、圓周角定理的相關(guān)信息，但大多數(shù)學(xué)生就是看不見題目與圓的性質(zhì)、定理有關(guān)，這就需要通過對題目的分析，找到隱形中的圓。學(xué)生如果能夠根據(jù)題目中的已知條件與圓的相關(guān)性質(zhì)畫出隱形圓，那么模糊問題將變得清晰化、復(fù)雜問題將變得簡單化。接下來，本研究將探析“隱圓”的幾種模型。

1. 當(dāng)題目中出現(xiàn)幾個點到某個定點距離相等的條件時，可以考慮隱圓，即“定點定長存隱圓”。

這個模型依據(jù)的是圓在教材上的定義：圓到定點的距離等于定長的點的集合。尋找隱圓技巧：如果動點到平面內(nèi)某定點的距離為定值，則其軌跡是圓或圓弧。

例：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC，BD相交于點E，且∠ABD=2∠BDC。若CE=2，DE=5，求BE的長。

分析：此題若直接從四邊形問題入手，可能會比較棘手，甚至無從下手；但若觀察到題目中B、C、D三點到A點的長度相等，想到“定點定長存隱圓”，那么B、C、D三點就在以A為圓心以AB為半徑的圓上，此問題就很容易解決了。

2. 定邊對直角模型。如圖2，固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓，AB為直徑。

這個模型依據(jù)的原理：如圖3，在圓O中，圓周角為90°，所對弦是直徑；找隱圓的技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧。

例：如圖4，在△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP的最小值。

本題通過直角三角形頂點共圓的同斜邊構(gòu)造輔助性圓，學(xué)生可以用“在圓里，直徑所對的圓周角都是直角”來求解輔助性圓；如果圓周角是直角，那么用它所對的弦來構(gòu)造輔助圓，再利用圓周角定理，進(jìn)行角的變換，使已知的角和線段集中在同一個三角形內(nèi)；再利用方程思想列等式，通過構(gòu)造直角三角形來解決問題。

3. 四點共圓模型（對角互補模型與等弦對等角）。如圖5，若平面上A、B、C、D四個點滿足 ，則A、B、C、D四點共圓。

條件：（1）四邊形對角互補；（2）四邊形外角等于內(nèi)對角。

分析以上三類問題可以發(fā)現(xiàn)，道是無“圓”卻有“圓”。近年來，隱圓模型考查的范圍有所擴大，在構(gòu)建隱圓的過程中，用到了圓的性質(zhì)和定義。所以，在平時的教學(xué)過程中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生自主解決隱圓問題的能力。首先，教師要幫助學(xué)生建立最常見的隱圓模型，掌握條件已知的形式要求，了解隱圓模型，這有利于學(xué)生形成幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而構(gòu)造隱圓；其次，教師要強化圓周角、圓心角以及弦直徑之間的關(guān)聯(lián)，抓住圓的性質(zhì)、定理等內(nèi)容，綜合運用圓與直線形幾何的關(guān)聯(lián)性；最后，教師要讓學(xué)生在平時養(yǎng)成總結(jié)解題思路的習(xí)慣，積累解題經(jīng)驗。這樣就可以幫助學(xué)生快速找到面對“隱形”圓題時的解題思路。

文中所列的隱圓類型都是?？碱}型。針對以上三種模型，如果學(xué)生善于挖掘隱含條件、聯(lián)想所學(xué)知識，構(gòu)造出符合題意的隱圓，再運用圓的相關(guān)性質(zhì)加以分析，就可以化隱為顯，化難為易。這類探究型的題目，需要學(xué)生通過實踐探索出規(guī)律，再得出結(jié)論，學(xué)生在體驗與探索、自主學(xué)習(xí)、合作與交流的過程中發(fā)展了思維，提高了能力，從而提高了課堂教學(xué)效率。教師將學(xué)生帶入慣性操作中，學(xué)生就可以邊討論、邊思考、邊沉淀整合，其頭腦的思路漸漸清晰，處于一種有問題就要解決的狀態(tài)，從而有了自主成功學(xué)習(xí)的成就感。它將促使學(xué)生對數(shù)學(xué)更感興趣，折射回來促使學(xué)生更主動地深入探究數(shù)學(xué)，從而達(dá)到助力自主學(xué)習(xí)的目的。因此，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)需要多元化教學(xué)的助力。

總之，時下數(shù)學(xué)課堂需要趣味與新奇，需要輕松與和諧，學(xué)生需要課堂的自主性，需要對課堂學(xué)習(xí)的信心，需要在課堂有自我展示的舞臺。所以教師應(yīng)把自主探索的空間還給學(xué)生，把自主學(xué)習(xí)的信心留給學(xué)生，改變教學(xué)模式，探試新教學(xué)方法，尋求讓學(xué)生進(jìn)行自主探索學(xué)習(xí)的好途徑。

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（責(zé)任編輯：淳? 潔）