蘇國東

[摘 要] 文章闡述雙中點模型、雙角平分線模型的基本型（和型、差型）和拓展型（有間隙型、有重疊型）的來源、構(gòu)造、論證、推廣及應(yīng)用，對學(xué)生推理能力的提升，數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展有重要促進作用.

[關(guān)鍵詞]幾何圖形初步；雙中點；雙角平分線；模型；應(yīng)用

人教版數(shù)學(xué)七年級上冊教材中的第四章“幾何圖形初步”是初中“圖形與幾何”領(lǐng)域的起始章節(jié)，本章中有關(guān)線和角的概念、性質(zhì)、表示、畫法、計算等是重要的幾何基礎(chǔ)知識內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)圖形與幾何以及其他數(shù)學(xué)知識的必備基礎(chǔ).其中線段的中點、角的平分線是核心內(nèi)容，雙中點模型、雙角平分線模型是重難點，對其專題學(xué)習(xí)，深化理解，能幫助學(xué)生提高畫圖識圖、邏輯推理能力，挖掘分類討論、整體思想等重要方法，發(fā)展幾何直觀、模型觀念等核心素養(yǎng).

雙中點模型及其應(yīng)用

當(dāng)把兩個單中點模型放置在同一直線上，且有公共端點時，可形成兩線段和或差的位置關(guān)系，得到基本的雙中點模型.證明方法一般是設(shè)出參數(shù)，利用整體思想進行關(guān)系轉(zhuǎn)化.

1.雙中點和型

所以，基本的雙中點模型存在固定結(jié)論：兩中點之間的距離（新線段）等于原始線段非公共點的兩端點之間距離（不動線段）的一半.

對于選擇題和填空題，可以套用以下步驟快速解決：（1）識別模型——存在兩條有公共端點的原始線段，且各有一個中點；（2）確定要素——不動線段和新線段；（3）應(yīng)用結(jié)論——新線段長等于不動線段長的一半.

題1 已知點A，B，C在同一直線上，AC=6，BC=3，M，N分別是AC，BC的中點，則MN的長為 .

所以，雙中點有間隙型存在固定結(jié)論：兩中點之間的距離（新線段）等于原始線段非間隙端點的兩端點之間距離（不動線段）與間隙距離之和的一半；雙中點有重疊型存在固定結(jié)論：兩中點之間的距離等于原始線段非重疊端點的兩端點之間距離與重疊距離之差的一半.

對于拓展型的雙中點問題的解決，關(guān)鍵是識別圖形屬于有間隙型還是有重疊型，找到新線段、不動線段和間隙線段（或重疊線段）.

題2 如圖7，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，BC=a，EF=b，請用含a，b的式子表示AD.

（證明思路可類比雙中點模型，此略）

所以，雙角平分線有間隙型存在固定結(jié)論：兩角平分線之間的夾角（新角）等于原始角非間隙邊的兩邊之間夾角（不動角）與間隙角之和的一半；雙角平分線有重疊型存在固定結(jié)論：兩角平分線之間的夾角等于原始角非重疊邊的兩邊之間夾角與重疊角之差的一半.

對于拓展型的雙角平分線問題的解決，關(guān)鍵是識別圖形屬于間隙型還是重疊型，找到新角、不動角和間隙角（或重疊角）.

題4 如圖14，已知∠AOD= 150°，∠BOC=20°，射線OB在∠AOC內(nèi)，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，則∠MON的度數(shù)是 .