陳禮弦

(貴州省貴安新區(qū)普貢中學(xué),貴州 貴陽 561113)

任意畫一個(gè)四邊形,以這個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)新的四邊形,這個(gè)新的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形[1].中點(diǎn)四邊形有何特殊性,教師又如何去引導(dǎo)學(xué)生證明呢?教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn),這是一個(gè)數(shù)學(xué)模型,利用已知四邊形的對角線證明中點(diǎn)四邊形的性質(zhì),會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

1 基本模型

模型1 已知四邊形的對角線既不相等也不垂直,中點(diǎn)四邊形是平行四邊形

如圖1,已知四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),問四邊形EFGH是什么四邊形?說明理由.

圖1 模型1圖

模型分析:由三角形中位線的性質(zhì),易知四邊形EFGH是平行四邊形.理由如下:

因?yàn)辄c(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),由三角形中位線的性質(zhì)可得EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,所以EH∥FG,EH=FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.

模型2 已知四邊形的對角線相等,但不垂直,中點(diǎn)四邊形是菱形

如圖2,已知四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),AC=BD,問四邊形EFGH是什么四邊形?說明理由.

模型分析:四邊形EFGH是菱形.理由如下:

因?yàn)辄c(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),所以EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,EF∥AC,AC=2EF,所以EH∥FG,EH=FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.又AC=BD,所以EF=EH,所以四邊形EFGH是菱形.

模型3 已知四邊形的對角線垂直,但是不相等,中點(diǎn)四邊形是矩形

如圖3,已知四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),AC⊥BD,問四邊形EFGH是什么四邊形?說明理由.

圖3 模型3圖

模型分析:四邊形EFGH是矩形.理由如下:

因?yàn)辄c(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),所以EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,EF∥AC,AC=2EF,所以EH∥FG,EH=FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形,又因?yàn)锳C⊥BD,所以∠AJD=90°,所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°,所以四邊形EFGH是矩形.

模型4 已知四邊形的對角線既相等又垂直,中點(diǎn)四邊形是正方形

如圖4,已知四邊形ABCD,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),AC=BD,AC⊥BD,問四邊形EFGH是什么四邊形?說明理由.

圖4 模型4圖

模型分析:四邊形EFGH是正方形.理由如下:

因?yàn)辄c(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn),所以EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,EF∥AC,AC=2EF,所以EH∥FG,EH=FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.又因?yàn)锳C⊥BD,所以∠AJD=90°,所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°,所以四邊形EFGH是矩形.又因?yàn)锳C=BD,所以EF=EH,所以四邊形EFGH是菱形,所以四邊形EFGH是正方形.

2 應(yīng)用例舉

例1 如圖5,四邊形MNOP中,I,J,K,L分別是MN,NO,OP,PM的中點(diǎn),若四邊形IJKL是菱形,那么四邊形MNOP的對角線滿足什么條件?

圖5 例1題圖

解析根據(jù)模型1,易知四邊形IJKL是平行四邊形.又因?yàn)槿羲倪呅蜪JKL是菱形,根據(jù)模型2,易知四邊形MNOP的對角線相等,所以若四邊形IJKL是菱形,所以四邊形MNOP的對角線滿足的條件是MO=PN.

例2 如圖6,四邊形DEFG是菱形,點(diǎn)H,I,J,K分別是邊DE,EF,FG,GD的中點(diǎn),請問四邊形HIJK是什么圖形?

圖6 例2題圖

解析因?yàn)樗倪呅蜠EFG是菱形,所以四邊形DEFG對角線互相垂直.根據(jù)模型3,易知四邊形DEFG是矩形.

例3 如圖7,在四邊形BCDE中,F、J、H、I分別是各邊的中點(diǎn),則四邊形FJHI是( ).

圖7 例3題圖

A. 正方形 B.矩形

C.菱形 D.平行四邊形

解析因?yàn)樵谒倪呅蜝CDE中,F、J、H、I分別是各邊的中點(diǎn),根據(jù)模型1,易知四邊形FJHI是平行四邊形,故選D.

例4 如圖8,點(diǎn)G、H、I、J分別是四邊形CDEF的邊CD、DE、EF、FC的中點(diǎn),若四邊形GHIJ是矩形,則四邊形CDEF的對角線CE和DF有何關(guān)系?

圖8 例4題圖

解析因?yàn)辄c(diǎn)G、H、I、J分別是四邊形CDEF的邊CD、DE、EF、FC的中點(diǎn),四邊形GHIJ是矩形,根據(jù)模型3,易知四邊形CDEF的對角線CE和DF互相垂直,即CE⊥DF.

例5 如圖9,四邊形EFGH四條邊上的中點(diǎn)分別為I、J、K、M,順次連接點(diǎn)I、J,K、M,得到四邊形IJKM.

圖9 例5題圖

(1)四邊形IJKM的形狀是________.當(dāng)四邊形EFGH的對角線滿足____(填入位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系)時(shí),四邊形IJKM是矩形.

(2)當(dāng)EG=FH時(shí),四邊形IJKM的形狀是____.

(3)若EG⊥FH且EG=FH,求證:四邊形IJKM為正方形.

解析(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH四條邊上的中點(diǎn)分別為I、J、K、M,根據(jù)模型1,易知四邊形IJKM是平行四邊形.根據(jù)模型3,易知四邊形EFGH的對角線滿足EG⊥FH.故四邊形IJKM是平行四邊形,EG⊥FH.

(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH對角線EG=FH,根據(jù)模型2,易知四邊形IJKM是菱形.

(3)證明:因?yàn)樗倪呅蜤FGH對角線EG⊥FH.根據(jù)模型3,四邊形IJKM是矩形,又因?yàn)樗倪呅蜤FGH對角線EG=FH,根據(jù)模型2,四邊形IJKM菱形.綜上所述,四邊形IJKM是正方形.

3 結(jié)束語

綜上所述,不論已知四邊形是什么四邊形,其中點(diǎn)四邊形的形狀只與已知四邊形的兩條對角線有關(guān).當(dāng)已知四邊形的兩條對角線既不相等也不垂直時(shí),順次連接已知四邊形各邊的中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;當(dāng)已知四邊形的兩條對角線相等,但是不垂直時(shí),順次連接已知四邊形各邊的中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形是菱形;當(dāng)已知四邊形的兩條對角線垂直,但是不相等時(shí),順次連接已知四邊形各邊的中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形是矩形;當(dāng)已知四邊形的兩條對角線既相等又垂直時(shí),順次連接已知四邊形各邊的中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形是正方形[2].中點(diǎn)四邊形的這些特殊性在解題中有著廣泛的應(yīng)用.