湯一鳴 馬兆海 耿鳳杰

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院 100083)

1 引言

含參量不等式恒成立問題是不等式、函數(shù)、方程等知識的交叉,對于這類新高考的熱點(diǎn)考題,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難以形成固定的解題策略,遇到這一類問題時(shí)失分嚴(yán)重.不等式恒成立問題與函數(shù)最值聯(lián)系緊密,要求學(xué)生將化歸、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想融會貫通,學(xué)會一題多解．本文以2023年新高考Ⅰ卷第19題為例談?wù)勗搯栴}的解題教學(xué)策略．

2 追本溯源,真題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

3 撥云見日,解法探究

(1)f′(x)=aex-1,當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0在R上恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=-lna,在(-∞,-lna)上f′(x)<0,在(-lna,+∞)上f′(x)>0.綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0在R上恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增．

第(2)題給出了3種解法:

點(diǎn)評本題是一道典型的含參量不等式恒成立問題,但是它不具備進(jìn)行參變量分離的條件,且其中給出的函數(shù)是非常規(guī)函數(shù).注意到第一問求得f(x)的單調(diào)性,且不等式的右端不含自變量x,根據(jù)不等號的方向確定我們只需尋求f(x)的最小值,從而直接轉(zhuǎn)化成求解函數(shù)f(x)的最小值問題.對于此解法,由于復(fù)習(xí)備考中對恒成立問題已有訓(xùn)練,因此學(xué)生容易想到利用導(dǎo)數(shù)思想求解函數(shù)相關(guān)問題,少數(shù)學(xué)生在問題轉(zhuǎn)化過程中出現(xiàn)邏輯混亂,錯(cuò)誤地去求了函數(shù)的最大值．

點(diǎn)評對于解決含參量不等式恒成立問題,移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)不失為學(xué)生容易接受的方法之一,所以大部分學(xué)生能夠考慮到將原問題轉(zhuǎn)化為求解新構(gòu)造函數(shù)的最值,使原問題迎刃而解.可是,運(yùn)用這種方法的弊端在于,在中學(xué)數(shù)學(xué)知識范圍內(nèi),新構(gòu)造的函數(shù)不一定能順利求得其最值,所以學(xué)生可以在嘗試該方法的基礎(chǔ)上判斷是否可行.對于此解法,部分學(xué)生得到新構(gòu)造函數(shù)的最小值后發(fā)現(xiàn)形式不夠簡潔,并不能一眼看出正負(fù),從而產(chǎn)生錯(cuò)誤的心理暗示,無法繼續(xù)求解．

4 活學(xué)活用,變題訓(xùn)練

變題2已知函數(shù)f(x)=ex-a,證明:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)≥e ln(ex+a).

5 教學(xué)建議

(1)重視解題靈感與基本題型相結(jié)合

對學(xué)生而言,通過恒等變形構(gòu)造函數(shù)及帶有隱零點(diǎn)的函數(shù)最值問題常常成為解決問題的“攔路虎”．真題解法3和變題2中,利用恒等變形的基礎(chǔ)是熟練運(yùn)用指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行化簡,帶有隱零點(diǎn)的函數(shù)最值問題建立在用導(dǎo)數(shù)方法分析函數(shù)的最值之上．學(xué)生無法將這些基本題型遷移到待解決的問題上,解題思路就很難順暢．解題靈感來源于對高中數(shù)學(xué)基本題型解題方法的積累,教學(xué)環(huán)節(jié)一方面應(yīng)注重對基礎(chǔ)知識的深度理解,培養(yǎng)學(xué)生的領(lǐng)悟力與獨(dú)立分析能力,另一方面建議以教材為基礎(chǔ),以新高考試題為標(biāo)桿,加強(qiáng)優(yōu)質(zhì)習(xí)題課建設(shè),夯實(shí)基礎(chǔ),將各部分知識系統(tǒng)化處理與融合,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,推動由“雙基”到能力的升華．

(2)重視數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的集中體現(xiàn),是數(shù)學(xué)最為顯著的特征,是支撐全部數(shù)學(xué)大廈的脊梁,是數(shù)學(xué)知識發(fā)展的主線,是數(shù)學(xué)重要成就的提煉與反映[2]．轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和函數(shù)與方程思想在含參量不等式恒成立問題中的地位尤為顯著.學(xué)生總是將數(shù)學(xué)思想當(dāng)作一種“方法”,形成做題的思維定式.比如在變題1中,學(xué)生容易陷入直接證明恒成立的“泥潭”,若換個(gè)角度思考,利用反證法,將恒成立作為條件,思路會柳暗花明．作為教師,應(yīng)從數(shù)學(xué)思想角度切入教學(xué),給予學(xué)生有價(jià)值的落腳點(diǎn),充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想在育人層面上的抓手作用．因此,教學(xué)中應(yīng)該摒棄一些邏輯思維跨度大、技巧性強(qiáng)的題目,避免給學(xué)生造成就題論題的困境,否則將不利于其深刻領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想．教師在講授含參量不等式恒成立問題時(shí),可以詳細(xì)解讀典型例題,注重凸顯不同例題中數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)區(qū)別,給學(xué)生時(shí)間去領(lǐng)會如何找到問題的突破口,以培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

(3)重視一題多解與一題多變

參變量分離法是學(xué)生解決含參量不等式恒成立問題的“法寶”．從真題角度上看,不是所有題目都能分離參變量,學(xué)生往往只知道方法本身而忽視了方法適用的條件．其實(shí)真題的解法多變,但考場上學(xué)生往往局限于一題一解,憑借自己的“經(jīng)驗(yàn)”解決問題,一旦思路阻斷就無法解題,因此課堂教學(xué)不是簡單解決問題的過程,還要教師注重一題多解的教學(xué)．高考試題具有穩(wěn)中求變的特點(diǎn),要求教師經(jīng)過變題解題教學(xué),幫助學(xué)生梳理變題中不變的思路與破題點(diǎn),挖掘變題的創(chuàng)新之處,培養(yǎng)學(xué)生全方位思考的品質(zhì)．