楊朝暉,高天石,李崇赫,賀子力

(1.西北工業(yè)大學 航空學院,陜西 西安 710072; 2.西北工業(yè)大學 深圳研究院,廣東 深圳 518057)

1 問題的提出

復雜機械裝備制造和裝配過程中的誤差產生與累積對機械產品的性能影響顯著,例如含有過盈配合的復雜機械裝備,裝配應力導致的零部件結構變形量大小接近甚至遠遠超過其制造誤差大小,忽略結構變形將使機械裝備裝配精度預測結果與真實情況不符,進而可能大大降低機械裝備的使用壽命以及可靠性,增加機械裝備使用與維護成本。因此,亟需研究能夠綜合考慮制造誤差與裝配變形的公差分析方法,優(yōu)化機械裝備零件公差以提高裝備使用性能與可靠性。

長期以來,眾多學者對機械裝備裝配誤差進行了研究,并在公差模型的建立、公差的計算方法等領域取得了許多進展[1]。在公差建模方法上,EVANS[2-3]提出可用于一/二維公差分析的數學表達式。REQUICHA等[4]提出了能夠描述公差域的變動空間的實體漂移模型。CLEMENT等[5-7]提出了可以精確描述特征在空間位置與方向的旋量模型,可以準確地表達制造過程偏差。表1展示了不同形狀的公差帶對應的數學約束。MUJEZINOVIC等[8]提出了基于幾何建模理論的T-MAP模型,該模型與ASME標準吻合并且較好地表達了公差間的耦合關系。LAFOND等[9]和LAPERRIERE等[10]引入了虛擬關節(jié)概念,提出了雅可比模型。在此基礎上,DESROCHERS等[11]將小旋量模型與雅可比模型相結合,提出了雅可比旋量模型。然而,隨著航空航天領域中柔性零部件的大量應用,假設零件為剛體的傳統(tǒng)公差理論逐漸難以預測復雜機械產品的裝配精度,考慮零件變形的公差分析方法成為了研究熱點。

表1 常用特征的小位移旋量表示

近年來,許多學者針對這一問題進行了深入的研究。SAMPER等[12]利用彈性體剛度矩陣在公差模型中引入變形,改進了矩陣分析模型。BENICHOU等[13]通過將熱變形引入到公差分析模型中,分析了熱膨脹對產品間隙造成的影響。胡鵬浩等[14]利用熱力學和彈性力學理論對滑動軸承變形進行了定量分析并確定了滑動軸承的設計公差。張為民等[15]提出了基于雅可比旋量的公差建模方法,計算了實際工況下齒輪泵的裝配公差。馮等[16]提出了基于GPS理論的齊次坐標變換方法,計算了某型尾座頂尖在工作載荷下的裝配精度。劉檢華等[17]提出了綜合表面形貌與受力變形的裝配精度分析方法,計算了某多面體模型的裝配精度。MA等[18]研究了載荷對產品裝配偏差的影響,提出了一種基于膚面模型的統(tǒng)計學裝配仿真方法。劉建永等[19]通過研究加工與變形離散誤差,提出了考慮加工誤差與變形誤差的裝配傳遞模型。上述方法難以解決載荷作用下零件產生的復雜變形的求解問題,并且忽略了針對機械零件的復雜變形提取與公差轉化這一核心問題,除此之外,以上模型還存在計算模型較為復雜,計算效率較低,計算精度不夠等問題。

針對以上問題,本文基于小位移旋量法和雅可比矩陣法,提出一種考慮零件變形的修正的雅可比旋量分析方法來預測變形后的機械產品真實裝配精度。該方法結構簡單,算法簡潔,計算效率較高,具有較高的工程應用價值。本文首先構建了基于雅可比旋量法的考慮變形的公差分析模型,然后研究了基于有限元的特征表面誤差提取方法與公差折算方法,并以某型作動筒為分析對象,揭示了作動筒裝配精度的形成機理。

2 基于雅可比旋量方法的公差建模

雅可比旋量模型由DESROCHERS等[11]提出的公差分析模型,該模型結合了適合公差表達的小旋量模型和適合公差傳遞的雅可比矩陣,結構清晰,算法簡潔,得到了廣泛的關注和深入的研究。

雅可比旋量模型包括公差表達和公差累計計算兩部分,其三維公差信息采用小旋量模型進行表達,如圖1所示,該理論的核心認為一個零件的幾何要素的變動可由一個小位移旋量D表示。小位移旋量D由一個表示沿坐標軸平動的向量ε和一個沿坐標軸轉動的向量ρ構成,即

(1)

圖1 特征的公差域及旋量模型

式中:u,v,w表示幾何要素沿坐標軸x,y,z的微小平動,α,β,γ表示幾何要素繞坐標軸x,y,z的微小轉動。

公差域是用來控制零件幾何要素變動的范圍和區(qū)域,是加工與檢驗的技術依據。常見的公差帶形狀有圓形公差帶、環(huán)形公差帶、平面公差帶、圓柱面公差帶等。不同形狀的公差帶可以轉化為如表1的數學形式。

雅可比旋量模型的公差累計計算是通過雅可比矩陣實現的,公差累計是在公差表達的基礎上,對公差進行解算的過程,該方法通過矩陣乘積的形式表達特征間的誤差積累過程。雅可比矩陣將因為生產或裝配等因素產生的實際零件功能元素FE,通過矩陣傳遞到裝配體的尾端,得到反映零件設計的實際零件裝配結果FR。每個零件都包含一個局部坐標系,每個局部坐標系對應一個雅可比矩陣,各部分雅可比矩陣組合成為該裝配體的總體雅可比矩陣如下:

(2)

局部坐標系對應的雅可比矩陣為:

(3)

(4)

雅可比模型適合公差傳遞,小旋量模型擅長公差表達,將兩者進行結合,充分利用各自優(yōu)點,即組成了雅可比旋量模型。對于由n個特征組成的裝配體,其雅可比旋量模型的表達式如下所示:

(5)

3 考慮變形的雅可比旋量模型構建

在產品制造和服役過程中,機械產品會受到負載、溫度等因素的影響,這些因素將使零件特征表面產生微小的變形,這使得以理想狀態(tài)計算得到的公差結果無法真實地反映產品的實際情況。為了解決雅可比旋量模型對產生變形的產品公差預測不準的問題,需要考慮實際工況的影響,構建考慮變形的雅可比旋量模型。如第2章所述,雅可比旋量模型包括公差表達和公差累積計算兩部分。在穩(wěn)定狀態(tài)下,外部因素對零件的影響主要體現在其尺寸、形狀和位置的變化。即外部因素會對零件的雅可比矩陣J和功能特征FE均造成一定影響,進而影響到裝配體的最終裝配精度。

3.1 功能特征修正

雅可比旋量模型是通過小旋量模型對零件的公差進行表達,小旋量模型是通過一個表示沿坐標軸平動的向量和一個沿坐標軸轉動的向量對零件功能特征進行描述。但由于裝配、載荷等因素作用,實際零件的功能特征必然發(fā)生改變,這些改變將導致零件的實際公差值也發(fā)生改變。如何以數學形式來描述零件功能特征變形對公差的影響,是考慮變形的公差分析過程中的一大難點。本文根據新一代產品幾何技術規(guī)范(Geometrical Product Specifications,GPS)對產品進行規(guī)范認證的思想,提出采用擬合表面的方法對產品功能特征進行描述,并在此基礎上對小旋量模型進行修正。

(1)有限元分析

以產品的公稱表面模型對產品進行有限元分析,以該變形近似代替實際配合表面產生的變形。馮等[16]通過對比同一公差域內多組理想配合表面的有限元分析結果發(fā)現,實際配合表面的變形量與理想設計表面的變形量基本相同。為了便于公差的表達,同時不損失計算精度,故采用公稱表面模型的變形量代替實際配合表面的變形量。

(2)變形量疊加

通過公稱表面模型的產品有限元結果,提取公差分析所需的關鍵功能特征的原始節(jié)點坐標以及各節(jié)點沿全局坐標系的x,y,z軸3個方向的變形量,將對應節(jié)點的變形量與原始坐標沿對應方向進行疊加,得到代表實際幾何表面的點集。

(3)特征擬合

擬合是依據特定準則用理想要素逼近非理想要素的操作,目的是用某一理想要素對某一非理想要素的特征進行描述和表達,并根據相應的準則完成非理想要素到理想要素的轉化。擬合可以表示為滿足一定約束和目標的要素集。常用的幾種擬合方法有最小二乘法、最小區(qū)域法、單邊切比雪夫法、最大內切法、最小外接法等。選用某一特定準則對實際幾何表面的數據點進行擬合,得到擬合結果。

(4)小旋量模型修正

根據理想要素對非理想要素的轉化結果,得到理想要素對非理想要素的表達。將擬合得到的理想要素轉化為對應的公差信息,可以得到擬合的理想要素的形狀公差,假設該偏差與理想設計表面形狀公差不發(fā)生耦合,因此可將該偏差與理想設計表面形狀公差疊加可得Δd,Δd表示變形后零件的實際形狀公差。按照表1進行求解,即可得到修正后的小旋量模型D′,

3.2 雅可比矩陣修正

小旋量模型針對特征面變形后的形狀公差進行修正,雅可比矩陣針對特征面變形后的尺寸公差與位置公差進行修正。由于載荷、溫度等因素作用,零件特征面的尺寸和位置必然發(fā)生改變,這些改變將導致以理想特征面構建的參考坐標系位置與姿態(tài)的改變,變形后特征面的位置與姿態(tài)變化可由坐標系的平移和繞坐標軸的旋轉兩部分組成,變形前后坐標系變動可用如下矩陣進行表示:

式中:δui,δvi和δwi分別表示變形后坐標系原點與變形前坐標系原點在全局坐標系x,y,z方向的平移量;δαi,δβi和δγi表示變形后坐標系繞著變形前坐標系在全局坐標系x,y,z軸的旋轉量。局部坐標修正矩陣如下所示:

(8)

(9)

式中:

(10)

(11)

4 工程應用案例

如圖2所示是某型作動筒的三維裝配圖。該結構由筒體、外襯套、活塞桿、內襯套、后蓋等零部件組成。其中內外襯套的材料均為鋁青銅,作動筒其余零件的材料均為不銹鋼。其中,內外襯套與筒體均采用過盈配合進行裝配,以保持襯套與筒體位置的相對固定;內外襯套與活塞桿均屬于間隙配合。該機構需要保證和控制外襯套凹槽與活塞桿外表面的距離,以保證密封圈的正常使用。

圖2 某型作動筒三維爆炸圖

經初步分析,外襯套凹槽與活塞桿表面距離僅與外襯套和活塞桿這兩個零件有關。因此,僅選取這兩個零件作為公差分析對象,構建三維公差分析模型。如圖3所示的組成環(huán)A1即為外襯套凹槽的基本尺寸大小,組成環(huán)A3即為活塞桿的基本尺寸大小,封閉環(huán)A2即為外襯套凹槽到活塞桿的表面距離。

圖3 各局部坐標系的相對位置

4.1 建立雅可比旋量模型

以活塞桿外表面為基準建立全局坐標系,在各零件適當位置建立零件坐標系,并在零件功能特征的對應位置建立局部坐標系。各坐標位置如圖3所示,各局部坐標均建立在特征的理論中間或裝配中心位置。

根據零部件的功能特征、公差以及裝配特點,利用圖論理論,可建立如圖4所示的零件裝配關系圖。該圖體現了外襯套與活塞桿外表面之間的配合,表明了該部件串聯的裝配連接形式。

圖4 功能連接圖

由圖4可知,該裝配體存在一條公差傳遞路徑:O0-O1-O2-O3-O4。因此有如下表示公差傳遞的雅可比旋量關系式:

(12)

依據第2章理論,可計算出各功能特征雅可比矩陣及旋量。計算得到的雅可比矩陣與功能特征的旋量表達如表2所示。

表2 變形前雅可比矩陣與特征旋量模型

利用雅可比旋量法,通過式(5)計算可得:

(13)

FE4/0表示無變形的情況下,坐標系O3和O4在空間的變動范圍。該向量表達式表示了理想情況下活塞外表面到外襯套凹槽之間的距離。由式(13)可以看出,沿y方向上活塞外表面與外襯套凹槽的距離為[-0.2098,0.2098]。

4.2 構建修正的雅可比旋量模型

由于外襯套與筒體采用過盈配合,會使外襯套與筒體的表面要素產生相應變形,過盈配合導致的零件表面要素變化會改變零件原有的功能特征,進而影響其他部分的裝配性質。為了獲得更加準確的裝配體精度預測結果,需要建立考慮變形的公差分析模型。本文以某型民機方向舵作動筒為例,首先對其裝配變形進行了有限元分析,然后將發(fā)生形變的零部件特征面離散成點云數據,并基于新一代幾何技術規(guī)范(GPS)將其擬合,構建了綜合考慮裝配應力、制造與裝配誤差的公差分析模型。

4.2.1 有限元分析

為了簡化模型以提高運算效率,本文選擇外襯套與筒體作為研究對象進行有限元分析,基于Ansys求解該部件的過盈變形。首先將模型導入至Workbench,并設置筒體的材料為不銹鋼,外襯套的材料為錫青銅;然后設置兩零件接觸為有摩擦,摩擦系數選擇0.2,并劃分網格,網格數量為230 578;設置筒體外表面固定約束,選擇迭代求解器進行迭代求解,仿真結果如圖5所示。在此基礎上,提取所需特征面的變形信息數據,并對所得數據進行處理。

圖5 裝配后外襯套凹槽變形云圖

本文中外襯套插入筒體后的密封槽內表面是進行裝配體公差分析的關鍵特征。該變形特征尺寸尺度較小,變形云圖如圖5所示。該特征變形后在空間分布如圖6所示,藍色圓點表示特征變形前的位置,紅色圓點表示特征變形后的位置,由圖不難看出,該特征變形前后仍為一個圓柱,其中紅色圓點相較于藍色圓點沿徑向收縮了一個位移量。為了便于觀察變形前后的微小變形,將所得的特征點在xoy平面上進行投影,并將變形前后數據疊加在直徑為0.1 mm的基圓上,得到如圖7所示的圖像。其中,藍色部分表示特征變形前的位置,紅色部分表示特征變形后的位置,該圖像可以清晰地顯示外襯套特征表面的徑向變形量。

圖7 0.1 mm基圓疊加變形圖像

4.2.2 坐標點處理與擬合

本文采用MATLAB編寫圓柱特征擬合程序,該程序基于MSAC(M-estimator sample consensus)方法對提取的數據進行擬合。MSAC方法可以較好地剔除“噪聲點”對擬合結果的影響,有效地避免了對初始試驗數據分析判斷過程,相較于其他擬合方法更加簡潔易用,有較好的魯棒性與準確性。

采用該擬合方法可以獲得變形后的圓柱模型,并求得變形后圓柱特征的平動和轉動信息。該程序將整個變形點云作為輸入,通過控制點到擬合位置的最大距離,找到滿足此條件下的最優(yōu)解。圓柱擬合結果如圖8所示。

圖8 擬合圓柱圖像

由程序運行結果可知,擬合得到的圓柱面半徑為22.10 mm,方向向量為(0,0,1),高度為4.87 mm。變形前圓柱面半徑為22.11 mm,方向向量為(0,0,1),高度為4.78 mm。即該圓柱變形后沿徑向收縮了0.01 mm,并沿著z軸方向伸長了0.09 mm。

4.2.3 修正矩陣的確定與計算

因為活塞未發(fā)生變形,所以其全局坐標系與局部坐標系未發(fā)生變化。以外襯套建立的局部坐標系由于變形的影響將會發(fā)生改變。以外襯套凹槽特征為例,該凹槽理想設計圓柱軸線為平行于軸線z的直線,即該圓柱方向向量為(0,0,1),并且該向量經過點(0,0,0)。由程序運行結果可知,擬合該特征得到的圓柱軸線方向向量為(0,0,1),且該向量經過點(0,0,0.0152),即坐標系x3o3y3與x4o4y4沿z軸平移了0.015 2 mm。同理可得坐標系y的變化情況。假設特征的形狀公差為對應點沿擬合特征法線方向變形前后最大距離,由程序結果還可以得到特征的形狀公差約為0.001 mm。由此,并結合上節(jié)的變形數據,可以計算出變形后的雅可比矩陣與功能特征的旋量表達。變形后的雅可比矩陣與功能特征如表3所示。

表3 變形后雅可比矩陣與特征旋量模型

將變形后的數據代入式(11),利用雅可比旋量法,計算可得變形后的目標公差分布規(guī)律:

(14)

由表3可知,過盈配合導致作動筒的參與公差分析的特征表面均產生變形。將式(13)和式(14)的結果進行對比易知,過盈配合引起的作動筒的特征表面變形將導致活塞與外襯套凹槽之間距離的公差范圍變大。變形前活塞外表面與外襯套凹槽在y方向的公差范圍為(-0.2098,0.2098),變形后y方向的公差范圍在(-0.2194,0.2194)之間,沿y方向的極限偏差增大了約0.01 mm,該范圍大約增加了5%。同理可得沿x,y,z方向的移動或者偏轉的公差變化范圍,相對于不考慮變形的分析結果,考慮變形的作動筒裝配精度在x,y,z方向上的變化范圍均偏大。以上結果定量地體現了表面特征與受力變形對于產品裝配精度的影響,提供了更加準確的公差分析結果。該結果同時說明了零件的變形將導致外襯套凹槽到活塞表面的距離范圍變大,運動精度將隨之變差,這將極大地增加外襯套處密封圈與活塞外表面的磨損的風險。為了降低密封圈的磨損風險,提高作動筒的使用壽命,需要考慮減小凹槽的尺寸公差或增加特征基本尺寸來彌補過盈配合導致凹槽內縮的情況。該結果能較好地解釋密封圈與活塞桿之間在相對運動時非正常磨損的現象。

5 結束語

本文基于小位移旋量理論與雅可比模型理論,構建了考慮工況作用下產品變形的公差分析模型,提高了裝配精度分析的準確性,并應用該模型對某型作動器進行了公差分析。結果發(fā)現變形后的作動器的裝配精度要小于變形前的裝配精度,該結論較好地解釋了密封圈在做動時的非正常磨損現象。

本文首先對工況下的誤差分類以及折合方法進行了探討:工況下的產品誤差可以劃分為尺寸誤差、位置誤差以及形狀誤差3類。其中,特征表面的尺寸公差與位置公差可以用雅可比矩陣表達,特征的形狀公差可由小旋量模型進行表達,該方法準確地表達了全部的變形信息。然后本文采用上述方法對圓柱特征進行擬合,得到了擬合表面與相應的公差信息。

本文以某型機載作動筒為工程案例,構建了該產品的考慮變形的裝配誤差分析模型,通過對該產品裝配誤差的精確計算,更精確地了解作動筒的裝配狀態(tài),并以計算結果作為依據,為產品零件的公差優(yōu)化提供了指導。

未來可在如下方面作進一步研究:

(1)針對復雜并行的裝配體進行裝配精度研究。雅可比旋量模型僅適用于串聯零件的公差模型的構建,然而在實際機械產品設計中,許多零部件采用并聯進行連接,需要對并聯條件下的公差模型進行研究,以擴大該模型的適用范圍。

(2)在公差分析計算累計誤差的同時進行敏感度分析,從而獲得不同公差值對累計誤差的貢獻度。目前基于雅可比旋量方法的敏感度分析已有一定的研究,可以結合成本、質量、貢獻度之間的影響規(guī)律實現公差優(yōu)化設計。

(3)具有工程應用價值的公差分析軟件開發(fā)。各個步驟之間均需要手動對其進行操作,并人工對所有信息進行匯總構建公差分析模型。后續(xù)研究工作可以在Ansys平臺的基礎上,對其進行二次開發(fā),使其能夠自動對產品裝配精度進行計算。