王紅菊

【摘 要】在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)表達(dá)的長遠(yuǎn)目標(biāo)即“有條有理，有根有據(jù)”，教師應(yīng)強(qiáng)化課堂上的數(shù)學(xué)表達(dá)，做到言之有物，言之有序，言之有理，言之有情；鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行思維的表達(dá)，在操作、對(duì)比、練習(xí)的過程中，逐步形成規(guī)范、完整、有條理的表達(dá)。

【關(guān)鍵詞】表達(dá) 操作 資源 練習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的三大核心素養(yǎng)，其中之一便是會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。鄭毓信教授指出，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)表達(dá)有益于人們?nèi)粘１磉_(dá)的改進(jìn)或表達(dá)能力的提升。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)表達(dá)的長遠(yuǎn)目標(biāo)即“有條有理，有根有據(jù)”，教師應(yīng)努力讓課堂上的數(shù)學(xué)表達(dá)，做到言之有物，言之有序，言之有理，言之有情。筆者將結(jié)合五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”一課的課堂教學(xué)，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力的一些做法。

一、在豐富的操作中學(xué)會(huì)表達(dá)的方法

學(xué)習(xí)是一個(gè)探索未知的過程，引導(dǎo)學(xué)生在操作中進(jìn)行體驗(yàn)，在體驗(yàn)中進(jìn)行表達(dá)，從而有效地學(xué)習(xí)核心概念。通過操作等活動(dòng)來引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表述，不僅可以訓(xùn)練語言的條理性和準(zhǔn)確性，而且也可以進(jìn)一步把形象思維轉(zhuǎn)化為抽象思維。在引入“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念中，筆者借助“擺”長方形的過程，把圖形與算式有機(jī)結(jié)合起來，幫助學(xué)生掌握概念。

【教學(xué)片段一】

導(dǎo)入：今天的學(xué)習(xí)我們從拼長方形開始。這里有12個(gè)同樣大的正方形，你能用這12個(gè)正方形擺成一個(gè)長方形嗎？

1.你準(zhǔn)備怎么擺？有幾種不同的擺法呢？

先想一想，把你的想法記錄在學(xué)習(xí)單上（如圖1），并用乘法算式表示出來。

完成的同學(xué)和同桌說一說你的擺法以及如何列乘法算式。

2.學(xué)生介紹。

學(xué)生回答：3種擺法及3個(gè)乘法算式。（語言表達(dá)完整，每排擺幾個(gè)，擺幾排，乘法算式是……）

追問：大家想的擺法和他的擺法一樣嗎？有不同的可以補(bǔ)充。

（課件根據(jù)學(xué)生介紹，分別呈現(xiàn)6幅圖3種擺法）

聚焦：每排擺4個(gè)、擺了3排與每排擺3個(gè)、擺了4排其實(shí)是同一種擺法，都可以用乘法算式4×3=12來表示。

下面的這兩個(gè)也是同一種擺法，乘法算式：6×2=12，12×1=12。

3.揭示概念：同學(xué)們，我們一起來看，以4×3=12這道乘法算式為例。

介紹：根據(jù)4×3=12，就可以說4是12的因數(shù)，3也是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，12也是3的倍數(shù)。

師：請(qǐng)你也像我這樣，說說這幾個(gè)數(shù)的關(guān)系。

根據(jù)（ ）×（ ）=（ ），就可以說（ ）是（ ）的因數(shù)，（ ）是（ ）的倍數(shù)。

提煉：你們會(huì)說了嗎？根據(jù)乘法算式4×3=12，也可以簡單地說成4和3都是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)。

【評(píng)析】從12個(gè)同樣大的正方形拼成長方形的操作活動(dòng)出發(fā)，學(xué)生在“思考—操作—觀察—對(duì)比”的過程中，找出得數(shù)是12的乘法算式，體會(huì)到所有的乘數(shù)都能被12整除。以4×3=12這個(gè)乘法算式為例，觀察拼成的長方形，發(fā)現(xiàn)擺3行4列或4行3列，正好把12個(gè)正方形拼完，也就得到了對(duì)應(yīng)的乘法算式，從而揭示“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念，即根據(jù)乘法算式得出，乘數(shù)是積的因數(shù)，積是乘數(shù)的倍數(shù)（這里的數(shù)一般指非0自然數(shù)）。學(xué)生經(jīng)歷“擺正方形”的操作過程，明晰了數(shù)與數(shù)的關(guān)系，并能在大腦中想出相應(yīng)的“長方形”，根據(jù)乘法算式，熟練表達(dá)“因數(shù)和倍數(shù)”的概念。

二、借助多層資源對(duì)比凸顯表達(dá)的意圖

課堂教學(xué)要把學(xué)生、教師和教學(xué)資源有機(jī)結(jié)合，從而打造高效的課堂。而教學(xué)資源的有效利用，是教師教和學(xué)生學(xué)的有力載體。每節(jié)課的教學(xué)資源往往都是比較豐富的，教師如何對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行選擇和呈現(xiàn)，都將直接影響教學(xué)質(zhì)量，從而也直接體現(xiàn)了教師的教育理念和目標(biāo)，反映教師對(duì)教材的理解與應(yīng)用。

【教學(xué)片段二】

提問：大家已經(jīng)能根據(jù)乘法或除法算式，說清楚兩個(gè)數(shù)之間倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。那你們能找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)嗎？

1.找出36的所有因數(shù)。

你準(zhǔn)備怎樣找36的因數(shù)？（列出等于36的乘法算式，或被除數(shù)是36的除法算式）

2.你有辦法找出36的所有因數(shù)嗎？

別急，請(qǐng)看幾個(gè)小提醒：

（1）想一想：怎樣找才能一個(gè)不漏，也不重復(fù)。

（2）寫一寫：找到之后按從小到大的順序?qū)懴聛怼?/p>

（3）說一說：和同伴介紹你的方法。

3.資源交流。

（1）呈現(xiàn)3份學(xué)生資源，他們的方法你們都能看懂嗎？（乘法、除法、無序）

（2）這幾種尋找36的因數(shù)的方法，有什么相同之處？（從1開始，有序地找，一對(duì)對(duì)地記錄）

（3）對(duì)于他們的方法，你還有什么建議嗎？（記錄的方法）

（4）介紹方法：為了更方便地寫出36的所有因數(shù)，我們可以從1想起，根據(jù)乘法算式或除法算式，一對(duì)一對(duì)地進(jìn)行記錄。

板書呈現(xiàn)：從兩端往中間寫：1，2， …，18，36。

追問：為什么不寫5？

4.集合圈表示：我們找到了36的所有因數(shù)，也可以這樣記錄。

板書呈現(xiàn)：36的因數(shù)集合圈。

5.剛剛，我們根據(jù)等于36的乘法算式，或被除數(shù)是36的除法算式，有序地找出了36的所有因數(shù)。那你們能快速并有序地找到6和15的所有因數(shù)嗎？

活動(dòng)要求：

（1）想一想：怎樣快速找到6和15的所有因數(shù)。

（2）寫一寫：把6和15的所有因數(shù)有序地記錄下來。

（3）說一說：觀察幾個(gè)例子，說說一個(gè)數(shù)的因數(shù)有什么特點(diǎn)，和小組成員交流。

借助資源介紹，你是怎么快速并有序地找到6和15的所有因數(shù)的？

交流：一個(gè)數(shù)的因數(shù)有什么特點(diǎn)？（板書：最小是1，最大數(shù)是本身，個(gè)數(shù)有限）

【評(píng)析】在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”的概念后，在理解概念的基礎(chǔ)上，嘗試尋找36的所有因數(shù)，學(xué)生就會(huì)收集不同的資源。大部分學(xué)生都會(huì)根據(jù)“因數(shù)”的概念，利用乘法算式或者能整除的除法算式，找出36的因數(shù)，但是尋找的過程往往不一樣，結(jié)果也不同。有的學(xué)生依據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能有序地進(jìn)行探究；有的學(xué)生則直接根據(jù)概念想算式，從而無序地探究；也有的學(xué)生知道有序?qū)ふ?，卻出現(xiàn)了重復(fù)或者遺漏。

這些都是學(xué)生最原始的資源。課堂上，教師要進(jìn)行資源的交流與對(duì)比，讓運(yùn)用每種方法的學(xué)生，說出自己的思考過程：為什么這么找？同學(xué)們是否能看懂？接著，就要進(jìn)行資源的并列對(duì)比，尋找它們的相同之處，盡管學(xué)生們的方法和結(jié)果不同，但是思考的過程是否有相同之處呢？最后，教師可以充分發(fā)掘不同資源背后的思考過程，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的思路，在觀察對(duì)比中，提煉尋找“因數(shù)”的方法。

掌握尋找“因數(shù)”的方法后，學(xué)會(huì)有序記錄，成對(duì)書寫，從而及時(shí)應(yīng)用，尋找出6和15的所有因數(shù)。在進(jìn)一步的觀察對(duì)比中，學(xué)生逐步感知一個(gè)數(shù)的因數(shù)有怎樣的特點(diǎn)。通過練習(xí)、感悟，到小組內(nèi)的思維碰撞，最終完整地進(jìn)行“因數(shù)”特點(diǎn)的表達(dá)。

三、設(shè)計(jì)趣味化的練習(xí)強(qiáng)化表達(dá)的思路

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維，思維的本質(zhì)是推理，數(shù)學(xué)語言是思維的工具，而思維又離不開語言。學(xué)生在一節(jié)數(shù)學(xué)新授課中，是否真的掌握了知識(shí)，就要看其在練習(xí)中是否能用數(shù)學(xué)語言把思維表達(dá)清晰，能否把推理思考過程用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表述。因此，有效的練習(xí)設(shè)計(jì)，在一節(jié)課中尤為關(guān)鍵。

【教學(xué)片段三】

練習(xí)：小明把一個(gè)數(shù)的因數(shù)和另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，按從小到大的順序?qū)懺诹丝ㄆ希绻环渲械囊粡埧ㄆ?，就能猜出這個(gè)數(shù)是多少，你準(zhǔn)備先翻哪張卡片？

（1）（? ?）的因數(shù)：□、□、□、□、□。

最后一張：一個(gè)數(shù)的因數(shù)最大是自己。

中間2張：因數(shù)個(gè)數(shù)是6個(gè)，說明中間2張因數(shù)相乘就是原來的數(shù)。

追問：為什么不翻第一張？第一張一定是1。

（2）（? ?）的倍數(shù)：□、□、□、□、□…

第一張：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是自己。

追問：翻其他的卡片，能猜出原來這個(gè)數(shù)嗎？如果第二張翻出來是14，你知道這個(gè)數(shù)是多少嗎？你是怎么想的？

總結(jié)：只要熟練掌握找一個(gè)數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的方法，了解因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，就能很順利地完成任務(wù)。

接下來，我們一起來完成一項(xiàng)每個(gè)人都不一樣的任務(wù)。

根據(jù)自己的學(xué)號(hào)，寫出學(xué)號(hào)所對(duì)應(yīng)的所有因數(shù)以及對(duì)應(yīng)的倍數(shù)。

（1）找兩名學(xué)生介紹，因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，倍數(shù)我們一般找5個(gè)比100小的數(shù)，也就是說，超過100可以不寫了。

（2）大家都找到了自己學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的所有因數(shù)，大膽猜一猜，哪個(gè)學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的因數(shù)最少？哪個(gè)學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的因數(shù)最多？（看來，不是數(shù)字越大因數(shù)就越多）

（3）知識(shí)拓展：“完美數(shù)”

請(qǐng)學(xué)號(hào)為6的同學(xué)起立，介紹一下6的因數(shù)。

師：知道我為什么要找“6”這個(gè)號(hào)碼？因?yàn)閿?shù)字6在數(shù)學(xué)上還有個(gè)非常好聽的名字。瞧，它的所有比自己小的因數(shù)相加（1+2+3=6），和仍然是6。這樣的數(shù)，數(shù)學(xué)家們稱它為“完美數(shù)”。

還有哪些同學(xué)的學(xué)號(hào)是“完美數(shù)”呢？同學(xué)們可以試著算一算哦。

【評(píng)析】練習(xí)設(shè)計(jì)，不僅要符合一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，還要能突出教學(xué)的重難點(diǎn)，好的練習(xí)設(shè)計(jì)，往往可以幫助學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合、提升。通過“玩”來進(jìn)行練習(xí)，學(xué)生在不知不覺中就把知識(shí)進(jìn)行了融合與應(yīng)用。

“翻卡片”的游戲，就是結(jié)合因數(shù)和倍數(shù)的特征設(shè)計(jì)的練習(xí)，通過翻一張卡片，來判斷一個(gè)數(shù)是多少，學(xué)生需要對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的概念有很深的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，結(jié)合因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行思考和判斷。在練習(xí)中，不僅是“翻卡片”，更主要的是通過“翻卡片”表達(dá)自己的思考過程：為什么翻這一張？根據(jù)翻出的卡片，又是如何判斷出原來的數(shù)的？這些問題就是把所有的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行靈活應(yīng)用，學(xué)生在推理的過程中，進(jìn)行表達(dá)，從而外顯思維。

找“學(xué)號(hào)”的因數(shù)與倍數(shù)的練習(xí)，則是讓學(xué)生在對(duì)比中加深對(duì)“因數(shù)和倍數(shù)”的應(yīng)用，通過尋找自己學(xué)號(hào)的因數(shù)和倍數(shù)，達(dá)成本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，會(huì)找任意一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)。同時(shí)，在尋找的過程中，逐步感知，并不是數(shù)字越大，因數(shù)就越多。在探究一個(gè)數(shù)的因數(shù)的過程中，進(jìn)行知識(shí)的拓展，認(rèn)識(shí)“完美數(shù)”。

學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，不是一朝一夕就能形成的，而是一個(gè)序列化的系統(tǒng)過程。教師在培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力的過程中，要有清晰的目標(biāo)，多樣的策略；持續(xù)的指導(dǎo)，把數(shù)學(xué)表達(dá)滲透在每節(jié)課中，充分利用每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行思維的表達(dá)；在操作、對(duì)比、練習(xí)的過程中，逐步形成規(guī)范、完整、有條理的表達(dá)。