陸智紅

[摘 要] 學(xué)生的成長遵循著一定的規(guī)律，教師若遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律采取相應(yīng)的教學(xué)手段，則可取得事半功倍的教學(xué)效果.文章從認(rèn)知發(fā)展的不同階段的理論出發(fā)，分別以兩位教師執(zhí)教“等腰三角形性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計為例，從“以發(fā)展‘形式運算為導(dǎo)向”“教師的有效引導(dǎo)必不可少”“注重學(xué)材的再建構(gòu)”三個方面談一些思考.

[關(guān)鍵詞]認(rèn)知發(fā)展；教學(xué)；引導(dǎo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，數(shù)學(xué)教學(xué)需建立在學(xué)生實際認(rèn)知水平與經(jīng)驗基礎(chǔ)上實施.皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論作為教學(xué)活動、知識建構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的理論基礎(chǔ)，深刻描述了人類認(rèn)知發(fā)生與發(fā)展的情況，揭示了人類認(rèn)識這個世界的心理機制，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的心理學(xué)依據(jù).事實證明，發(fā)展才是永恒的真理.

認(rèn)知發(fā)展的階段

皮亞杰是認(rèn)知發(fā)展理論的代表人物，他認(rèn)為兒童身心發(fā)展需經(jīng)歷如下四個階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段與形式運算階段[1].

其中，具體運算階段是指7～11歲的兒童，以小學(xué)生為主.該階段已經(jīng)具備了前兩個階段的一切品質(zhì)，形成了表象邏輯思維，但這種思維需依托于具體事物.處于此階段的學(xué)生尚未形成自主抽象概念的能力，缺乏抽象邏輯思維.該階段兒童思維成熟最大的表現(xiàn)為“去集中化”.

形式運算階段是指11～16歲的兒童，中學(xué)生恰巧處于這個階段，此時，學(xué)生的思維與成人的思維已經(jīng)非常接近，可以應(yīng)用假設(shè)或命題的形式對數(shù)學(xué)事物進(jìn)行思維.教師對這個階段學(xué)生進(jìn)行授課時，需以發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維為目標(biāo).

例析教學(xué)設(shè)計

究竟該如何將認(rèn)知發(fā)展理論融入初中數(shù)學(xué)課堂中呢？筆者根據(jù)兩位教師對“等腰三角形性質(zhì)”的教學(xué)進(jìn)行類比分析，希望給讀者帶來啟發(fā).

1.第一位教師的設(shè)計

師：如圖1，對折一張長方形的紙張，在折疊的那一邊沿著虛線剪下，看看得到一個怎樣的圖形.

學(xué)生操作，并提出這是一個等腰三角形.

追問：確定這是一個等腰三角形的理由是什么？

學(xué)生表示這個三角形的腰是折疊后沿著同一條虛線剪下而得來的，因此它們的長度相等，從圖上來看，即AB=AC.教師對學(xué)生的觀察力表示肯定，并提出進(jìn)一步從三角形性質(zhì)的角度來探究這個剪下來的圖形.學(xué)生經(jīng)深入思考與分析，發(fā)現(xiàn)不僅僅存在AB=AC，還存在BD=CD.

師：非常好，根據(jù)BD=CD這個條件，有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：BD=CD，代表著D為BC的中點，因此線段AD為△ABC的中線.

師：很好！還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：除了邊，還存在角相等的情況，分別是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.

師：還有補充嗎？

生3：有，根據(jù)∠ADB+∠ADC= 180°可知∠ADB=∠ADC=90°.

將三角形的邊角關(guān)系基本找全后，學(xué)生共同分析等腰三角形的性質(zhì)，過程如下：根據(jù)∠B=∠C，可知等腰三角形ABC的兩個底角相等；根據(jù)∠ADB=∠ADC=90°，可知AD為底邊BC上的高，同時∠BAD=∠CAD，因此線段AD又是△ABC頂角的平分線.由此總結(jié)出三線（底邊上的高、中線與頂角的平分線）均為同一條線段AD.

獲得的性質(zhì)有：①等腰三角形的兩個底角相等；②等腰三角形底邊的中線、高與頂角的平分線重合（三線合一）.

師：以上是大家通過觀察、分析與探究總結(jié)而來的結(jié)論，現(xiàn)在請大家嘗試用已知的定理來證明以上總結(jié)的兩個性質(zhì).

分析 此教學(xué)設(shè)計，將等腰三角形的中線通過折痕引出來.學(xué)生通過自主操作、觀察與分析，在合作交流中獲得了等腰三角形的性質(zhì).在后續(xù)的證明中，學(xué)生通過這條折痕獲得了“中線”這條關(guān)鍵性的輔助線，成功地解決了課堂教學(xué)的重點與難點.

從認(rèn)知發(fā)展理論來看，處于該年齡階段的學(xué)生的思維水平基本達(dá)到形式運算階段，而處于形式運算階段的思維可以脫離具體事物形象性的支撐，通過抽象邏輯就能將相關(guān)知識從內(nèi)容上實現(xiàn)分離，完成由具體向抽象的轉(zhuǎn)變.

這位教師以實踐操作為課堂導(dǎo)入方法，從認(rèn)知心理學(xué)的角度出發(fā)，就是以具體運算階段為起點實施的教學(xué).雖然從內(nèi)容與形式上并沒有什么問題，而且能幫助學(xué)生從直觀操作中發(fā)現(xiàn)并抽象出等腰三角形的性質(zhì)，但從學(xué)生認(rèn)知水平與思維發(fā)展的角度來看，此過程使得學(xué)生的認(rèn)知依然停留在具體運算階段，沒有達(dá)到初中生應(yīng)有的形式運算水平.

2.第二位教師的設(shè)計

首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧等腰三角形的定義，并要求學(xué)生在草稿紙上自主畫一個等腰三角形，標(biāo)注出各條邊長，同時讓一位學(xué)生在黑板上演示作圖過程.

學(xué)生在黑板上先畫出三角形的一條邊，而后又畫出與第一條邊等長的第二條邊（與第一條邊共點），連接兩條邊的端點獲得一個等腰三角形.教師要求這位學(xué)生再在黑板上畫一個底邊為50厘米的等腰三角形，該生經(jīng)過多次嘗試，卻以失敗告終.其他學(xué)生在草稿紙上，先畫出一條底邊，再畫兩條腰，也沒有能夠成功.

師：通過以上活動來看，在已知底邊的情況下，要直接畫出等腰三角形的腰確實存在一定的障礙，因為徒手畫圖出現(xiàn)誤差是難免的.遇到這種情況該怎么辦呢？

生4：之前遇到過無法依靠測量來完成的任務(wù)，可以通過等量關(guān)系的探尋來進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，這里應(yīng)該是找出兩條相等的邊.

師：很好，之前我們遇到過什么內(nèi)容也需要通過等量關(guān)系的探尋來完成畫圖任務(wù)的？

生5：在學(xué)習(xí)角平分線時，是通過圓來獲得相等的角的.

在生5的提醒下，教師要求所有學(xué)生在自己的草稿紙上先畫出一個角，并通過畫圓的方式獲得相應(yīng)的角平分線，同時思考：借鑒角平分線的畫法，怎樣能又快又準(zhǔn)地畫出一個等腰三角形呢？

學(xué)生自主探索，教師投影其中一位學(xué)生的畫圖過程如下：如圖2，第一步作出三角形的底邊AB= 5 cm，鑒于所作圖形為等腰三角形，因此兩條腰的長度要大于AB的一半（該生所取的AC=BC=4 cm）；第二步，借助圓規(guī)進(jìn)行作圖，先以A為圓心，4 cm為半徑畫圓，再以B為圓心，4 cm為半徑畫圓，所作的兩個圓相交成兩個交點；第三步，取一個交點C，分別連接AC，BC，所得的△ABC就是一個等腰三角形.

師：非常好！當(dāng)初咱們在探索角平分線的畫法時，沒有應(yīng)用量角器與直尺來作圖，而是通過等量關(guān)系獲得相應(yīng)的圖形.借鑒此作圖經(jīng)驗，這位同學(xué)同樣應(yīng)用圓探尋出等腰三角形的兩條相等的邊.圖2中的兩個圓的半徑都是4 cm，顯而易見，AC=BC.請這位同學(xué)來說說為什么這樣作圖.

生6：我是從畫角平分線的方法中受到的啟發(fā)，畫兩個等圓，取它們的交點可快速得到角平分線.與之類似，仿照這種方法可以畫出等腰三角形.

師：解釋得非常清楚，觀察所畫出來的圖形，從中能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的什么性質(zhì)嗎？

面對這個問題，學(xué)生沉默不語.教師適時進(jìn)行點撥，提出可以考慮作輔助線來探尋.

在教師的引導(dǎo)下，有學(xué)生立即提出如下思路：如圖3，設(shè)所作兩圓的另一個交點為E，分別連接EA，EB，EC，其中CE與AB交于點D.在△CEA與△CEB中，有AC=BC，BE=AE，CE=CE，根據(jù)三角形全等的判定定理中的“SSS”，可知△CEA≌△CEB，因此∠ACD=∠BCD.在△CDA與△CDB中，AC=BC，且∠ACD=∠BCD，根據(jù)三角形全等的判定定理中的“SAS”，可確定△CDA≌△CDB.（后面的性質(zhì)探尋過程與第一位教師一樣，此略）

分析 從這位教師的教學(xué)設(shè)計來看，他對學(xué)生的實際認(rèn)知水平比較了解，整個教學(xué)過程都是緊扣形式運算階段的思維特點進(jìn)行的，沒有通過具體實物操作來引發(fā)學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)，而是引導(dǎo)學(xué)生借助自身原有的認(rèn)知經(jīng)驗進(jìn)行知識的推理演算.因此，這是能夠促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的教學(xué)方法，值得推廣.

幾點思考

1.以發(fā)展形式運算為導(dǎo)向

教師的職責(zé)除了授課，更重要的是做好課堂的精心預(yù)設(shè).這就要求教師充分了解學(xué)生的實際認(rèn)知水平與經(jīng)驗，設(shè)計貼合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題與教學(xué)方法等，以促進(jìn)該階段學(xué)生的形式運算能力的發(fā)展.

對于等腰三角形性質(zhì)的探究，第一位教師帶領(lǐng)學(xué)生從直觀操作著手，讓學(xué)生在直觀感知中獲得相應(yīng)的知識.雖說取得的教學(xué)成效是一樣的，但從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的角度來看，這屬于具體運算層面的設(shè)計，對于學(xué)生形式運算的發(fā)展幫助不大.

第二位教師以問題情境的方式引導(dǎo)學(xué)生從等腰三角形的畫法著手，以啟發(fā)學(xué)生思維的發(fā)散性.當(dāng)學(xué)生在探索過程中思維出現(xiàn)卡殼時，教師鼓勵學(xué)生從畫角平分線的探索經(jīng)驗中探尋出路.隨著思維的逐漸深入，學(xué)生在脫離直尺等具體事物支持的情況下，利用自己的邏輯關(guān)系發(fā)現(xiàn)了解決問題的具體方法，充分促進(jìn)了學(xué)生形式運算的發(fā)展.

2.教師的有效引導(dǎo)必不可少

雖說學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，但教師作為課堂的組織者與引導(dǎo)者，有著無可替代的重要作用.課堂中，教師的有效引導(dǎo)不僅能起到四兩撥千斤的作用，還能讓學(xué)生的思維豁然開朗，為學(xué)生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).實踐發(fā)現(xiàn)，以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展為前提的教學(xué)引導(dǎo)，可從以下幾點實施：

第一點，導(dǎo)之有趣，讓學(xué)生想學(xué).興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，也是激發(fā)學(xué)習(xí)動力的源泉.以上兩位教師的教學(xué)導(dǎo)入都比較成功.第一位教師以操作實踐作為導(dǎo)入的起點，讓學(xué)生在動手、動腦中對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生探究興趣；第二位教師從充滿“數(shù)學(xué)味”的問題情境出發(fā)，成功地激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，讓課堂充滿活力.

第二點，導(dǎo)之有時，讓學(xué)生能學(xué).教師的引導(dǎo)并非越多越好，而應(yīng)在適當(dāng)?shù)臅r機加以引導(dǎo)，如在知識的生長點處、思維的卡殼點處等.如第二位教師的授課，學(xué)生在“作輔助線”的環(huán)節(jié)出現(xiàn)了障礙，教師則在這個關(guān)節(jié)口給予點撥，使得學(xué)生豁然開朗.

第三點，導(dǎo)之有法，讓學(xué)生會學(xué).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了知識與技能的學(xué)習(xí)外，更重要的是讓學(xué)生獲得良好的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”），以及會用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言來觀察、思考與表達(dá)現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）.這就要求教師注重學(xué)法的指導(dǎo)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中主動提煉數(shù)學(xué)思想方法，獲得“四能”，形成“三會”.

3.注重學(xué)材的再建構(gòu)

教材是教學(xué)的依據(jù)，但完全遵循教材的教學(xué)設(shè)計并不一定適用于每一個班級的學(xué)生.受社會、家庭與教育背景的影響，同一學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平也有著較大差別.這就需要教師從教材出發(fā)，但又不拘泥于教材，將教材與學(xué)生的實際認(rèn)知水平有機地融合在一起，形成符合實際的個性化教學(xué)模式[2].

第二位教師的授課，雖然說沒有完全遵循教材安排，但整個教學(xué)過程都以發(fā)展學(xué)生的思維為教學(xué)目標(biāo)，充分尊重了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，每一個環(huán)節(jié)的教學(xué)活動都落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，有效促進(jìn)了學(xué)生邏輯推理能力的形成與發(fā)展.

學(xué)材呈現(xiàn)的知識點都是固定不變的內(nèi)容，但學(xué)生的思維卻是靈活多變，具有生命力的.因此，教師應(yīng)在充分了解學(xué)生與教材的基礎(chǔ)上實施學(xué)材再建構(gòu)，可促進(jìn)學(xué)生形式運算階段思維的有效發(fā)展.事實證明，依據(jù)教材并超越教材的教學(xué)設(shè)計，是學(xué)生擴充知識，突破自身原有認(rèn)知水平的基礎(chǔ).

總之，認(rèn)知發(fā)展理論對初中數(shù)學(xué)教學(xué)確實有指導(dǎo)意義，但在學(xué)生情感與數(shù)學(xué)文化等方面卻涉及較少.因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計與教學(xué)活動的過程中，應(yīng)全方位考慮學(xué)生的實際需求，辯證地看待認(rèn)知發(fā)展理論對數(shù)學(xué)教學(xué)的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 戴維·謝弗.發(fā)展心理學(xué)：兒童與青少年[M].鄒泓，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2009.

[2] 加洛蒂.認(rèn)知心理學(xué)（第3版）[M]吳國宏，譯.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2005.