廖艷嫦

摘 要：在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，起統(tǒng)攝作用的是數(shù)學(xué)思想方法.思維導(dǎo)圖析題作為解題反思的策略性工具，為數(shù)學(xué)思想方法的傳播、歸納、運用提供了渠道.實踐證明，思維導(dǎo)圖析題，可有效建構(gòu)多個知識點之間的聯(lián)系接點，進一步鞏固新課標對相關(guān)知識點的要求，有利于增強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的運用意識，從而實現(xiàn)思維能力的提升.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；思維導(dǎo)圖；析題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出，課程目標以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進一步強調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），發(fā)展運用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價值觀.明確了數(shù)學(xué)思想方法在義務(wù)教育階段培養(yǎng)目標中的重要地位，也為教師的教學(xué)提供了方向.

1 數(shù)學(xué)思想方法概述

人們在計劃完成某一項任務(wù)之前，總是根據(jù)現(xiàn)實情況制定切實可行的執(zhí)行方案，這些方案就是“方法”.結(jié)合課程標準的課程目標，可以認為，運用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的概括性策略就是數(shù)學(xué)方法.馬一浮先生指出：“從聞見得來的是知識，由自己體究，能將各種知識融會貫通，成為一個體系，名為思想.”涂榮豹、王光明、寧連華等數(shù)學(xué)大家認為，數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性、概括性的認識.我們總是認為，數(shù)學(xué)就是由無數(shù)的單一知識點融匯而成的知識體系.教授知識點的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生思維容易固化，缺乏靈活性，不會創(chuàng)新.我們應(yīng)該要讓學(xué)生深刻領(lǐng)會，數(shù)學(xué)知識不是單一的，數(shù)學(xué)思想方法有如橋梁般，把各個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識有機地連接起來，環(huán)環(huán)相扣，形成明顯結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識網(wǎng)絡(luò)，并為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題提供了方法和策略.

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，主要蘊含數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、函數(shù)與方程的思想、整體的思想等.還包含配方法、因式分解法、待定系數(shù)法、換元法、構(gòu)造法、等積法、反證法和判別式法八大數(shù)學(xué)方法.在幾乎所有的數(shù)學(xué)解題過程中，總是會涉及數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法以看不見的隱身形式存在著，如果老師不加以強調(diào)，學(xué)生就難以領(lǐng)會，更不要說加以運用了，因此，在數(shù)學(xué)解題的析題過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法以及如何運用數(shù)學(xué)思想方法幫助解題，是教師解題教學(xué)中的重要環(huán)節(jié).

2 思維導(dǎo)圖析題簡述

析題，是指在精心做題的基礎(chǔ)上，立足思維發(fā)展的角度，闡述在題目解答時所采用的思維方式、解題策略及依據(jù)，進而總結(jié)出經(jīng)驗性解題規(guī)律并進行拓展引申.析題的角度有：問題求解主要涉及的基礎(chǔ)知識、問題求解主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法、解決該問題的一般性思路或方法、解決該問題的可能思維障礙點與可能出錯點等.析題對象的價值不在題目的難易程度，而在于如何把題目所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法更有效地呈現(xiàn)出來，從而形成經(jīng)驗性的解題策略.思維導(dǎo)圖是一種可視化的思維工具，把思維導(dǎo)圖應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題的析題過程當中，可以把思考者思考問題的方式、分析條件的過程、尋求方法的步驟、總結(jié)技巧的結(jié)果等思維活動以圖示的方式展示出來，突出強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法在知識鏈接方面上的作用，為學(xué)生提供問題分析的思路框架，學(xué)生獨立解題時，就能找到思維的立足點.運用思維導(dǎo)圖對析題過程進行梳理與總結(jié)，還可為學(xué)生反思解題過程提供適用工具.

3 思維導(dǎo)圖析題案例描述

題目：關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+1=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，求ab²/（a-2）²+b²-4的值.（題目來源：2022年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷第19題）

題目點評：此題需要綜合運用一元二次方程和分式的知識來解決問題，考查學(xué)生綜合運用多個知識點解決問題的能力，滲透轉(zhuǎn)化和方程的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中等難度的試題，具有一定的區(qū)分度.

問題分析：數(shù)學(xué)解題的過程實質(zhì)上是一個變更問題的過程，即逐步地變換問題的表達方式，使問題從它的最初狀態(tài)變換到你想要的狀態(tài).這一個問題變更的過程，就是思維的過程.學(xué)生掌握的關(guān)于題目的相關(guān)信息量的多少，決定了學(xué)生面對題目時，能否產(chǎn)生高效的思維活動，實現(xiàn)問題的變更.大多學(xué)生面對此題時，感覺無從下手，主要是因為題目的未知量比較多，對轉(zhuǎn)化的思想缺乏深刻的理解，不會靈活運用，哪怕是已經(jīng)利用一元二次方程根的判別式列出方程，卻因為無法求出a、b的值而選擇放棄，忽略在分式化簡的基礎(chǔ)上可進行等量代換以轉(zhuǎn)化消元的解題方法.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，甚至還沒有理清根的判別式與實數(shù)根的個數(shù)之間的關(guān)系，也不會對分式進行簡單的化簡，思維活動無法真正地產(chǎn)生.

析題方法：有效的析題首先要建立在學(xué)生對題目的精準解讀上.此題題干短小精練，條件簡單明了：關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+1=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根.析題時，要注意引導(dǎo)學(xué)生把條件與一元二次方程根的判別式b²-4ac建立關(guān)聯(lián)，通過思維的發(fā)散，鞏固一元二次方程根的判別式中三種不同取值范圍與實數(shù)根不同個數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，再根據(jù)問題實際建立方程.題目的結(jié)論是要求ab²/（a-2）²+b²-4的值，要強調(diào)求值之前對分式進行化簡是一般的思路.對完全平方公式（a-2）²展開后，不能再進一步進行合并、約分，則要考慮轉(zhuǎn)化消元.觀察從條件出發(fā)推導(dǎo)出的結(jié)論以及從結(jié)論出發(fā)得到的結(jié)果，利用轉(zhuǎn)化思想達到消元的目的.

析題小結(jié)：一道數(shù)學(xué)習(xí)題的價值不在于其答案，而在于如何借助問題的條件與結(jié)論有效建構(gòu)多個知識點之間的聯(lián)系，使題目隱含的思想方法顯性化.在思維的發(fā)散過程中，鞏固概念、深化概念，加大學(xué)生的知識儲備，讓學(xué)生在老師的幫助下掌握到思維的立足點與方向，提高思維的深度與廣度，從而提升思維能力.借助思維導(dǎo)圖進行析題過程的可視化，可幫助學(xué)生補拾缺失的知識，明確思維的方向，強調(diào)轉(zhuǎn)化的思想方法在解題中的作用，實現(xiàn)思維的發(fā)散與聚合.在中考代數(shù)部分的復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)們會遇到很多類似運用轉(zhuǎn)化的思想進行解答的問題，析題后，宜進行相關(guān)的題組訓(xùn)練，舉一反三回頭看，鞏固學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的靈活運用，形成經(jīng)驗性解題策略.

4 思維導(dǎo)圖析題案例分析

利用思維導(dǎo)圖進行析題，是數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)的一種策略性方法.此方法的運用，可以進一步提升學(xué)生的解題能力與思維能力.

4.1 思維導(dǎo)圖析題，有效建構(gòu)多個知識點之間的聯(lián)系接點

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系.可點狀的知識編排容易導(dǎo)致單向的信息加工，從而導(dǎo)致知識理解的淺表化、思維的機械化.一元二次方程根的判別式與分式的化簡看似毫無關(guān)系，學(xué)生很難把原本點狀、零散的知識聯(lián)系起來，得到問題解決的方案.本題的析題過程，以箭頭為連接工具，體現(xiàn)思維的導(dǎo)向，顯化思維的過程，以轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想為橋梁，把不同的語言載體建立聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建一個清晰的、結(jié)構(gòu)化的知識體系.這將會引導(dǎo)學(xué)生對知識進行更深層次、更全面的加工，大大提高對知識本質(zhì)屬性的深刻認識，學(xué)會將知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維，脫離重復(fù)的習(xí)題操練，減負增效.

4.2 思維導(dǎo)圖析題，進一步鞏固新課標對相關(guān)知識點的要求

對于一元二次方程根的判別式以及分式的化簡求值，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》皆有明確要求.一元二次方程根的判別式的學(xué)習(xí)蘊含分類討論的思想，學(xué)生在運用時需要準確地回憶判別式的三種取值范圍與根的個數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，建立不等式或方程，把問題進行第一步的變更，進一步考查學(xué)生一元一次方程或一元一次不等式的求解方法.對于分式的化簡而言，它的學(xué)習(xí)過程主要體現(xiàn)了類比的學(xué)習(xí)方法，其加、減、乘、除運算皆建立在分數(shù)的運算方法之上，并與因式分解、整式的化簡都有緊密的聯(lián)系.因此，在歷年的廣東省中考數(shù)學(xué)試題中，一元二次方程根的判別式與分式的化簡皆是常見的考點.學(xué)生對概念、知識的理解，是構(gòu)成思維的基本材料，這些基本材料是輔助學(xué)生開展思維的必要條件.通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，他們能夠鞏固知識，并培養(yǎng)他們的解題能力.當學(xué)生借助思維導(dǎo)圖這一工具把頭腦中關(guān)于這兩個知識點的聯(lián)想進行記錄時，學(xué)生就經(jīng)歷了一次高效的復(fù)習(xí)過程，對概念、知識會產(chǎn)生更進一步的理解，對知識點的考查要求與方式也有了進一步的認識，當學(xué)生再遇上相關(guān)的考題時，思維活動將會更快速與有效.

4.3 思維導(dǎo)圖析題，有利于增強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的運用意識

在不同版本的數(shù)學(xué)教科書中，數(shù)學(xué)思想方法都沒有辦法進行系統(tǒng)的講述.數(shù)學(xué)思想方法不能獨立存在，它總是與具體的數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)問題共生共存，以隱形的方式存在著.學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的接受、領(lǐng)悟、消化與運用，主要依靠教師在數(shù)學(xué)活動、問題解決過程中的提示、點撥與歸納.數(shù)學(xué)思想方法在日常數(shù)學(xué)課堂中的滲透，也體現(xiàn)了新課標關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求.其中，消元法從屬于轉(zhuǎn)化思想，是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要方式和策略.在初中的代數(shù)和幾何的問題解決中，經(jīng)常會遇到幾個未知因素的同時出現(xiàn)，通過轉(zhuǎn)化，多元變一元，是解決問題的根本方法.本題中，題干并沒有提供任何具體的數(shù)值，要求分式的解，就需要先利用一元二次方程根的判別式列出方程，建立a、b

兩個元素之間的關(guān)系，再通過等量代換—消元—轉(zhuǎn)化的過程解決問題.思維導(dǎo)圖中強調(diào)轉(zhuǎn)化的過程，重在讓學(xué)生明白，轉(zhuǎn)化的思想是問題解決的關(guān)鍵，而轉(zhuǎn)化的方式則是消元，這對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有明顯的促進作用，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法的意識，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5 小結(jié)與展望

具體數(shù)學(xué)題目所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，為問題的解決提供了思維的著力點，是解題方針與策略選擇的決定因素.思維導(dǎo)圖析題，作為解題反思的策略性工具，為數(shù)學(xué)思想方法的傳播、歸納、運用提供了渠道.經(jīng)常性地運用思維導(dǎo)圖進行析題，能幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)思想方法的認識、把握和運用的能力，掌握開啟數(shù)學(xué)世界的“金鑰匙”，從而實現(xiàn)思維能力的提升.作為一線的數(shù)學(xué)教師，面對整體數(shù)學(xué)水平較低的學(xué)生，應(yīng)以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，思維導(dǎo)圖為工具，引領(lǐng)學(xué)生開展經(jīng)常性、多樣性的析題研究，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，形成經(jīng)驗性的解題策略，更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué).

參考文獻

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