姚愛亮

(江蘇省鹽城市第一中學 224005)

2023年全國乙卷理科第11題是一道圓錐曲線中點弦問題,條件簡潔,背景熟悉,主要涉及直線與雙曲線相交、弦中點等,解決的方法往往采用數形結合思想、點差法、“設而不求”的方法和韋達定理.

1 試題呈現

A．(1,1) B．(-1,2)

C．(1,3) D．(-1,-4)

2 試題解析

解法1——“小題大做”[1]

對于選項C,可得kOM=3,kAB=3,則直線AB的方程為y=3x,而雙曲線的漸近線為y=±3x,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤．

顯然“小題大做”運算大,耗時長,而且容易出錯,在考場上應謹慎使用．

解法2——“小題小做”

學生對圓錐曲線中弦的斜率與弦中點之間的關系是熟悉的,解法2借助雙曲線漸近線這一幾何特征線,抓住直線與雙曲線相交時直線的斜率與漸近線斜率之間的大小關系,進而得到弦坐標中點的條件,從而很快鎖定正確選項．

3 回溯本源

解(1)當過點P的直線l的斜率不存在時,若l與雙曲線相交于A,B兩點,且點P為弦AB的中點,根據雙曲線的對稱性可知,顯然只有點P在x軸上,此時以點P(x0,0)(x0>a,x0<-a)為中點的弦AB所在的直線l是唯一存在的．

圖1

在教科書中也可以找到類似的問題:

4 結束語

2023年,教育部考試中心命制的六套高考數學試卷難度較去年均有所降低,但保持試題靈活性不變、創(chuàng)新性不變,突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力,科學引導中學教學,促進考教銜接.作為一名數學教師,課堂教學中應注重知識 產生的過程,注重數學學科的本性原法,教會學生如何思考問題,促使學生將知識和方法內化為自身的知識結構,把握問題本質,以不變應萬變, 以使學生在高考考場上能迅速找到解決問題的突破口[4].