尤文奕

摘 ? 要： 范希爾幾何思維水平理論是幾何教學的一個基本理論框架，在學生幾何思維水平評估以及課堂教學設計等方面都有著廣泛的應用。數(shù)學實驗能使學生親身參與、創(chuàng)造性地體驗幾何知識和方法之發(fā)生、發(fā)展的過程，是提升學生幾何認知與非認知的重要方式。數(shù)學實驗教學在實驗要素、實驗原則、實驗路徑等方面可依據(jù)范希爾理論開展設計并實施。在實踐過程中，還可以在學生幾何思維水平測試的科學性、教學環(huán)節(jié)與思維水平的匹配性上開展進一步研究。

關鍵詞： 范希爾理論；幾何思維水平；數(shù)學實驗；探究型幾何實驗

幾何是初中學生認識并了解數(shù)學公理體系的重要載體，在促進學生理性思維、科學精神的發(fā)展中有著不可替代的作用，有助于促進學生認識、理解，以及表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關系和規(guī)律?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出的初中階段學生核心素養(yǎng)中的幾何直觀、空間觀念、推理能力，都是幾何教學目標的直接體現(xiàn)。范希爾幾何思維水平理論（以下簡稱范希爾理論）作為長期以來幾何教學中具有重要影響力的理論，對幾何教學有著指導性作用。下文將論述在范希爾理論指導下開展幾何實驗教學何以優(yōu)化幾何教學。

一、范希爾理論是幾何教學的基本理論框架

20世紀50年代，范希爾夫婦（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作為荷蘭一所中學的數(shù)學教師，在研究皮亞杰的認知理論基礎上，提出了幾何學習中思維水平的五個層次以及與之有關的一系列理論，搭建幾何教學的一個基本理論框架。其核心理論有兩個，分別是幾何思維水平和相應的幾何教學階段（見表1）。

范希爾理論具有雙重的意義：它們既可以作為診斷學生幾何思維水平的評估指標，也可用于設計每個水平上的教學目標與任務。因此，范希爾理論在幾何教學中的應用是多方面的，其中包括課程編制、能力評估與教學設計等。

范希爾理論的提出，受到了各國數(shù)學教育者的關注，并成為當時幾何教學研究的一個熱點。如今，范希爾模型已經(jīng)被運用于許多國家的數(shù)學課程的編制，其中包括荷蘭、德國、俄羅斯與美國。范希爾理論還被作為不同教材比較研究的理論框架。范希爾理論在編制幾何課程上的作用，已經(jīng)得到了各國學術界的普遍認可。

范希爾理論具有次序性、進階性等特點，即學生幾何思維水平的發(fā)展逐層遞進，學生在沒通過第n-1層次之前，無法到達第n層次；學生幾何思維水平的提升只能經(jīng)由教師教學，并不會隨年齡成長或心理成熟而自然提升。沒有一種教學方法能讓學生跳過某一個水平而進入下一個水平，即由上一個水平進入下一個水平并非一蹴而就。1

二、初中幾何實驗教學的價值追求

初中幾何實驗教學是指為了研究初中階段某個幾何對象（幾何問題），指導學生借助實驗工具（傳統(tǒng)文具、信息技術、自制教具等）進行畫圖操作、測量觀察、猜想歸納等數(shù)學活動的教學方式。幾何實驗教學以動手操作、直觀感受為表現(xiàn)形式，以動腦思考、主動建構為內(nèi)在驅(qū)動，旨在調(diào)動學生多個感官參與并理解幾何對象。與初中物理化學實驗不同的是，對于學生來說，幾何實驗的結果是未知或部分未知的，更多的是采取幾何實驗的手段進行數(shù)學領域的探究和發(fā)現(xiàn)，驗證結論的正確性。幾何實驗教學的基本思想是以實驗促發(fā)現(xiàn)，因?qū)嶒灚@理解，由實驗生感悟，在實驗中想象，在想象中論證。

在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》實施背景下，初中幾何實驗教學能夠提升學生的幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng)，促進學生對幾何知識與方法的理解。初中幾何實驗教學對于學生成長的價值顯現(xiàn)在以下幾個方面：

1.促進核心素養(yǎng)的有效提升

教育部制定的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中指出，教學活動應注重啟發(fā)式，激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生積極思考，鼓勵學生質(zhì)疑問難，引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。在“課程內(nèi)容”中指出，“圖形的性質(zhì)”強調(diào)通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，推導圖形的幾何性質(zhì)和定理。在“課程實施”中指出，教師可以利用數(shù)學專用軟件等教學工具開展數(shù)學實驗，將抽象的數(shù)學知識直觀化，促進學生對數(shù)學概念的理解和數(shù)學知識的建構。1

2.增強對幾何知識與方法的理解

追根溯源，現(xiàn)在初中數(shù)學中的幾何知識總體源于兩千多年前《幾何原本》，這些幾何知識中大多就是由觀察和測量開始。從眾多的事例中我們不難發(fā)現(xiàn)其基本運作邏輯，即通過歸納去猜想或假設，運用邏輯推理的手段去證明并確定為定理，然后再將定理應用于實踐中。由此可見，幾何實驗是研究幾何知識與方法的重要手段之一。

3.激發(fā)學習興趣，促進主動學習

數(shù)學實驗能極大地激發(fā)學生的興趣，引發(fā)學生的好奇心，調(diào)動學生的學習熱情，使學生以一種積極的態(tài)度投入實驗、探究活動之中。2 在幾何實驗教學中，學生在學習的體驗中激發(fā)自身的學習動機，進一步促進了學習，逐漸形成主動學習。

4.形成正確的學習觀

在實驗教學中，學生認識到數(shù)學并非只是一個定理或公式，更多的是生動鮮明的經(jīng)歷。在一次次探索的經(jīng)歷與過程中，學生不斷反思、調(diào)整，最終完成學習任務。這種研究科學的方法、學習經(jīng)驗的獲得，對培養(yǎng)學生良好的學習習慣，以及樹立正確的學習觀念有著十分重要的作用。

三、初中幾何實驗的類型

由于實驗目的、實驗材料、實驗方式等差異，初中幾何實驗分類的方式也各有不同。根據(jù)實驗結論的未知程度，可將幾何實驗分為探究型、感知型兩種類型。

1.探究型實驗

探究型實驗是指在實驗結論未知的前提下，學生根據(jù)實驗主題，通過實驗操作，經(jīng)歷觀察猜想，進而獲得發(fā)現(xiàn)的幾何實驗。在開展探究型實驗之前，學生并不知道所研究的對象存在怎樣的性質(zhì)，也不清楚實驗操作后會有怎樣的實驗結果，學生完全基于實驗主題，在實驗手冊的指導下開展實驗，充分經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程。

探究型實驗的特點是：從實驗教學目標來看，旨在學生通過實驗操作，經(jīng)歷主動發(fā)現(xiàn)的過程；從學生行為來看，學生自主性較強，實驗方案的設計給學生以充分的理性思辨以及探究的空間，從而達成使學生自主經(jīng)歷學科研究與學習的目的；從研究對象來看，由于實驗結論的不明確，因此需要學生理性分析實驗數(shù)據(jù)，思考觀察猜想的合理性，這就為學生理解知識掌握方法提供了經(jīng)驗。

2.感知型實驗

感知型實驗是指實驗結論已知或已明確范圍，學生根據(jù)實驗主題，通過實驗操作，驗證已知結論或發(fā)現(xiàn)給定范圍的結論的幾何實驗。與探究型實驗不同的是，在開展感知型實驗之前，學生已經(jīng)知道實驗應有的結果或大概知道實驗結果的范圍。學生進行感知型實驗，并不是為了探究未知，而是在已知范圍內(nèi)經(jīng)歷結論的發(fā)生過程，感知實驗過程中實驗對象表現(xiàn)出的變與不變，進而獲得對研究對象本質(zhì)的認識。

感知型實驗的特點是：從實驗教學目標來看，希望學生通過實驗操作，理解實驗對象的本質(zhì)；從學生行為來看，由于已經(jīng)掌握研究對象的研究屬性，因此學生實驗的方案總體明確，學生自主性要低于探究型實驗；從研究對象來看，由于實驗結論基本明確，因此需要學生感受實驗操作過程中的變化，并獲得對研究對象本質(zhì)的感悟。

四、基于范希爾理論的探究型幾何實驗教學

數(shù)學實驗以其獨特的學科價值和育人價值，在幾何教學中有著重要的地位和作用。在開展數(shù)學實驗的過程中，需要科學理論的引領。因此，在以幾何對象為主的數(shù)學實驗的設計與開展中，需要通過范希爾理論構建數(shù)學實驗的體系。由于感知型實驗在數(shù)學實驗中所占比例較小，因此，本文主要研究探究型實驗在范希爾理論指導下的設計與實施。

1.探究型實驗要素確定

探究型實驗要素的確定，除了要具有實驗因素以外，還需要從幾何思維水平的角度考察實驗的價值。因此，探究型實驗的要素可以確定為以下三項：

（1）基于視覺水平，知識的發(fā)生具有觀測性。知識的生成過程具有觀測性，是指知識的發(fā)生本身源于實驗，測量、觀察是研究該類知識的合理選擇。知識發(fā)生的觀測性反映的是范希爾幾何思維水平的視覺水平，通過探究型實驗，學生能更順利地獲得基本概念，有利于思維水平的提升。

（2）基于分析水平，知識的生成具有操作性。有些知識的生成具有一定的操作性，通過實驗操作展現(xiàn)知識生成的動態(tài)過程，更容易使學生產(chǎn)生對知識的本質(zhì)認識，從而產(chǎn)生幾何概念間的相互關系及聯(lián)系，更有利于分析水平的提升。

（3）基于非形式化演繹水平，問題的呈現(xiàn)具有動態(tài)性。有些幾何問題在其解決過程中就蘊含了實驗性，通過實踐操作會使問題的本質(zhì)變得更為直觀，更有利于學生做出非形式化的演繹推理。

這三個要素對應范希爾幾何思維水平中相對較低的前三個水平。在這樣的前提下，開展幾何實驗才能使學生充分經(jīng)歷學科研究與學習的過程，并在探索的過程中充分地獲得經(jīng)驗，形成自己的理性思辨能力，使自己的幾何思維水平進一步提高到形式化演繹水平，甚至是嚴密性水平。

2.探究型實驗教學的基本原則

（1）水平評估原則。不同的思維水平應當對應不同的教學階段。在開展幾何實驗教學之前，教師應當對學生的幾何思維水平進行評估，再設計適切學情的實驗活動，使學生從實驗操作中提高興趣并獲得新的認知和感悟。具體而言，就是教師需要預判學生學習難點，由于知識的發(fā)生發(fā)展源于實驗操作，這時幾何實驗的適當介入將恰到好處。否則僅僅為實驗而實驗，忽略學生本身思維能力，反而失去了實驗的本來價值。

（2）自主探究原則。在設計實驗時，應當留給學生充分的探究空間，從而使學生自主經(jīng)歷學科研究與學習的過程，并在此基礎上形成自己的思辨結論。在幾何實驗教學中，如果忽略了這條原則，或者教師設計實驗操作的步驟指向過于明顯，從思維上來說，學生仍然是被動地接受，這樣的幾何實驗教學就形同虛設，學生的思維水平無法得到提高。

（3）創(chuàng)造性原則。在自由定向、整合這兩個教學階段中，學生獲得的無論是新的實驗結果，還是新舊知識聯(lián)系的自我建構，都是創(chuàng)造力的體現(xiàn)。探究型幾何實驗就是一種再創(chuàng)造，因此，實驗的設計要有利于學生創(chuàng)造力的發(fā)生。學生在進行實驗操作時需要發(fā)揮自己與小組的智慧，充分參與，設計并實施方案，如此才能創(chuàng)造性地解決問題或獲得創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。

3.探究型實驗教學的路徑

范希爾的幾何思維水平的發(fā)展具有順序性和進階性，五個水平既不能被跳躍，也不能被調(diào)整次序，學生必須達到前一水平才能進入后一水平。1 因此，探究型實驗的設計與開展，也應當遵循五個水平以及相應的五個教學階段的逐層遞進。

探究型實驗教學能充分發(fā)揮學生的主體作用，更有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和發(fā)現(xiàn)問題的能力，是一種新型的數(shù)學教學模式。探究型幾何實驗的基本思想是以實驗促發(fā)現(xiàn)，因?qū)嶒灚@理解，由實驗生感悟，在實驗中想象，在想象中論證。在實驗路徑上，根據(jù)范希爾的幾何思維水平劃分，可將探究型幾何實驗教學分為初步體會、實驗探究、交流討論、推理論證、體會感悟五個環(huán)節(jié)（見圖1）。

（1）初步體會。幾何實驗教學的目的是為了使學生獲得發(fā)現(xiàn)、獲得感悟，因此，幾何實驗不是簡單地提煉規(guī)律。這不是幾何實驗的全部，甚至不是實驗的核心。在正式實驗之前，讓學生先動手畫圖，簡單操作，初步體會研究對象的大致情況，獲得初步感受。這一環(huán)節(jié)主要對應的是幾何思維水平的視覺水平，也包含少量分析水平，目的是使學生從感官上建立基本認識，達成幾何思維水平進階的第一步。

（2）實驗探究。這是幾何實驗教學的主體部分，在這一環(huán)節(jié)，學生開展實驗操作，借助實驗工具（傳統(tǒng)文具、信息技術、自制教具等）進行畫圖操作、測量觀察、猜想歸納等數(shù)學活動，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)和關鍵。幾何實驗教學以動手操作、直觀感受為表現(xiàn)形式，以動腦思考、主動建構為內(nèi)在驅(qū)動，調(diào)動學生多感官參與并理解幾何對象（問題）。這一環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)的是幾何思維的分析水平與非形式化演繹水平。實驗探究活動使學生認識到研究方向，并通過實驗操作建立整體認識，根據(jù)圖形或輔助材料進行推理和理解。

（3）交流討論。幾何實驗教學的目的是通過幾何實驗，讓學生掌握科學研究的方法，獲得對研究對象本質(zhì)的認識。在生生交流中，學生分享自己對實驗操作的方法、經(jīng)驗、成果、體會，思維的火花互相碰撞，實驗的價值得到升華；在師生交流中，學生反思自己的得失，提升自己的認識。這是幾何實驗教學必不可少的環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)合作精神、進行數(shù)學交流的重要環(huán)節(jié)。這一環(huán)節(jié)是幾何思維非形式化演繹水平的體現(xiàn)。學生能夠?qū)ψ约旱膶嶒炦^程與結果在思維層面進行梳理，更為清晰地呈現(xiàn)本質(zhì)，為后面的形式化演繹奠定基礎。

（4）推理論證。初中平面幾何是數(shù)學嚴謹邏輯體系的經(jīng)典。任何幾何實驗的結論都應當通過推理論證來予以證明，因此，推理論證是幾何實驗教學必不可少的環(huán)節(jié)。在充分進行實驗探究、合作交流的過程中，學生已經(jīng)建立了直覺猜想，并獲得了對問題的全面認識，能夠抓住問題的關鍵。這時推理論證水到渠成。因此，推理論證環(huán)節(jié)的開展，既是幾何邏輯體系的需要，又是幾何實驗成功與否的重要表現(xiàn)。這一環(huán)節(jié)是形式化演繹水平的充分體現(xiàn)。

（5）體會感悟。幾何實驗教學與傳統(tǒng)教學的顯著區(qū)別在于，學生作為實驗者是研究、學習的主體，其參與程度要遠高于傳統(tǒng)教學。這一環(huán)節(jié)在一定程度上體現(xiàn)了幾何思維水平的嚴密性水平。在學生完成推理論證后，回顧實驗過程和結果以及推理論證的過程，并形成感悟和觀點，對象和關系被統(tǒng)一內(nèi)化為一個新的思維領域，學生能建構起屬于自己的知識和數(shù)學認知體系。

五、實踐反思

1．促進學生思維水平的提升

由于幾何實驗教學能夠使學生通過動手操作、動眼觀察、動腦思考，親身投入知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和應用的過程中，因此，學生更容易隨著教學環(huán)節(jié)的遞進突破當前思維水平，而且這些思維水平的進階是自然發(fā)生的。

2．學生幾何思維水平測試的科學性有待探索

學生在進行幾何學習時，思維水平從層次0逐級提升。面對不同的測試問題，學生所表現(xiàn)出的思維水平會有很大差異。如何設計客觀準確的測試題，國內(nèi)外都進行了很多嘗試。但由于學情各異、內(nèi)容不同、標準多元，因此，目前還沒有十分科學準確且普遍認可的測試體系。

3．教學環(huán)節(jié)與思維水平的匹配程度需要提升

幾何實驗有著自己獨特的教學環(huán)節(jié)，盡管與范希爾理論匹配度較高，但還存在著一定的不匹配的情況。比如，在初步體會環(huán)節(jié)，既有一部分視覺水平，也有一部分分析水平；在實驗探究部分，則是分析水平與非形式化演繹水平兼而有之。如何將實驗環(huán)節(jié)與思維水平有著更高的匹配度，從而使教學分析能更為準確，值得進一步研究。

幾何實驗的具體可操作性，讓抽象的幾何變得生動、具體。不僅打破學生的畏難情緒，也讓學生在做中學、學中思。幾何實驗給予不同能力水平的學生以充分的參與感。在教學中設計實驗活動，使學生親身經(jīng)歷探索實踐、抽象概括、聯(lián)系知識，改善自身的學習方式，也使學生在實驗中生成幾何思維，在演繹中升華。

Inquiry-based Experimental Teaching of Junior High School Mathematics

Based on Van Hiele Levels of Geometric Thought

YOU Wenyi

（Shanghui Experimental School of Xuhui District，Shanghai，200231）

Abstract： Van Hiele Levels of Geometric Thought is a basic theoretical framework of geometry teaching，which has been widely applied in studentsgeometric thinking level assessment and classroom teaching design. Mathematical experiments can enable students to participate in and creatively experience the formation and development of geometric knowledge and methods，which is an important way to improve studentsgeometric cognition and non-cognition（learning interest and efficacy）. Mathematical experiment teaching can be designed and implemented according to Van Hieles theories in terms of experimental elements，experimental principles and experimental paths. In the course of practice，further research can be done from the scientific nature of tests on studentlevels of geometric thought，and the matching between phases of teaching and thinking level.

Key words： Van Hieles theories，geometric thinking level，mathematical experiment，inquiry-based geometry experiment