文/山東省東營市勝利第三中學(xué) 馬 勇

一、問題提出

幾何畫板被譽(yù)為“21 世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”，它能夠動(dòng)態(tài)展示幾何圖形的變化過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有非常廣泛的用途。但如今大部分的年輕數(shù)學(xué)教師忽略甚至不知道該軟件的存在，在教授幾何圖形或者函數(shù)圖像時(shí)，難以保證作圖的準(zhǔn)確性，與其說根據(jù)老師所繪的圖像或者教材上的圖像去推測、總結(jié)性質(zhì)，不如說是讓學(xué)生直接記憶，這樣一來，學(xué)生不能對圖像有一個(gè)整體嚴(yán)謹(jǐn)?shù)陌盐?，也使得課堂難免偏向于照本宣科，填鴨灌輸。利用幾何畫板，可以360°全方位動(dòng)態(tài)展示圖像的變化，讓學(xué)生有清晰的理解。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中提出六大核心素養(yǎng)，在核心素養(yǎng)培育目標(biāo)的指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視學(xué)生的主動(dòng)探究思考，充分發(fā)揮教育信息技術(shù)手段，有效落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成。下面，我以人教B 版（2019）必修三第七章《正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像》教學(xué)片段為例進(jìn)行說明。

二、教學(xué)片段

1.情境導(dǎo)入，提出問題

師：同學(xué)們，我們在生活中肯定有這樣的體驗(yàn)，如果把小球安在彈簧的一端，拉動(dòng)彈簧，小球會(huì)來回跳躍，但是越跳越短，最后就靜止不動(dòng)了，這說明什么？如果給出小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移兩個(gè)量，這兩個(gè)量之間有關(guān)系嗎？想一想必修一講的內(nèi)容。

生：有函數(shù)關(guān)系，因?yàn)榻o定一個(gè)時(shí)間量，又會(huì)有唯一一個(gè)位移值與其對應(yīng)。

師：非常棒，如果記t s 后小球的位移是x cm，等我們繼續(xù)學(xué)習(xí)物理就會(huì)認(rèn)識(shí)的，它們之間的關(guān)系可以寫為x=Asin（ωt+φ），其中A，ω，φ都是常數(shù)。除此之外，我們都知道日常生活中一般的家用電器使用的電流都是交流電，我們可以了解一下交流電流i 和時(shí)間t 的關(guān)系是i=Imsin（ωt+φ），其中Im，ω，φ 都是常數(shù)。

我們觀察一下，這兩個(gè)式子和我們上一節(jié)講的正弦函數(shù)很像，多了三個(gè)“配件”，如此一來會(huì)對我們熟悉的正弦函數(shù)性質(zhì)和圖像產(chǎn)生什么影響呢？我們來一起探究一下。

2.互動(dòng)探究，理解新知

在物理、工程等學(xué)科會(huì)經(jīng)常接觸類似的式子，為了方便研究，在數(shù)學(xué)上一般把形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)稱為正弦型函數(shù)，其中A，ω，φ 都是常數(shù)，且A≠0，ω≠0。接下來我們探究一下正弦型函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

師：同學(xué)們，作圖之前我們先猜想一下，這兩個(gè)常數(shù)會(huì)對誰產(chǎn)生影響，又會(huì)怎樣影響呢？

生：按照以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容，應(yīng)該是對圖像位置產(chǎn)生影響，例如sin應(yīng)該是y=sinx 的每一個(gè)x值都向左平移個(gè)單位。

老師利用幾何畫板給同學(xué)們動(dòng)態(tài)展示一下整個(gè)函數(shù)圖像的變化過程，通過實(shí)現(xiàn)對曲線的追蹤功能，可以清晰地看出y=sinx 到y(tǒng)=sin（x+）的變化過程，y=sinx 圖像在移動(dòng)的過程中掃過的陰影便是移動(dòng)路徑，函數(shù)圖像較原來相比，確實(shí)是向左移動(dòng)的個(gè)單位，同理可得y=的移動(dòng)規(guī)律。不僅僅是，在幾何畫板中不斷地改變?chǔ)罩?，可以更清晰地總結(jié)函數(shù)圖像的變化，不再局限于手繪的繁瑣和課堂時(shí)間的控制。

師：通過對函數(shù)圖像整體動(dòng)態(tài)的演示，同學(xué)們能否總結(jié)結(jié)論：φ 對正弦函數(shù)的圖像有什么影響？

生：通過多次改變?chǔ)?值，觀察圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)φ＞0 時(shí)，y=sinx 的函數(shù)圖像向左平移φ 個(gè)單位，當(dāng)φ＜0時(shí)，y=sinx 的函數(shù)圖像向右平移│φ│個(gè)單位。

設(shè)計(jì)意圖：多次改變?chǔ)?值，讓學(xué)生觀察圖像，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，進(jìn)行歸納總結(jié)，體會(huì)從特殊到一般的推理過程，在此過程中建構(gòu)起知識(shí)的框架，形成條理，有邏輯的思維過程，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，以提升學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。

師：同學(xué)們，例1 中已經(jīng)探討了x±φ 對正弦函數(shù)的圖像的影響，現(xiàn)在x 變成2x，猜想一下，會(huì)對y=sin圖像有什么影響？在這里，仍是采用“整體換元”的數(shù)學(xué)方法，例如函數(shù)，令t=2x+，對函數(shù)y=sint 列熟悉的五點(diǎn)，求出x 的值，描出（x，y）的坐標(biāo)，但是這里要求作出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖像，請同學(xué)們觀察的圖像，周期是否有變化？

用幾何畫板給同學(xué)們動(dòng)態(tài)展示一下整個(gè)函數(shù)圖像的變化過程：

由x 逐漸擴(kuò)大到2x 的過程中，縱坐標(biāo)沒有變化，而橫坐標(biāo)左右兩端的圖像都向中間“靠攏”，通過比較兩個(gè)函數(shù)圖像會(huì)發(fā)現(xiàn)，對函數(shù)y=來講，自變量x 每增加2π，的值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，而對函數(shù)來講，自變量x 只需增加π，的值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，按照周期函數(shù)的定義，y=sin的周期變成了π。

師：通過對函數(shù)圖像整體動(dòng)態(tài)的演示，同學(xué)們能否總結(jié)結(jié)論：ω 對正弦函數(shù)的圖像有什么影響？

生：通過多次改變?chǔ)?值，觀察圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)ω＞1 時(shí)，y=sinx 的函數(shù)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，當(dāng)0＜ω＜1 時(shí)，y=sinx 的函數(shù)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍。

設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板曲線移動(dòng)過程中的追蹤功能，動(dòng)態(tài)展示圖像的移動(dòng)軌跡，多次操作，不斷改變A，ω，φ 的值，觀察圖像的變化，借助幾何直觀感知函數(shù)圖像的形態(tài)變化和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而建立起數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)函數(shù)的直觀模型，以提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用幾何畫板可以讓圖形的變化過程更直觀更簡潔，建構(gòu)起學(xué)生的空間想象，不再是單純的記憶性質(zhì)，而是把圖像與性質(zhì)二者融合貫通，有助于學(xué)習(xí)的通話和順應(yīng)。