馮 娟

(江蘇省如皋市實驗初中 226500)

印冬建

(江蘇省如皋市教師發(fā)展中心 226500)

教材是數(shù)學教學最重要的工具．在初中數(shù)學“鏈+”課堂[1]中,核心教學資源一般取自教材．但有時由于教材資源與學生認知水平、發(fā)展速度不能完全匹配,教師常會基于學生的發(fā)展需求,對教材資源進行優(yōu)化調(diào)整與豐富完善,重構課時教學資源．“鏈+”是重構數(shù)學教學資源的一種有效策略,教師通過豐富教材資源優(yōu)化教學過程,形成環(huán)環(huán)相扣的課時資源,推動學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展,達成學科育人目標．本文結(jié)合人教版九年級下冊“銳角三角函數(shù)”(第1課時)的教學資源建設談談筆者的思考,供大家參考．

1 教學分析

1.1 教材資源簡述

教學資源見表1.

表1 教學資源

1.2 學情分析

在學習本節(jié)內(nèi)容之前,學生已經(jīng)學習了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),對函數(shù)的學習內(nèi)容、方法、流程等都有了最基本的認識．但由于上述函數(shù)的學習均是在代數(shù)中展開的,而本單元要探索的正弦、余弦、正切等銳角三角函數(shù)均是基于圖形展開的,其在探索過程、內(nèi)容與方式上與前面的函數(shù)學習有明顯差異．因此,如何將學生在前面函數(shù)中積累的“四基”巧妙地遷移到新的函數(shù)學習中來,并在形向數(shù)轉(zhuǎn)化的過程中得到深度應用,將是本節(jié)課的一個難點．

此外,在本節(jié)課前學生已經(jīng)較為系統(tǒng)地研究了直角三角形的兩銳角關系、勾股定理、相似三角形等知識,在此基礎上,自然地應進一步研究直角三角形的邊角關系．這是為后續(xù)解直角三角形作鋪墊,更是學習立體幾何、解析幾何以及物理中的力學的有力工具．

基于以上分析,我們將本節(jié)課的重點確定為直角三角形中邊角關系的提出過程以及銳角正弦的定義,將“在概念形成之前,研究直角三角形中銳角的對邊和斜邊的比值和銳角的對應關系”確定為本節(jié)課的教學難點．當然,本節(jié)課除了讓學生理解正弦的概念之外,還應讓學生感受到學習三角函數(shù)知識的必要性、三角函數(shù)知識對科技發(fā)展的作用．

1.3 教學資源建設設想

基于學情和教材給定的教學資源,充分考慮學生發(fā)展的需求,我們擬定對教材資源進行擴充建設,在用好教材的基礎上,從下面三個方面對教學資源進行整合與優(yōu)化．

(1)增加教學資源的函數(shù)味

此前學生已學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),銳角三角函數(shù)作為函數(shù)的一種,在教材中直到第2課時才在旁邊注釋中提及．教材中銳角三角函數(shù)僅作為一個比值給出,沒有像研究其他函數(shù)那樣,從定義、圖象、性質(zhì)等方面進行學習．高中數(shù)學教材教師用書中指出,學習三角函數(shù)時應注意以函數(shù)的一般概念為指導,借鑒其他函數(shù)的研究經(jīng)驗,引導學生自主構建三角函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法[2]．從這個角度看,初中教材與高中教材聯(lián)系甚少,常常會讓學生感覺初高中學習的三角函數(shù)是兩個不同的知識內(nèi)容．為了打破這一現(xiàn)狀,我們應增加教學資源的“函數(shù)味”,讓學生體會到“直角三角形中銳角的度數(shù)與相關邊的比值之間的單值對應關系”,加深學生對銳角三角函數(shù)的理解．

(2)增加教學資源的文化味

人類對三角函數(shù)的認知有著漫長的歷史．三角學的原義為三角形測量,古希臘、印度、阿拉伯數(shù)學中三角函數(shù)的出現(xiàn)最初是由于天文觀測的需要．我國古代最初雖沒有出現(xiàn)三角函數(shù)概念,但是據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,與泰勒斯約為同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度,而后徐光啟等人編寫了《測量全義》,其中有平面三角和球面三角的論述,這些都是我國古代數(shù)學家對銳角三角函數(shù)研究的重要證據(jù)．現(xiàn)在,在天氣預報、建筑設計、航海、測量、國防中都能找到三角函數(shù)的影子,而且諸如物理中的簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等,有許多周期現(xiàn)象都可以建立三角函數(shù)模型來解釋．人教版教材中雖然也有關注到三角函數(shù)的發(fā)展史,但內(nèi)容較少,學生不太能理解研究銳角三角函數(shù)的意義和必要性,我們可以增加一些有利于學生學習的文化素材．

(3)增加教學資源的探究味

學生的探究能力不應僅僅體現(xiàn)在根據(jù)課本問題完成學習活動,更應體現(xiàn)在對研究內(nèi)容的確定、研究方法的選擇,以及研究結(jié)束后對研究過程的反思及研究經(jīng)驗的積累上．從這個角度看,本節(jié)課的學習不能單純地停留在對正弦概念的探究上,而應該從知識結(jié)構的完整性出發(fā),引導學生分析、歸納出直角三角形邊、角關系的所有研究內(nèi)容,形成一個研究框架,并對已有的“四基”展開合情遷移,為后續(xù)的余弦、正切學習積累知識與經(jīng)驗．這就要求我們應基于教材給定的教學資源,進行資源探究性升級,一方面給教材資源增加探究味,讓結(jié)論的得出過程稍微復雜一些,增加探究的環(huán)節(jié)和時間,讓學生在深度參與中獲得結(jié)論;另一方面,可增加引發(fā)學生深度思考的新素材,為學生提供認識正弦的不同視角,讓學生在經(jīng)歷了畫圖、計算、觀察、猜想、論證等活動后,得到正弦的定義及全章的知能網(wǎng)絡．

2 “銳角三角函數(shù)”(第1課時)教學資源建設及簡析

·活動1 創(chuàng)設情境,引入課題

教學資源建設 教材資源1,新增資源1～2

新增資源1 介紹意大利比薩斜塔的小視頻．

新增資源2 問題:對于直角三角形,我們研究過哪些知識?(角與角的關系,三條邊的關系)我們還應該研究什么?那么邊與角的關系是怎樣的呢?本章我們將共同來研究直角三角形中銳角與任意兩邊的比值的關系．任意兩邊之比有哪些呢?(整理之后,確定共有3種類型可研究)

教學設計依次投影教材資源1、新增資源1,在學生觀影后引導學生將“求出1972年時比薩斜塔的傾斜角”轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題:已知直角三角形的兩邊長,求銳角的度數(shù)．漸進呈現(xiàn)新增資源2,根據(jù)學生作答,逐步板書,引導學生梳理未來探究內(nèi)容(圖5中虛線框中內(nèi)容)．

圖5

設計意圖以教材資源1和新增視頻資源1激發(fā)學生的學習興趣,引出課題,說明銳角三角函數(shù)的學習是解決實際問題的需要．通過新增資源2 “前鏈后引”[1],引導學生回顧直角三角形已學過的知識,使學生認識到本節(jié)課的學習也是使知識結(jié)構更完整的內(nèi)部需要,逐步確定研究內(nèi)容,勾勒出本章的研究框架,整體感知直角三角形的知識結(jié)構．

·活動2 特例探索,猜想結(jié)論

教學資源建設 教材資源2～3,新增資源3

圖6

設計意圖讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程,在已有結(jié)論的應用、特殊條件的推證和幾何畫板的展示中形成猜想:直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,∠A的對邊與斜邊的比值相等．

·活動3 抽象概念,鞏固概念

教學資源建設 教材資源4,新增資源4～6

新增資源4 以單位圓為背景的一組練習題:

如圖7,在平面直角坐標系中,以O為圓心、 1為半徑作圓,交x軸正半軸于點A,點P(x,y)是圓上第一象限內(nèi)的一個動點,設∠POA=α．

圖7

(1)試表示出sinα．

(2)當α增大時,sinα如何變化?

(3)試分析sinα值的范圍．

新增資源5 三角函數(shù)發(fā)展史與《托勒密與那張古老的“三角函數(shù)表”》史話材料．

基于史話材料的追問:隨著人們對數(shù)學研究的不斷深入,后來的三角函數(shù)表在此基礎上不斷完善．同學們,你們能不能利用提供給你們的正弦表,解決課堂一開始的問題呢?(屏幕呈現(xiàn)正弦表)求1972年比薩斜塔的傾斜角．

新增資源6 借助網(wǎng)絡資源,介紹銳角三角函數(shù)在許多領域起到的作用,如科學研究、生產(chǎn)實踐、軍事活動等．

教學設計應用教材資源4,引導學生抽象新增資源1形成概念,結(jié)合學生探究的結(jié)果引出正弦定義．

設計意圖練習題是利用高中三角函數(shù)的定義背景設置的,除了加深對正弦函數(shù)概念的認識,還增加了初中銳角三角函數(shù)的函數(shù)味,使學生初高中學習能更好地銜接．對學生進行數(shù)學文化熏陶的同時,解決古老的比薩斜塔傾斜角問題,感受三角函數(shù)的應用價值．

·活動4 知能梳理,總結(jié)引申

教學資源建設 新增資源7

新增資源7 問題:本節(jié)課我們學習了哪些知識?定義銳角正弦的過程、方式是什么?你認為今天這節(jié)課所學有什么作用?后續(xù)你還想自主研究哪些問題?

教學設計遞進呈現(xiàn)新增資源7中幾個小問題,引導學生在對話中總結(jié)全課收獲,釋疑解惑,形成基于課時的全域知識網(wǎng)絡．

設計意圖通過新增資源7,引導學生體會“銳角和邊的比值間的函數(shù)關系”,對知識、方法進行梳理與總結(jié),完善板書,形成單元知識結(jié)構．

3 三點啟示

3.1 深入理解數(shù)學,為整體建構充實教學資源

數(shù)學教學要注意整體性,要注意將單個的數(shù)學知識與技能放到整體數(shù)學知能體系中展開教學．教師在進行數(shù)學教學前應首先站在學科視角去理解數(shù)學知能,從內(nèi)涵到外延對所學知能進行全面剖析與解讀,梳理知能的“來龍去脈”,從而確定知能教學的“邊界”．在對知能有了較為全面理解的基礎上,設計指向整體建構的教學資源,讓知能在結(jié)構化的資源鏈中自然生長．因此,有時考慮到教材資源的不足,我們需要為梳理知能的“來龍”“去脈”而補充教學資源．本文課例是“銳角三角函數(shù)”的起始課,除了要學習正弦之外,還要整體建構單元的知識網(wǎng)絡,也就是要讓學生在銳角三角函數(shù)的知識結(jié)構中學習正弦．所以,我們基于教材資源補充“新增資源2”,喚醒學生掌握的直角三角形的角之間的關系、邊之間的關系,逐步建構出的直角三角形的知識結(jié)構,并將本課時的邊角關系探究合理納入到這一結(jié)構中去,補齊知識網(wǎng)絡缺口(圖5);而最后補充的“新增資源7”,通過問題的漸進呈現(xiàn)引導學生回顧探索過程,梳理課時所學,猜想后續(xù)內(nèi)容．這樣的資源補充能促進學生對以正弦為起點的全章數(shù)學知能的整體建構,讓學生在看到正弦這棵“樹木”的同時,更看到了樹木賴以生存的“森林”(全章知識網(wǎng)絡)．

3.2 全面解讀教材,為全面認知完善教學資源

理解數(shù)學知能離不開教材解讀,但“讀教材就是讀所教的教材”這樣的理解顯然是狹隘的．教材解讀,一方面要解讀教學內(nèi)容所在的教材,理解知能本身,理解知能在本冊教材中的地位,找尋出知能在本冊教材中的關聯(lián)內(nèi)容;另一方面,要解讀學段內(nèi)的所有教材,甚至跨學段教材,充分厘清所學內(nèi)容在學段乃至其在整個數(shù)學學習過程中的發(fā)展歷程,徹底明晰課時知能生長的完整路徑．全面的教材解讀有助于教師從全面認知的教學出發(fā)增加能使新舊知識產(chǎn)生聯(lián)系的教學資源,將知能橫向、縱向鏈接在一起,幫助學生既認識知識本身,又發(fā)現(xiàn)知識內(nèi)部之間存在著關聯(lián),形成更完善的知識結(jié)構．在文中這節(jié)課的教學中,不少學生感覺學習三角函數(shù)時較為困難,感覺初高中三角函數(shù)知識聯(lián)系不大．為使初中三角函數(shù)的學習更好地鏈接到高中學習,適當增加初中銳角三角函數(shù)的“函數(shù)味”,設計中注重強調(diào)變化與對應,聯(lián)系函數(shù)知識下定義．在活動3中,以補充的三個新增資源為紐帶將兩個學段的三角函數(shù)學習關聯(lián)起來,既能鞏固當堂課所學定義,也能鏈接到高中三角函數(shù)的研究背景,既能深化初中數(shù)學的學習、拓寬視野,又能為高中數(shù)學學習提供最近發(fā)展區(qū)．

3.3 合理優(yōu)化進程,為素養(yǎng)提升增添教學資源

探究是學生獲取數(shù)學知能的一條最重要的路徑．近兩版《義務教育數(shù)學課程標準》對學習活動的探究性均提出了較高的要求,對此,一線教師一直努力在教學中加以落實．但有時由于教材資源的探究性不足,如果僅按照教材給定的資源與流程教學,學生的素養(yǎng)難以得到充分發(fā)展．所以,對探究性資源不足的教學內(nèi)容,可適當增加探究資源,并基于新增資源優(yōu)化探究的過程,讓學生的探究過程更加充分,增加知識獲得過程的“含金量”,讓學生在目標探究中形成積極向上的數(shù)學情感,形成良好的學習習慣以及正確的人生觀、價值觀．對于文中這節(jié)課而言,直角三角形的銳角與邊的比值之間的函數(shù)對應關系是教學難點．為了讓學生在體會這種對應關系的同時發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng),教師新增幾何畫板資源(新增資源3),用幾何畫板動態(tài)演示,讓學生從同類問題中發(fā)現(xiàn)結(jié)論,發(fā)展了幾何直觀、空間觀念、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng),獲得了探索數(shù)學結(jié)論的一般方法,體會到特殊與一般的關系,初步形成學會辯證地看問題的能力．此外,借助史話材料《托勒密與那張古老的“三角函數(shù)表”》引導學生解決比薩斜塔傾斜角的問題,讓學生學會用所學知識解決簡單的實際問題,發(fā)展學生的幾何直觀、空間觀念、邏輯推理、運算能力、應用意識等諸多核心素養(yǎng)．

教學資源是教學內(nèi)容的載體,是教學目標得以實現(xiàn)的保障．在日常教學中,教師應多積累,多從學生的心理與認知特征考慮,放眼于長遠的發(fā)展目標,適當補充教學資源．通過補充教學資源,使學生的認知過程更順暢、知識結(jié)構更完整．通過補充教學資源,激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,滲透數(shù)學歷史與數(shù)學文化,促進其數(shù)學核心素養(yǎng)的提高．