謝紹煥

(福建省寧德市蕉城區(qū)蕉城中學(xué),福建 寧德 352100)

探究規(guī)律型問題是歷年中考必考知識(shí)點(diǎn),這類問題通常也被稱為歸納猜想型問題.或是給出一組圖形操作變化過程,或是給出某一類問題情境,或是給出一組有著某種特定關(guān)系的數(shù),要求學(xué)生觀察、分析、推理,找出其中蘊(yùn)含的規(guī)律,在此基礎(chǔ)上猜想、歸納出一般性結(jié)論,這類問題對(duì)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)有積極影響.筆者以歷年中考試題為例,簡(jiǎn)要闡述初中數(shù)學(xué)探究規(guī)律型問題及解題策略.

1 探究規(guī)律型問題的分類

1.1 根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征分類

1.1.1循環(huán)型問題

這類問題中各項(xiàng)在排列上有一定的規(guī)律性,呈現(xiàn)周期性循環(huán).

例1 觀察算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2 187,38=6 561,…確定32 011個(gè)位數(shù)字是____.

1.1.2非循環(huán)型問題

這類問題中的已知各項(xiàng)不會(huì)呈現(xiàn)周期性循環(huán),但它們有共同特征,遵循同一個(gè)表達(dá)式所反映的基本規(guī)律.

例2 數(shù)列2,4,8,16,…則第90項(xiàng)是____.

1.2 根據(jù)問題的表現(xiàn)形式分類

1.2.1數(shù)列、代數(shù)式型問題

這類問題具體可分為數(shù)列型問題和代數(shù)式型問題.數(shù)列型問題中的已知條件是一串?dāng)?shù)字,例1和例2就是此類型問題;代數(shù)式型問題中的已知條件是一組代數(shù)式、等式或者不等式.

例3 觀察算式:

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

……

第n個(gè)式子表示為____.

1.2.2純圖形型問題

此類問題通常是把一系列圖形按一定方法編排,要求通過觀察、比較、分析、思考,探究它們?cè)谛螤罨蛭恢蒙系呐帕许樞蚝妥兓?guī)律.

例4 一串圖案按如圖所示規(guī)律排列,第2 013個(gè)圖案是____.

1.2.3數(shù)列、代數(shù)式與圖形結(jié)合型問題

此類問題也以圖形形式出現(xiàn),但不止要求探究圖形形狀或位置上的變化規(guī)律,更要求探究數(shù)量上的變化規(guī)律.圖形中蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系,圖形只是外在的載體,實(shí)質(zhì)與核心是數(shù)與式,它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,也是近年來熱點(diǎn)題型之一[1].

例5 如圖1所示,n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè)△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則Sn=____(用含n的式子表示).

圖1 n+1個(gè)等邊三角形排列順序

1.2.4動(dòng)手操作型問題

這類問題中詳細(xì)描述了操作過程或操作方法,用以指導(dǎo)操作或空間想象,探究每一步呈現(xiàn)的規(guī)律.

例6 將相對(duì)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1與6、2與5、3與4正方體骰子,按圖①放置于水平桌面上,再將骰子按圖②先向右翻滾(如圖2所示),然后按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,視為一次變換.連續(xù)進(jìn)行20次變換之后,則朝上一面的點(diǎn)數(shù)是____.

圖2 正方形骰子翻滾順序

2 探究規(guī)律型問題的解題策略

解答這類問題時(shí),應(yīng)依據(jù)問題給出的特殊例子或條件,通過觀察、操作、類比、歸納等方法,探尋相關(guān)問題的規(guī)律與特征.

2.1 循環(huán)型和非循環(huán)型問題的解題策略

2.1.1循環(huán)型問題的解題策略

解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的已知條件分析圖形或數(shù)據(jù)的循環(huán)周期,再確定所求的項(xiàng)與循環(huán)周期中第幾個(gè)一致.

如解答例1時(shí),通過觀察分析31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,可得出個(gè)位數(shù)字3,9,7,1,并依次循環(huán).再求2011÷4的余數(shù)為3,得出32011的個(gè)位數(shù)字與33的個(gè)位數(shù)字相同,都是7.

2.1.2非循環(huán)型問題的解題策略

這類問題中的已知項(xiàng)遵循共同的表達(dá)式.解題時(shí)應(yīng)側(cè)重對(duì)已知項(xiàng)進(jìn)行比較分析,尋找共同的規(guī)律,再列出表達(dá)式.

2.2 數(shù)列、代數(shù)式型,純圖形型,數(shù)列、代數(shù)式與圖形結(jié)合型和動(dòng)手操作型問題的解題策略

2.2.1數(shù)列、代數(shù)式型問題的解題策略

解決這類問題時(shí),先寫出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu),再通過比較各數(shù)或式中相同部分和不同部分,找出各部分特征.若是循環(huán)型問題,就按循環(huán)型解題策略進(jìn)行解答;若是非循環(huán)型問題,首先要觀察題中已知項(xiàng)的結(jié)構(gòu),若能把它們都直接與序號(hào)建立聯(lián)系,就可以直接寫出表達(dá)式.如解答例2時(shí),通過觀察2,4,8,16,直接得到第n項(xiàng)的表達(dá)式2n,則第90項(xiàng)是290.又如解答例3時(shí),可以看出每個(gè)式子所表示的意義是:一個(gè)數(shù)與比它大2的數(shù)相乘的積減去它們平均數(shù)的平方,所得的差都等于-1.把它與序號(hào)對(duì)應(yīng)起來,第n個(gè)式子為n(n+2)-(n+1)2=-1.

若已知項(xiàng)比較復(fù)雜,無法直接得到表達(dá)式.解題時(shí)首先要對(duì)已知項(xiàng)進(jìn)行不斷的改寫,一直到分離出各項(xiàng)都含有不變的部分和變化的部分,且變化的部分與序號(hào)有直接聯(lián)系.即把復(fù)雜的項(xiàng),通過改寫進(jìn)行轉(zhuǎn)化,變?yōu)楹?jiǎn)單的容易解答的幾個(gè)小部分.

例7 觀察數(shù)列5,11,19,29,…則第n項(xiàng)可以表示為____.

數(shù)列各項(xiàng)之間既不是等比關(guān)系,也不是等差關(guān)系.由觀察直接得到表達(dá)式有困難,需要對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行拆分.由分析可知,改寫時(shí)可考慮從各項(xiàng)中分離出一個(gè)等差或等比數(shù)列.由于初中探究規(guī)律型問題的表達(dá)式多為一次函數(shù)和二次函數(shù),從而可考慮從各項(xiàng)中分離平方項(xiàng),即1,4,9,16.把原題改寫為1+4,4+7,9+10,16+13,再分析4,7,10,13,將二者組合起來,就得第n項(xiàng)的表達(dá)式n2+3n+1.

由于此類問題的表達(dá)式在初中以一次函數(shù)和二次函數(shù)居多.若不能對(duì)題中已知項(xiàng)進(jìn)行順利改寫,可以對(duì)它們進(jìn)行整體觀察.當(dāng)認(rèn)為是一次函數(shù)關(guān)系時(shí),先依據(jù)其中兩項(xiàng)的值,用待定系數(shù)法求出表達(dá)式,再把所有剩余項(xiàng)的值分別代入表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證,看是否都適合于所求表達(dá)式.若有一項(xiàng)不適合,則說明判斷錯(cuò)誤.再求其二次函數(shù)表達(dá)式,若都不適合,只能回歸到改寫的方法上[2].

2.2.2純圖形型問題的解題策略

此類問題能提高學(xué)生讀圖能力,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形細(xì)節(jié)變化的觀察分析能力.解答時(shí),應(yīng)注重分析相鄰圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別,結(jié)合整體,找出內(nèi)在變化或排列規(guī)律.此類問題多為循環(huán)型.

2.2.3數(shù)列、代數(shù)式與圖形結(jié)合型問題的解題策略

解決這類問題時(shí),可以先求出每一個(gè)圖形所對(duì)應(yīng)的值,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列型問題,然后再按數(shù)列型問題進(jìn)行探究.當(dāng)求得的數(shù)列比較簡(jiǎn)單時(shí),這種方法很有效.當(dāng)數(shù)列比較復(fù)雜時(shí),以上方法就不一定有效.此時(shí),需要對(duì)圖形進(jìn)行觀察、分析、思考,把圖形拆分成幾個(gè)小部分,再對(duì)每個(gè)小部分的變化規(guī)律進(jìn)行探究.最后把各小部分的規(guī)律組合,形成整體的規(guī)律.

例8 如圖3所示,把大小相等的小方塊按下圖所示方法堆放,第n個(gè)圖形有____塊小方塊.

圖3 相等小方塊的堆放規(guī)律

解法1 把圖形自上而下一層一層地拆分,得到一組式子:①1;②1+5;③1+5+9;…這是求等差數(shù)列各項(xiàng)之和.這對(duì)初中生而言,具有一定的難度.

2.2.4動(dòng)手操作型問題的解題策略

解決這類問題時(shí),首先要認(rèn)真閱讀理解題中對(duì)操作要求的描述,切不可在一知半解的狀態(tài)下就開始操作、想象,以免出現(xiàn)錯(cuò)誤的操作,得出錯(cuò)誤結(jié)果,白費(fèi)力氣.其次,操作過程一定要認(rèn)真,不可麻痹大意,避免出現(xiàn)操作失誤.在操作正確的情況下,要記錄好每一步結(jié)果,以便對(duì)整體規(guī)律的探究.

例如,解答例6時(shí),在讀題、讀圖時(shí)要弄清骰子相對(duì)面上點(diǎn)數(shù)分別是1點(diǎn)與6點(diǎn),2點(diǎn)與5點(diǎn),3點(diǎn)與4點(diǎn).圖①是初始狀態(tài).每一次變換如圖②所示,分為兩個(gè)步驟:第一步,向右翻滾90° ;第二步,在桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.對(duì)于無法進(jìn)行實(shí)物操作且憑空想象能力較弱的學(xué)生,可建議他們?cè)诓莞寮埳袭嫵鲞B續(xù)的若干次變換,如圖2所示.從第一次開始,記錄下后續(xù)幾次變換后朝上的點(diǎn)數(shù)依次是:5,6,3,5,6,….可得這是按5,6,3為一周期的循環(huán)型問題,則第20次變換后朝上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn).

3 結(jié)束語

探究規(guī)律型問題的取材十分廣泛,形式也靈活多樣.近年中考中還出現(xiàn)了與定義新運(yùn)算、閱讀理解等問題相結(jié)合的探究規(guī)律型問題.這類問題有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生解決問題的能力.解決這類問題時(shí),要綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí),多角度探究問題的求解方法.