高曉紅，李興奇

（楚雄師范學(xué)院a.數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院；b.管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000）

0 引言

無量綱化是指通過某種函數(shù)關(guān)系將不同指標(biāo)映射到同一數(shù)量級內(nèi)，以便進(jìn)行不同指標(biāo)間重要程度的比較。無量綱化的好處是可以消除指標(biāo)間的量綱差異，弊端是會改變指標(biāo)的原貌特征，造成有用信息的損失?，F(xiàn)有無量綱化方法眾多，經(jīng)不同無量綱化方法處理后所得的綜合評價結(jié)果不同，導(dǎo)致綜合評價結(jié)論難以令人信服。如何科學(xué)評價無量綱化方法的利弊，進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽χ笜?biāo)進(jìn)行無量綱化處理成為很多學(xué)者研究的重點(diǎn)問題。郭亞軍和易平濤（2008）[1]對常用的線性無量綱化方法進(jìn)行了分析，分別以單調(diào)性、差異比不變性、平移無關(guān)性、縮放無關(guān)性、區(qū)間穩(wěn)定性、總量恒定性為標(biāo)準(zhǔn)來選擇無量綱化方法，最后證明了不存在同時滿足六條性質(zhì)的理想無量綱化方法；部分研究通過多種無量綱化方法評價結(jié)果的Spearman相關(guān)系數(shù)來構(gòu)建無量綱化方法的相對有效性指標(biāo)，并基于此來選擇無量綱化方法；易平濤等（2014）[2]通過無量綱化方法的穩(wěn)定性來評價無量綱化方法的優(yōu)劣，并進(jìn)行無量綱化方法選擇；李玲玉等（2016）[3]根據(jù)變異性原則、差異性原則和穩(wěn)定性原則來選擇無量綱化方法，并得出線性比例法是適合于拉開檔次法的最佳無量綱化方法的結(jié)論；李興奇和高曉紅（2021）[4]通過評價無量綱化方法的有效性來進(jìn)行方法選擇；謝忠秋（2020）[5]用各指標(biāo)的方差大小來度量信息總量，并通過比較無量綱化方法前后信息總量改變情況來構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計量，提出了一種檢驗(yàn)無量綱化方法有效性的t檢驗(yàn)方法，使得無量綱化方法選擇更加客觀，但其只考慮了無量綱化方法的效果，未顧及無量綱化可能造成的信息損失。此外，還有很多學(xué)者通過研究無量綱化方法對綜合評價結(jié)果的影響來進(jìn)行無量綱化方法選擇[6—9]。

現(xiàn)有研究對綜合評價模型中無量綱化方法的選擇沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，且不具備可操作性，很多無量綱化方法選擇只停留在思想層面，在實(shí)際操作過程中難以明確具體應(yīng)該選擇哪一種方法對特定的數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理，很多環(huán)節(jié)帶有一定的主觀性，需要憑借研究者的經(jīng)驗(yàn)或偏好才能確定最終的無量綱化方法?；诖耍疚耐ㄟ^權(quán)衡無量綱化方法的利弊，構(gòu)建一種檢驗(yàn)無量綱化有效性的F 檢驗(yàn)方法，并基于原貌特征不變性、方法有效性等原則來進(jìn)行無量綱化方法選擇，最終以無量綱化應(yīng)在有效消除指標(biāo)間量綱差異的情況下盡可能地減小有用信息的損失為原則構(gòu)建最優(yōu)無量綱化方法，在保證無量綱化方法有效的條件下避免對數(shù)據(jù)的過度處理，造成過多的信息損失。

1 無量綱化方法的分類及性質(zhì)

無量綱化是指通過某種函數(shù)關(guān)系將不同指標(biāo)的數(shù)值映射到同一量綱級內(nèi)，便于不同指標(biāo)間的比較。根據(jù)函數(shù)關(guān)系可將其分為非線性無量綱化和線性無量綱化。非線性無量綱化是通過非線性函數(shù)建立原始數(shù)據(jù)xij與可比數(shù)據(jù)yij之間的關(guān)系，線性無量綱化則是通過線性函數(shù)建立兩者之間的映射關(guān)系。通用公式為yij=kj()xij-aj，其中，xij為第j項指標(biāo)的第i個觀測值，aj和kj分別表示第j項指標(biāo)的平移尺度和伸縮尺度。根據(jù)aj和kj取值的不同又可將線性無量綱化方法分為平移法、伸縮法和平移伸縮法，當(dāng)aj=0 且kj≠0 時為伸縮法，函數(shù)關(guān)系為yij=kjxij；當(dāng)aj≠0且kj=1時為平移法，函數(shù)關(guān)系為yij=xij-aj；其余情況均屬平移伸縮法，其中，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。常用的無量綱化方法如表1所示。

表1 無量綱化方法的分類、函數(shù)關(guān)系及平移、伸縮尺度

無量綱化的優(yōu)點(diǎn)是消除指標(biāo)間的量綱差異，缺點(diǎn)是容易改變指標(biāo)的原貌，而綜合評價結(jié)果往往依賴于指標(biāo)的分布特征和變異特征，所以好的無量綱化方法應(yīng)該保持指標(biāo)的分布特征和變異特征不變。李興奇和高曉紅（2021）[4]分別用偏度系數(shù)和峰度系數(shù)來度量指標(biāo)的分布特征，用變異系數(shù)和相對極差來度量指標(biāo)的變異特征，并通過比較無量綱化前后指標(biāo)分布特征和變異特征的變化情況來研究無量綱化方法的性質(zhì)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，只有伸縮法能同時保持指標(biāo)的分布特征和變異特征不變，非線性無量綱化會同時改變指標(biāo)的分布特征和變異特征，平移法及平移伸縮法不改變指標(biāo)的分布特征但會改變其變異特征。

2 無量綱化方法的有效性檢驗(yàn)

基于分布不變性和變異特征不變性發(fā)現(xiàn)，伸縮法是眾多無量綱化方法中最能夠保持指標(biāo)原貌的方法，但其有效性沒有得到進(jìn)一步的檢驗(yàn)，所以有必要構(gòu)建一種可以檢驗(yàn)其有效性的統(tǒng)計方法。無量綱化方法的有效性是指將綜合評價指標(biāo)體系經(jīng)過某種無量綱化處理后指標(biāo)間的量綱差異消除的效果。能成功消除指標(biāo)間量綱差異的方法即有效方法，所以度量指標(biāo)間量綱差異的大小是檢驗(yàn)無量綱化方法有效性的首要工作。因指標(biāo)間的量綱差異主要來源于單位和數(shù)量級差異，而指標(biāo)間是否存在單位差異可以通過指標(biāo)的內(nèi)涵來判斷，所以度量指標(biāo)間量綱差異大小的關(guān)鍵是度量指標(biāo)間的數(shù)量級差異。當(dāng)兩項指標(biāo)維數(shù)較高且取值不同時，無法通過逐一比較的方式來判斷指標(biāo)間是否存在量綱差異，必須對指標(biāo)信息加以綜合來比較，均值作為數(shù)據(jù)平均取值情況的綜合性指標(biāo)，通過各指標(biāo)均值間的相互比較可判斷不同指標(biāo)是否存在數(shù)量級差異，所以檢驗(yàn)各指標(biāo)間是否存在數(shù)量級差異的關(guān)鍵就是檢驗(yàn)各指標(biāo)的均值是否存在明顯的差異。綜上所述，通過檢驗(yàn)各指標(biāo)的均值是否存在顯著的差異來判斷指標(biāo)間是否存在量綱差異。

假設(shè)現(xiàn)有一個由n項指標(biāo)構(gòu)成的綜合評價指標(biāo)體系，每項指標(biāo)擁有m個樣本觀測值，即，其均值為。相當(dāng)于利用n項指標(biāo)對m個對象進(jìn)行綜合評價。指標(biāo)體系X經(jīng)過無量綱化處理后的結(jié)果記為Y，且Y=[Y1Y2…Yj…Yn] ，Yj表示Xj經(jīng)無量綱化后的結(jié)果，，其均值為。為提高統(tǒng)計檢驗(yàn)的科學(xué)性，假設(shè)每項指標(biāo)均來自方差相同、均值各異且觀測值相互獨(dú)立的正態(tài)分布總體，即Yj~N(μj,σ)。

2.1 原假設(shè)和備擇假設(shè)

均值作為指標(biāo)間數(shù)量級大小的主要度量指標(biāo)，檢驗(yàn)指標(biāo)間是否存在量綱差異的關(guān)鍵是通過樣本觀測值來判斷總體均值是否存在顯著差異，若總體中各指標(biāo)的均值相等，則認(rèn)為各指標(biāo)間不存在明顯的量綱差異；若總體中各指標(biāo)的均值互不相等，則認(rèn)為各指標(biāo)間存在明顯的量綱差異。所以可通過檢驗(yàn)無量綱化后各指標(biāo)所屬總體的均值是否相等來判斷無量綱化方法是否有效，若經(jīng)無量綱化后各指標(biāo)均值已無顯著差異，則認(rèn)為該無量綱化方法能有效消除指標(biāo)間的量綱差異，即方法有效；反之則不能認(rèn)為該無量綱化方法有效?；诖藰?gòu)建無量綱化方法有效性檢驗(yàn)的原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。

H0：μ1=μ2=…=μn，各指標(biāo)間不存在量綱差異，無量綱化方法有效。

H1：μ1,μ2,…,μn不全相等，各指標(biāo)間存在量綱差異，無量綱化方法無效。

2.2 檢驗(yàn)統(tǒng)計量

指標(biāo)體系X經(jīng)過無量綱化的結(jié)果Y中必然存在數(shù)據(jù)間的差異，總體差異大小可用各觀測樣本與整體平均水平間的偏差平方和來刻畫，記作表示整個評價指標(biāo)體系的總平方和，其中；指標(biāo)間的差異大小可用各指標(biāo)的平均水平與整體平均水平的偏差平方和來刻畫，記作,表示組間平方和；指標(biāo)內(nèi)的差異大小可用各指標(biāo)取值yij與指標(biāo)平均水平的偏差平方和來刻畫，記作，表示組內(nèi)平方和。三種平方和間滿足SST1=SSA1+SSE1。當(dāng)總體平方和SST1一定時，指標(biāo)間平方和與指標(biāo)內(nèi)平方和滿足此消彼長的關(guān)系，為盡可能支持原假設(shè)H0，希望指標(biāo)間平方和盡可能小，而指標(biāo)內(nèi)平方和盡可能大。所以可用指標(biāo)間平方和與指標(biāo)內(nèi)平方和的比值來構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計量，但容易發(fā)現(xiàn)，三種平方和容易受指標(biāo)選取數(shù)量和樣本觀測個數(shù)的影響，所以分別除以各自的自由度得到指標(biāo)間均方和以及指標(biāo)內(nèi)均方和，將兩個指標(biāo)進(jìn)行相互比較得到檢驗(yàn)統(tǒng)計量為：

指標(biāo)間均方和越大，指標(biāo)內(nèi)均方和越小，統(tǒng)計量F的取值越大；反之，指標(biāo)間均方和越小，指標(biāo)內(nèi)均方和越大，統(tǒng)計量F的取值越小，并且F分別服從自由度為(n-1)和(mn-n)的F分布，簡記為F～F(n-1,mn-n)。給定顯著性水平α?xí)r，可計算其分位數(shù)Fα(n-1,mn-n)。當(dāng)F>Fα(n-1,mn-n)時，檢驗(yàn)統(tǒng)計量落在拒絕域內(nèi)，應(yīng)該拒絕原假設(shè)，即經(jīng)無量綱化后各指標(biāo)間依然存在顯著的量綱差異，表明該無量綱化方法無效；否則認(rèn)為經(jīng)無量綱化后各指標(biāo)間不存在明顯的量綱差異，該無量綱化方法有效。

3 無量綱化方法的信息損失速率

通過無量綱化的有效性檢驗(yàn)?zāi)芸茖W(xué)準(zhǔn)確地判斷某種無量綱化方法是否能成功消除指標(biāo)間的量綱差異，避免方法選擇的盲目性，但在有效性檢驗(yàn)過程中沒有考慮到無量綱化可能帶來的有用信息損失，這可能會造成數(shù)據(jù)的過度處理。一種好的無量綱化方法應(yīng)該能有效消除指標(biāo)間量綱差異，同時盡可能使有用信息的損失速率最小。無量綱化方法的信息損失速率是指每消除一個單位的量綱差異所造成的內(nèi)部差異信息損失大小，其中，可用無量綱化前后的指標(biāo)內(nèi)均方和之差(MSE0-MSE1) 來表示指標(biāo)內(nèi)的差異信息損失大小，用無量綱化前后指標(biāo)間均方和之差(MSA0-MSA1) 來表示指標(biāo)間的差異信息損失大小，用兩者的比值表示每消除一個單位的量綱差異所造成的信息損失，即無量綱化方法的信息損失速率：

其中，MSE0和MSA0分別表示無量綱化前原始數(shù)據(jù)的指標(biāo)內(nèi)均方和與指標(biāo)間均方和，MSE1和MSA1分別表示經(jīng)無量綱化后數(shù)據(jù)的指標(biāo)內(nèi)均方和與指標(biāo)間均方和。理想的無量綱化方法應(yīng)該在有效消除指標(biāo)間量綱差異的同時完全保留指標(biāo)內(nèi)的有用信息，但這種理想狀態(tài)一般無法達(dá)到，因?yàn)樵诳s小指標(biāo)間量綱差異的同時往往會造成指標(biāo)內(nèi)差異信息的損失。無量綱化方法的信息損失速率能準(zhǔn)確度量在縮小指標(biāo)間量綱差異的過程中所造成有用信息的損失大小。

4 無量綱化方法的選擇步驟

根據(jù)分布不變性和變異特征不變性可證明伸縮法是眾多無量綱化方法中最能保持指標(biāo)原貌的方法，通過無量綱化的有效性檢驗(yàn)?zāi)芘袛嗨x無量綱化方法是否能成功消除指標(biāo)間的量綱差異，通過信息損失速率能準(zhǔn)確度量無量綱化過程中所造成的信息損失情況。一般情況下，在選擇無量綱化方法時應(yīng)該選擇不會改變指標(biāo)分布特征和變異特征，同時能有效消除指標(biāo)間量綱差異，并且信息損失速率最小的方法。基于此，提出無量綱化方法選擇的三個步驟：

步驟1：從眾多無量綱化方法中選擇不改變指標(biāo)分布特征和變異特征的無量綱化方法。經(jīng)證明，伸縮法是一種既不改變指標(biāo)分布特征又不改變其變異特征的無量綱化方法，但現(xiàn)有的伸縮法眾多且未必都有效，所以需進(jìn)行第二步篩選。

步驟2：從伸縮法中選出有效的無量綱化方法。在給定的顯著性水平下，分別計算出檢驗(yàn)統(tǒng)計量F和α分位數(shù)Fα，通過比較兩者間的大小來判斷無量綱化方法是否有效，當(dāng)F

步驟3：從有效的伸縮法中選出信息損失速率最小的無量綱化方法。當(dāng)有多種伸縮法均有效時，需進(jìn)一步進(jìn)行方法選擇，可分別計算各種有效無量綱化方法的信息損失速率，從中選擇信息損失速率最小的無量綱化方法?；诖?，可從眾多無量綱化方法中選出合適的方法對指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理，避免了傳統(tǒng)方法選擇時的盲目性和主觀性。

5 最優(yōu)無量綱化方法構(gòu)建

現(xiàn)有方法大多基于常用的數(shù)字特征來計算伸縮法的比例系數(shù)，如最大值、最小值、均值、分位數(shù)等，而比例系數(shù)的取值范圍不僅僅局限于此，所以本文構(gòu)建一種求解最佳比例系數(shù)的無量綱化方法。當(dāng)利用伸縮法對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理時，原始數(shù)據(jù)與無量綱化后數(shù)據(jù)間存在函數(shù)關(guān)系Yj=kj Xj，其中，kj為第j項指標(biāo)的比例系數(shù)，由所有指標(biāo)的比例系數(shù)構(gòu)成向量k，k=()k1,k2,…,kj,…,kn，當(dāng)k取何值時，能在保證無量綱化方法有效的前提下盡可能地減少有用信息的損失，同時實(shí)現(xiàn)指標(biāo)間量綱差異消除與防止數(shù)據(jù)過度處理？基于此，構(gòu)建如下求解最佳比例系數(shù)的非線性規(guī)劃模型：

6 仿真模擬實(shí)驗(yàn)

通過MATLAB 軟件產(chǎn)生方差均為100、均值在10 到10000間的10組正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，每組隨機(jī)數(shù)中產(chǎn)生5000個樣本觀測值，分別為：X1~N(10,102),X2~N(50,102),X3~N(100,102),X4~N(200,102),X5~N(500,102),X6~N(1000,102),X7~N(2000,1 02),X8~N(5000,102),X9~N(8000,102),X10~N(10000,102)。相當(dāng)于利用10個指標(biāo)對5000個對象進(jìn)行綜合評價，所有指標(biāo)構(gòu)成的綜合評價指標(biāo)體系為X=(X1,X2,…,X10)。容易發(fā)現(xiàn)10項指標(biāo)間存在明顯的量綱差異。

6.1 無量綱化方法的分布不變性和變異不變性論證

通過MATLAB 軟件計算10 項原始指標(biāo)的峰度系數(shù)、偏度系數(shù)和變異系數(shù)，并分別利用表1中的19種無量綱化方法對10 項指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，輸出無量綱化后各指標(biāo)的峰度系數(shù)、偏度系數(shù)和變異系數(shù)，進(jìn)行無量綱化前后指標(biāo)分布特征的比較，結(jié)果如下頁表2所示。

表2 各指標(biāo)無量綱化前后的峰度系數(shù)、偏度系數(shù)和變異系數(shù)

從表2可以看出，經(jīng)線性無量綱化（法1至法18）處理后10 項指標(biāo)的峰度系數(shù)和偏度系數(shù)均未改變，而經(jīng)非線性無量綱化（法19）處理后各指標(biāo)的峰度系數(shù)和偏度系數(shù)均發(fā)生了改變，說明線性無量綱化不會改變指標(biāo)的分布特征，而非線性無量綱化通常會改變指標(biāo)的分布特征。從變異系數(shù)來看，經(jīng)伸縮法（法1至法11）處理后指標(biāo)的變異性不變，經(jīng)其他方法處理后的變異系數(shù)均發(fā)生了改變，說明伸縮法不會改變指標(biāo)的變異特征，其中，因第一項指標(biāo)的最小值為負(fù)數(shù)，所以經(jīng)最小值化（法2）處理后其變異系數(shù)為負(fù)，但其大小不變，故認(rèn)為其變異特征沒有發(fā)生改變。綜上所述，伸縮法既不會改變指標(biāo)的分布特征，也不會改變指標(biāo)的變異特征，是一類最能保持指標(biāo)原貌的無量綱化方法，但伸縮法中包含的具體方法依然較多，需進(jìn)一步進(jìn)行方法選擇。

6.2 伸縮法的有效性檢驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)給定顯著性水平α=0.05 時，可通過軟件計算得到自由度為9和49990的0.05分位數(shù)為Fα(9,49990)=1.88007。分別計算各伸縮法的檢驗(yàn)統(tǒng)計量，并對方法的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。

表3 伸縮法的有效性檢驗(yàn)統(tǒng)計量

從表3 可以看出，各伸縮法的檢驗(yàn)統(tǒng)計量大小不一，只有法5（均值化）、法6（歸一化）和法9（中位數(shù)法）的檢驗(yàn)統(tǒng)計量小于0.05分位數(shù)，其余方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計量均大于或遠(yuǎn)大于0.05 分位數(shù)。這表明，在0.05 的顯著性水平下，只有均值化、歸一化和中位數(shù)法能有效消除指標(biāo)間的量綱差異，其余方法未能有效消除指標(biāo)間的量綱差異。所以在選擇無量綱化方法時一定要注重其效果的檢驗(yàn)，若方法選擇不當(dāng)，則指標(biāo)間的量綱差異不能被有效消除。針對特定的綜合評價指標(biāo)體系X，有三種方法能夠成功消除指標(biāo)的量綱差異，但最終應(yīng)選擇哪種方法對其進(jìn)行無量綱化處理還存在一定的疑問，所以需要對三種有效方法再次進(jìn)行篩選，得到唯一確定的無量綱化方法。

6.3 有效無量綱化方法的信息損失速率

無量綱化的目的是消除指標(biāo)間量綱差異的同時盡可能減小指標(biāo)內(nèi)的信息損失，通過計算有效無量綱化方法的信息損失速率，可從現(xiàn)有的無量綱化方法中選出最適合的方法對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理。

從表4 可以看出，三種有效無量綱化方法的信息損失速率均較小且互不相同，其中法9 的信息損失速率最小，法5 的信息損失速率居中，法6 的信息損失速率最大。表明針對特定的綜合評價指標(biāo)體系X，中位數(shù)法是19 種無量綱化方法中能在有效消除指標(biāo)間量綱差異的同時使信息損失速率最小的方法。通過以上操作發(fā)現(xiàn)，根據(jù)無量綱化方法選擇的三個步驟可從現(xiàn)有方法中選出最適合的無量綱化方法，當(dāng)綜合評價指標(biāo)體系發(fā)生變動時，最適合的無量綱化方法可能隨之變更，避免了一勞永逸的缺陷。

表4 有效無量綱化方法的信息損失速率

6.4 最優(yōu)無量綱化模型的求解

從現(xiàn)有方法中選出的最適合的無量綱化方法未必是最優(yōu)的，所以針對特定的綜合評價指標(biāo)體系X，通過求解非線性規(guī)劃模型（3）得到最優(yōu)無量綱化方法中各指標(biāo)的伸縮比例系數(shù)和有效性檢驗(yàn)統(tǒng)計量。

從下頁表5 可以看出，最優(yōu)無量綱化模型中的比例系數(shù)不同于三種有效無量綱化方法中的任何一種，但與中位數(shù)法和均值化的比例系數(shù)較為接近，與歸一化的比例系數(shù)相差較遠(yuǎn)，這也是中位數(shù)法和均值化總體上優(yōu)于歸一化的主要原因。另外，最優(yōu)無量綱化模型的有效性檢驗(yàn)統(tǒng)計量略小于0.05 分位數(shù)，表明最優(yōu)無量綱化方法是有效的。所以最優(yōu)無量綱化模型能實(shí)現(xiàn)在有效消除指標(biāo)間量綱差異的情況下使信息損失最小，避免對數(shù)據(jù)的過度處理，并且最優(yōu)比例系數(shù)會隨著綜合評價指標(biāo)的變化而變化，使用較為靈活。

表5 最優(yōu)伸縮比例系數(shù)

7 結(jié)論

本文針對無量綱化方法選擇困難的問題，依據(jù)無量綱化分布不變性、變異不變性、有效性和信息損失快慢的度量指標(biāo)，提出了無量綱化方法的選擇步驟，并通過大量的數(shù)值模擬分析進(jìn)行19種無量綱化方法的選擇和最優(yōu)無量綱化模型的求解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）非線性無量綱化方法會改變指標(biāo)的分布特征和變異特征，平移法和平移伸縮法能保留指標(biāo)的分布特征但會改變其變異特征，伸縮法是一種既不改變指標(biāo)分布特征也不改變指標(biāo)變異特征的方法。

（2）在選擇無量綱化方法時，需綜合考慮其分布不變性、變異不變性、有效性和信息損失大小，通過無量綱化方法選擇的三個步驟，可從現(xiàn)有方法中選出最適用的無量綱化方法，避免了方法選擇的盲目性。

（3）最優(yōu)無量綱化模型實(shí)現(xiàn)了在有效消除指標(biāo)間量綱差異的情況下使信息損失最小，可以防止對數(shù)據(jù)的過度處理，造成不必要的信息損失。