張曉華　盧冠明　王娟

摘 要：為了達到數學課服務專業(yè)課的目的，本文以物流管理專業(yè)為例，設計齊次線性方程組解的結構的教學方案，將思政元素有機地浸潤于課程內容中，通過典型的專業(yè)案例分析，讓學生掌握齊次線性方程組解法的同時，培養(yǎng)了學生解決專業(yè)問題的數學思想，達到學以致用的目的.

關鍵詞：齊次線性方程組；基礎解系；物流共享

2020年5月教育部發(fā)布了《高等學校課程思政建設指導綱要》（以下簡稱《綱要》），其中指出“要全面推進高校課程思政建設，發(fā)揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養(yǎng)質量.”《綱要》對推進高校課程思政建設進行了整體設計，其中高等職業(yè)學校根據高職專業(yè)分類和課程設置情況，分類推進.《線性代數》是高職院校經濟管理專業(yè)的一門重要基礎課程，是學習后繼課程的工具.在思政教改項目中，我們深挖教學內容和教學案例，將思政元素有機地浸潤到課程內容中.為了實現(xiàn)基礎課服務專業(yè)課的目的，我們與專業(yè)課教師研討，增加專業(yè)案例，讓學生達到學以致用的目的.

以物流管理專業(yè)為例，在物流公司的運營和管理等過程中，經常會遇到需求預測、路徑規(guī)劃、庫存管理、約束優(yōu)化、風險管理以及數據分析等問題.《線性代數》在解決這些問題的過程中發(fā)揮著重要的作用.如何在《線性代數》的授課環(huán)節(jié)中體現(xiàn)物流管理的專業(yè)性，本文以齊次線性方程組的解為例展開介紹.

1 總體目標

1.1 知識目標

通過課程學習，學生能夠掌握齊次線性方程組基礎解系的求法，以及王卿文教授提出的基礎解系的新求法，了解物流共享的概念.

1.2 能力目標

通過學習研討，學生能夠利用齊次線性方程組的理論建立物流共享模式下，各物流公司定價的模型，解決專業(yè)問題；學會利用數學軟件求解方程組的解.

1.3 思政目標

通過介紹王卿文教授發(fā)現(xiàn)的基礎解系的新解法，增強學生的民族自信心；通過介紹物流行業(yè)高質量發(fā)展，增強學生的職業(yè)歸屬感；意識到物流行業(yè)高速發(fā)展離不開公路、鐵路等基礎建設的支撐，增強學生實現(xiàn)中華民族偉大復興的使命感.

2 教學過程

2.1 課前

職教云平臺發(fā)布作業(yè)：嘗試求解下列齊次線性方程組

求出上述齊次線性方程組后，請仔細觀察該齊次線性方程組的解，回答下列問題：

Q1：該齊次線性方程組的解是否可以寫成向量的形式，如果可以的話，請將其寫成向量形式；

Q2：向量X₁＝（－2，1，1，0）是否是該齊次線性方程組的解？

Q3：向量X₂＝（2，－1，0，1）是否是該齊次線性方程組的解？

Q4：向量X₁＝（－2，1，1，0）和向量X₂＝（2，－1，0，1）是什么關系？

Q5：向量3X₁，5X₂是否是該齊次線性方程組的解，向量X₁＋2X₂是否是該齊次線性方程組的解？

Q6：嘗試給出未知量個數、系數矩陣的秩、自由變量個數之間的關系.

2.2 課中

評價作業(yè)、展示優(yōu)秀：教師評價小組作業(yè)，優(yōu)秀作業(yè)小組組長上臺講解.

歸納總結、新知學習：由這六個問題的答案，教師歸納總結并給出齊次線性方程組的性質，由齊次線性方程組的性質給出基礎解系的定義，并給出齊次線性方程組的解法.

案例分析、學以致用：雙十一各大購物平臺打出一年中最優(yōu)惠的價格，激發(fā)了我們的購買欲，如今的雙十一已經成為了全民狂歡日.從2018年雙十一，單日物流訂單量首次突破了10億.一天10億包裹單，這是人類歷史上從未有過的貨物大遷徙，也是全球物流業(yè)從未經歷過的包裹奇跡.我校學生連續(xù)多年在實訓室見證了這一奇跡.從一天26萬單爆倉到一天10億單，作為物流專業(yè)的我們，有沒有想過，是什么讓中國物流“春運”洪峰平靜如水地度過的呢？答案是國家智能物流骨干網的支撐作用.骨干網覆蓋全國，采用智能化、自動化、信息化的技術手段，為物流企業(yè)提供便利、高效、安全的物流服務.同時，骨干網具有開放共享的發(fā)展方式，符合國家高質量發(fā)展的精神.

現(xiàn)在假設有三家物流公司L₁，L₂，L₃.三家物流公司同意彼此運輸工具實行資源共享，由于運輸工具與成本不同，他們達成如下協(xié)議：

（1）每個公司總共工作10天（包括給自己公司運輸在內）；

（2）根據測算，每個公司的日收入在30至40萬元；

（3）每個公司的日收入使得每個公司的總收入與總支出相等.

請計算每個公司應得的日收入.

這是三家公司運輸工具工作情況，表中的列，表示其中一家物流公司的交通工具在三家物流公司的工作情況.表中的行，表示三家物流公司的運輸工具在某家物流公司的工作情況.

小組討論，建立模型：等量關系為每個公司的總支出與總收入相等，建模難度適中.通過小組討論，老師啟發(fā)，都能成功建立模型.請率先完成建模的小組代表上臺講解.模型如下，

設L₁，L₂，L₃三家公司的日收入分別為x₁，x₂，x₃，公司支出為工資，由總收入與總支出相等，建立方程組得

求解結果為

由于每個公司的日收入在30至40萬元，可以選擇C＝36，這樣L₁，L₂，L₃三家物流公司的日收入分別為31萬元、32萬元、36萬元.

為了讓學生對方程組的解有直觀的認識，在這里鼓勵學生使用GeoGebra模擬該方程組的解，如下，

該齊次線性方程組未知量個數為3，系數矩陣的秩為2，自由變量個數為1，系數矩陣的秩小于未知量個數，由線性方程組解的判定可知，該方程組有無窮多解.從圖中可以看出該方程組的解為空間中的一條直線.

課程思政、樹立自信：介紹求解齊次線性方程組基礎解系的一種新方法，被稱為求解齊次線性方程組基礎解系最簡單的方法.該方法是上海大學王卿文教授于上世紀90年代發(fā)現(xiàn)的，并將該方法編入自己編寫的教材《線性代數核心思想及應用》.該方法與傳統(tǒng)方法略有不同，具體步驟如下：

第一步，將方程系數按列排列，后面加同型的單位矩陣，

第二步，對矩陣進行行變換，將其化成行階梯型，

第三步，觀察后三列，即之前為單位陣的部分.后n－r行就是齊次線性方程組的一個基礎解系.

與傳統(tǒng)的解法相比，該方法不需要化成行最簡型，簡化了步驟.值得我們驕傲的是，這種方法是中國人發(fā)現(xiàn)的.我們所學的知識本就是發(fā)展的，經歷了幾百年沉淀的數學內容仍然可以改進！日常的學習中，我們要善于思考，勤于探索，勇于創(chuàng)新.

練習鞏固、知識拓展：如果將上述例題中物流公司增加至九家，分別是L_i（i＝1，…，9）.這九家物流公司同意彼此實行資源共享，由于運輸工具與成本不同，他們達成如下協(xié)議：

（1）每個公司總共工作25天（包括給自己公司運輸在內）；

（2）根據測算，每個公司的日收入在20至40萬元；

（3）每個公司的日收入使得每個公司的總收入與總支出相等.

請計算每個公司應得的日收入.

下表為九家公司運輸工具工作情況：

小組討論、建立模型：該模型與之前的模型類似，完成度較好，但是由于物流公司較多，手工求解不現(xiàn)實，啟發(fā)學生用數學軟件Matlab求解.請完成度較好的小組代表展示小組討論結果，模型如下，

設L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分別為x_i（i＝1，…，9），各個公司支出為工資，由總收入與總支出相等，建立方程組得

在Matlab命令窗口中輸入系數矩陣，利用null命令求解，得出結果

由于每個公司的日收入在20至40萬元，可以選擇C＝21，這樣L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分別約為29.4萬元、31.7萬元、36.2萬元、34.3萬元、32.7萬元、23.6萬元、38.2萬元、28.9萬元和21萬元.

思政元素、感恩前行：中國物流行業(yè)的高質量發(fā)展離不開公路、鐵路、航空建設的支撐.不屈不撓的中國人逢山開路、遇水架橋，為中國物流業(yè)的高質量發(fā)展打下了堅實的基礎！

內容總結：

（1）齊次線性方程組基礎解系的求法.

（2）齊次線性方程組基礎解系的最簡單求法.

（3）了解物流共享模式下，各物流公司定價問題.

布置任務：

（1）觀看課程資源庫，及時復習本節(jié)課內容.

（2）完成課后指定作業(yè).

（3）預習非齊次線性方程組解的結構.

2.3 課后

（1）推送作業(yè).

（2）線上解答學生問題.

（3）反思改進.

本節(jié)課課前布置任務，有效地引導學生小組討論，互幫互助，共同探討齊次線性方程組解的結構.其中發(fā)現(xiàn)個別學生積極性較差，依賴性較強，后面分組時需要考慮個體差異及同學間關系，充分調動學生討論的積極性.課中點評小組作業(yè)，優(yōu)秀代表講解，激發(fā)學生的榮譽感及學習興趣.學生對于物流共享案例很感興趣，通過小組討論建模順利.數形結合，加深學生對方程組解的理解.王卿文教授發(fā)現(xiàn)齊次線性方程組的簡單解法激發(fā)了學生的民族自豪感及創(chuàng)新意識.對于未知量多的方程組求解，啟發(fā)學生用數學軟件求解.個別學生數學軟件使用不熟練，需要課后練習.課后主要線上答疑，解決學生在做題過程中發(fā)現(xiàn)問題.

3 結語

本次課結合專業(yè)案例，以小組協(xié)作的形式探究式地學習了齊次線性方程組解的結構.浸潤式地融入了思政元素，包括王卿文教授發(fā)現(xiàn)基礎解系的最簡單解法以及中國基建的發(fā)展為中國物流的高質量發(fā)展提供了強有力的支撐.這些思政案例極大地激勵了學生的民族自豪感及職業(yè)歸屬感，本次課有效地達到了基礎課服務專業(yè)課的目的.

參考文獻

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［2］王卿文，張琴，楊建生.遵循“兩性一度”原則，設計線性代數課程教學——以齊次線性方程組為例［J］.高等數學研究，2022，25（4）：89--92．

［3］周儒省，柴華金.融合案例的線性代數課程教學實踐［J］.高師理科學刊，2023，43（9）：70--75．

［4］加春燕.高職數學“五動”信息化教學設計與實施——以“數據擬合”模塊為例［J］.北京工業(yè)職業(yè)技術學報，2022，21（2）：103--107．