王 利

(江蘇省南京市棲霞區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué),江蘇 南京 210033)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,逆向思維的運(yùn)用十分常見(jiàn).所謂逆向思維就是把問(wèn)題倒過(guò)來(lái),或從問(wèn)題的反面思考,或逆用某些數(shù)學(xué)公式、法則解決問(wèn)題.當(dāng)前,根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維已成為課程教學(xué)的主要目標(biāo)之一,而加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練,可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性,使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效的發(fā)揮,同時(shí)也是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的重要體現(xiàn).基于此,教育工作者應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),啟發(fā)學(xué)生逆向思考,強(qiáng)化思維訓(xùn)練,提升學(xué)生的思維品質(zhì).

1 通過(guò)講解數(shù)學(xué)定義,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

定義、概念等理論是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ),也是發(fā)展學(xué)生逆向思維的起點(diǎn).在初中數(shù)學(xué)課程中,許多定義、概念本身就體現(xiàn)了“逆向”的特點(diǎn),因此,教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地進(jìn)行滲透,啟發(fā)學(xué)生逆向思考,讓學(xué)生理解抽象數(shù)學(xué)定義,并為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

例如,在學(xué)習(xí)相反數(shù)的定義時(shí),教師基于定義中包含的逆向思維對(duì)學(xué)生進(jìn)行如下引導(dǎo):第一,回顧知識(shí),思考問(wèn)題.教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧“數(shù)軸”相關(guān)知識(shí),并提出問(wèn)題:在數(shù)軸上,A、B兩點(diǎn)分別在原點(diǎn)的左、右兩邊,請(qǐng)你觀(guān)察這兩點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是2的點(diǎn)有幾個(gè)?這些點(diǎn)表示的數(shù)是多少?與原點(diǎn)的距離是5的點(diǎn)有幾個(gè)?這些點(diǎn)表示的數(shù)是多少?請(qǐng)你畫(huà)一條數(shù)軸,請(qǐng)將下列4個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái):-2,-4,+2,+4.在這一環(huán)節(jié),教師引導(dǎo)學(xué)生依托數(shù)軸體驗(yàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特點(diǎn),為相反數(shù)在數(shù)軸上的分布特征做準(zhǔn)備,同時(shí)以開(kāi)放的問(wèn)題情境,引發(fā)學(xué)生從數(shù)軸的一側(cè)對(duì)應(yīng)觀(guān)察另一側(cè),實(shí)現(xiàn)逆向思考.第二,引出定義,探索意義.教師在學(xué)生形成感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)相反數(shù)的定義:如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同,那么稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù),零的相反數(shù)是零.接下來(lái),引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定義,思考其中意義,挖掘其中蘊(yùn)含的逆向思維.如相反數(shù)的幾何意義表示“在數(shù)軸上,兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)表示的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩旁,且到原點(diǎn)的距離相等”,其代數(shù)意義則是“在一個(gè)數(shù)的前面添上負(fù)號(hào),就表示這個(gè)數(shù)的相反數(shù),負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)”“相反數(shù)是指兩個(gè)數(shù)之間的一種特殊的關(guān)系”[1].在學(xué)生理解了相反數(shù)的意義后,教師繼續(xù)提問(wèn):數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)有什么關(guān)系?學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)軸的觀(guān)察,準(zhǔn)確回答問(wèn)題.通過(guò)這一環(huán)節(jié)的指導(dǎo),學(xué)生能夠鞏固相反數(shù)的概念,強(qiáng)化互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的幾何意義,同時(shí)也在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中啟發(fā)了逆向思維.第三,課堂練習(xí),總結(jié)歸納.教師依據(jù)定義為學(xué)生設(shè)計(jì)練習(xí),讓學(xué)生在解題過(guò)程中不斷深化相反數(shù)的概念,獲得逆向思維的訓(xùn)練.在此基礎(chǔ)上,教師進(jìn)行歸納總結(jié),強(qiáng)化學(xué)生逆向思維.

2 通過(guò)推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

數(shù)學(xué)公式是學(xué)生日常解題的“抓手”,在數(shù)學(xué)學(xué)科中,包含逆向思維的公式有很多,如平方差、完全平方公式等.在教學(xué)指導(dǎo)中,有些教師習(xí)慣性引導(dǎo)學(xué)生從左至右來(lái)推導(dǎo)公式,這讓許多學(xué)生也習(xí)慣了從正向來(lái)運(yùn)用公式,但是,在遇到需要反向思考的問(wèn)題時(shí)就會(huì)陷入困境,無(wú)法實(shí)現(xiàn)公式的靈活運(yùn)用.基于此,在講解數(shù)學(xué)公式的過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面進(jìn)行探究,打通學(xué)生的思維通道,確保學(xué)生在逆用公式的過(guò)程中能夠得心應(yīng)手.

例如,完全平方公式是對(duì)多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊一類(lèi)算式的歸納、總結(jié),是后繼學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ),不僅對(duì)學(xué)生提高運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率有較大作用,更是以后學(xué)習(xí)分解因式、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ),同時(shí)也對(duì)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力具有重要作用.基于此,教師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)完全平方公式的過(guò)程中,從正反兩個(gè)方向進(jìn)行,讓學(xué)生真正把握公式的不同表現(xiàn)形式,為公式的靈活運(yùn)用奠定基礎(chǔ).在課堂上,教師主要通過(guò)如下環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的逆向思維進(jìn)行培養(yǎng):一是創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題.教師利用圖形的面積問(wèn)題構(gòu)建情境,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突,使學(xué)生對(duì)舊知產(chǎn)生疑惑,從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.二是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,歸納結(jié)論.學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形面積的計(jì)算,逐漸推導(dǎo)出(a±b)2=a2±2ab+b2.乘法公式的教學(xué)必須在學(xué)生自主探究、經(jīng)驗(yàn)歸納的基礎(chǔ)上獲得,教學(xué)中必須展示思維的過(guò)程,在這一環(huán)節(jié),教師為學(xué)生提供了充分的觀(guān)察、分析、獨(dú)立思考、小組交流等機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生自主完成對(duì)公式的推導(dǎo)[2].三是逆向思考,加深理解.教師總結(jié)歸納了完全平方的公式,并通過(guò)逆向設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生從反向進(jìn)行思考,這樣能夠使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以?xún)?yōu)化,知識(shí)體系得以完善,使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能夠突破思維定式,形成逆向探索的能力.四是鞏固訓(xùn)練,強(qiáng)化思維.如教師設(shè)計(jì)題目:①若(x-2y)2=(x+2y)2+M,求M的值.②若9x2-kxy+4y2是一個(gè)完全平方式,求k的值.教師從正反兩個(gè)方向設(shè)計(jì)習(xí)題,讓學(xué)生反饋教學(xué)、內(nèi)化知識(shí),并得到逆向思維的訓(xùn)練.

3 通過(guò)分析數(shù)學(xué)法則,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有許多定理,如勾股定理、韋達(dá)定理等.在解題過(guò)程中對(duì)這些定理的逆向運(yùn)用,有時(shí)會(huì)產(chǎn)生意想不到的結(jié)果.但是,在日常學(xué)習(xí)中,由于受思維定式的影響,部分學(xué)生難以靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定理,針對(duì)此,教師則應(yīng)該從逆向思維能力培養(yǎng)的角度加強(qiáng)訓(xùn)練,讓學(xué)生能夠打破固有的定式思維,提高對(duì)數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用能力.

例如,在“勾股定理的逆定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師立足教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生的逆向思維進(jìn)行訓(xùn)練.第一,復(fù)習(xí)舊知,導(dǎo)入新課.教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)勾股定理,強(qiáng)調(diào)要分清其題設(shè)和結(jié)論.第二,講解新知,引發(fā)思考.教師引導(dǎo)學(xué)生思考3,4,5之間的關(guān)系,引導(dǎo)其結(jié)合勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)明確32+42=52;出示數(shù)據(jù)2.5 cm,6 cm,6.5 cm,請(qǐng)學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證數(shù)據(jù)是否滿(mǎn)足上述平方和關(guān)系,并畫(huà)出相應(yīng)邊長(zhǎng)的三角形檢驗(yàn)是否為直角三角形;學(xué)生兩人一組進(jìn)行驗(yàn)證,在得到肯定結(jié)論后,引導(dǎo)學(xué)生基于以上例子大膽猜想得出新的定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.教師要強(qiáng)調(diào)定理的題設(shè)和結(jié)論,并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的定理與勾股定理的題設(shè)和結(jié)論恰好相反,從而引出“定理”和“逆定理”概念,強(qiáng)調(diào)二者的相互關(guān)系.第三,驗(yàn)證逆定理,深入思考.教師提出證明任務(wù)后,學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接證明的困難性,此時(shí)教師提示可以證明此三角形與一個(gè)直角三角形全等,并引導(dǎo)學(xué)生思考并寫(xiě)出證明過(guò)程.最后明確“勾股定理的逆定理”,簡(jiǎn)單解釋逆定理的概念,并提問(wèn):原命題正確,逆命題一定正確嗎?學(xué)生之間相互討論,有的學(xué)生舉出反例:對(duì)頂角相等,但相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角.由此得到否定結(jié)論:原命題成立時(shí),逆命題不一定成立.第四,課堂練習(xí),鞏固逆定理.教師結(jié)合勾股定理和逆定理的運(yùn)用設(shè)計(jì)習(xí)題,強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識(shí),鍛煉學(xué)生逆向思維.

在這一案例中,教師圍繞學(xué)生的逆向思考進(jìn)行引導(dǎo),通過(guò)符合學(xué)生心理認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì),循序漸進(jìn)地讓學(xué)生在和諧、愉悅的氛圍中建構(gòu)、驗(yàn)證勾股定理逆定理,讓學(xué)生理解消化了知識(shí),也提升了逆向思維能力.

4 通過(guò)證明數(shù)學(xué)命題,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

在初中學(xué)數(shù)學(xué)中,學(xué)生會(huì)接觸到命題、逆命題等概念,在各類(lèi)考試中,對(duì)命題的真假性進(jìn)行判斷也是十分常見(jiàn)的題型.基于此,教師應(yīng)通過(guò)對(duì)各類(lèi)命題的講解來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,讓學(xué)生在判斷命題、逆命題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維及發(fā)散思維,進(jìn)而提高思維品質(zhì).

例如,在講解“逆命題”相關(guān)知識(shí)的過(guò)程中,教師立足學(xué)生逆向思維能力培養(yǎng)進(jìn)行如下指導(dǎo):第一,回顧舊知,引入新課.教師給出命題的概念:對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題.我們還知道,命題都有兩部分,即條件和結(jié)論,它的一般形式是“如果……,那么……”,并結(jié)合例題進(jìn)行說(shuō)明.在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生發(fā)現(xiàn):在兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件,那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)命題叫做原命題,那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題.學(xué)生在認(rèn)識(shí)了原命題和逆命題的概念后,教師結(jié)合常見(jiàn)的數(shù)學(xué)命題、法則促使學(xué)生作出判斷,并提問(wèn):每個(gè)命題都有它的逆命題,但每個(gè)真命題的逆命題是否一定為真命題?學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入下一環(huán)節(jié).第二,深入思考,探究命題.教師給出系列原命題,并要求學(xué)生說(shuō)出命題的逆命題,判定逆命題的真假:①既是中心對(duì)稱(chēng),又是軸對(duì)稱(chēng)的圖形是圓[3];②有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;③磁懸浮列車(chē)是一種高速行駛時(shí)不接觸地面的交通工具.通過(guò)總結(jié)分析學(xué)生認(rèn)識(shí)到:原命題為真,逆命題不一定為真.第三,逆向訓(xùn)練,鞏固新知.教師出示習(xí)題:請(qǐng)寫(xiě)出“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”的逆命題,并證明這個(gè)逆命題是真命題.教師結(jié)合習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生回顧命題的條件和結(jié)論,促使學(xué)生在逆向思考中證明,以鞏固所學(xué).

5 通過(guò)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,逆向思維的運(yùn)用十分常見(jiàn).通常來(lái)講,如果從正向直接思考無(wú)法順利解決問(wèn)題時(shí),則可以從結(jié)論入手,進(jìn)行反向思考,這樣則可以豁然開(kāi)朗,甚至找到更加便捷的解題方法.基于此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)中,教師應(yīng)在解題訓(xùn)練中強(qiáng)調(diào)逆向思維,引導(dǎo)學(xué)生掌握常見(jiàn)的逆向思維方法,從而拓寬解題思路,提高解題能力.

例如,某班共有30名學(xué)生,在一次滿(mǎn)分為100分的測(cè)試中,全班平均成績(jī)?yōu)?0分,則成績(jī)低于60分的學(xué)生至多有多少人?

這一習(xí)題適合用逆向思維法,即由題意得到全班一共要失去300分,而低于60分的學(xué)生每人至少失掉40分,所以低于60分的至多有7人.

通過(guò)這樣的解題指導(dǎo),教師可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維能力.當(dāng)然,在教學(xué)實(shí)踐中,教師還應(yīng)結(jié)合例題講解更多逆向思考方法,并讓學(xué)生在訓(xùn)練中融會(huì)貫通、熟能生巧.

6 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,教師要以知識(shí)為載體,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.基于此,教師應(yīng)繼續(xù)深入思考,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為研究目標(biāo),關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)及所講知識(shí)在整體教材中的地位和作用,關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展過(guò)程,充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位,促使其通過(guò)學(xué)習(xí)得到數(shù)學(xué)知識(shí),實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的有效提升.