姜衛(wèi)東

關(guān)系映射反演法則（簡(jiǎn)稱(chēng)RMI法則）作為數(shù)學(xué)方法論中的一種重要法則＼，一般可以表述如下：給定一個(gè)目標(biāo)原象x的關(guān)系結(jié)構(gòu)S，如果能找到一個(gè)映射φ，將S映入或映滿(mǎn)S*，則可從S*通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法把目標(biāo)映象x*=φ（x）確定出來(lái)，進(jìn)而通過(guò)反演φ－1又可以把x=φ－1（x*）確定出來(lái)，這樣原來(lái)的問(wèn)題就得到解決.利用RMI法則解決問(wèn)題的過(guò)程可用框圖1表示如下：

RMI法則不僅對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展起過(guò)推動(dòng)作用，而且對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)也有著指導(dǎo)意義.在平時(shí)的教學(xué)工作中，如能從RMI的視角來(lái)審視高中數(shù)學(xué)教學(xué)，定會(huì)優(yōu)化解題教學(xué)、深化教材理解、強(qiáng)化大單元整體教學(xué)及催化創(chuàng)新思維等，在提高教學(xué)效益的同時(shí)，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與學(xué)科核心素養(yǎng).

1 RMI視角下，解題教學(xué)的優(yōu)化

數(shù)學(xué)解題有各種不同的方法，所有這些方法，其實(shí)就是RMI法則在解題中的具體運(yùn)用，只不過(guò)不同的方法對(duì)應(yīng)的映射φ不同而已.特別是在處理一些難度較大的試題時(shí)，如能巧妙地利用RMI法則，有時(shí)能起到事半功倍的效果.

案例1-1求證：C0nCkm+C1nCk－1m+……+CknC0m=Ckn+m.

解析：本題是一個(gè)組合恒等式證明問(wèn)題.設(shè)等式左邊為ck，即證ck=Ckm+n.若采用RMI法則求解，可分以下五步完成.

步驟1：明確原象的關(guān)系結(jié)構(gòu)S.若記ai=Cin，

bi=Cim，ci=Cim+n，則ck由

ck=∑ki=0aibk－i（k≤m，k≤n）確定，這就是S.

而要求解的問(wèn)題x便是ck=？

步驟2：選擇映射φ.可用母函數(shù)作為映射工具，即φ：ai→A（x）=∑ni=0aixi，bi→B（x）

=∑mi=0bixi，ci→C（x）=∑m+ni=0cixi.

步驟3：確定映象關(guān)系結(jié)構(gòu)S*.由原象關(guān)系及多項(xiàng)式乘法規(guī)則，可得A（x）B（x）=∑m+nk=0（∑ki=0aibk－i）xk=∑m+nk=0ckxk=C（x），所以S*的關(guān)系結(jié)構(gòu)是A（x）B（x）=C（x），而要求解的問(wèn)題x對(duì)應(yīng)的映象x*便是C（x）=？

步驟4：確定映象C（x）.根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得C（x）=A（x）B（x）=（∑ni=0aixi）

（∑mi=0bixi）=（1+x）n＼5（1+x）m=（1+x）m+n.

步驟5：作反演φ－1.φ－1就是尋求（1+x）m+n展開(kāi)式中xk前的系數(shù)ck，顯然可得ck=Ckm+n.

由上可知，利用RMI法則解題的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)挠成涔ぞ擀占胺囱莨ぞ擀眨?，將需求解問(wèn)題x與其映象x*進(jìn)行轉(zhuǎn)換.因此，在后續(xù)的論述中，筆者將注重對(duì)φ及φ－1的分析，而不嚴(yán)格按照上面的五個(gè)步驟進(jìn)行.

案例1-2〔2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建賽區(qū)）預(yù)賽題〕如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為23，A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓C的左焦點(diǎn)，且△A1F1B的面積為52.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)D（1，0）的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在x軸上方），M，N分別為直線(xiàn)A1E，A2F與y軸的交點(diǎn)，求|OM||ON|的值.

解析：（1）x29+y25=1.（2）這是一個(gè)動(dòng)態(tài)情況下求定值（比值）的問(wèn)題，可以先通過(guò)特殊位置（EF與x軸垂直）得到比值，然后再驗(yàn)證結(jié)論在一般情形下的正確性.整個(gè)解題過(guò)程的運(yùn)算量不小，而且需要解題者具有非常強(qiáng)的目標(biāo)意識(shí)！但是，如果通過(guò)RMI法則來(lái)解決，就能避開(kāi)繁雜的計(jì)算，只需要利用平面幾何的知識(shí)就能完成.

如圖3，設(shè)映射φ：x=3x′，y=5y′，則橢圓C變換為單位圓O′：x′2+y′2=1，D′13，0，A1′（－1，0），A2′（1，0），直線(xiàn)l與⊙O′的交點(diǎn)變?yōu)镋′，F(xiàn)′，直線(xiàn)A1′E′及A2′F′分別與y′軸交于點(diǎn)M′，N′.由于伸壓變換保持比值不變，因此即求|O′M′||O′N(xiāo)′|的值.

連接A2′E′，A1′F′，則可根據(jù)Rt△A1′O′M′∽R(shí)t△A1′E′A2′，得O′M′1=A2′E′A1′E′（記為①式），同理根據(jù)Rt△A2′O′N(xiāo)′∽R(shí)t△A2′F′A1′，得O′N(xiāo)′1=A1′F′A2′F′（記為②式）.由①÷②得O′M′O′N(xiāo)′=A2′E′A1′F′·A2′F′A1′E′（記為③式）.又由△A1′D′F′∽△E′D′A2′，得A2′E′A1′F′=D′A2′D′F′=23D′F′（記為④式）.

同理，根據(jù)△A1′D′E′∽△F′D′A2′，得A2′F′A1′E′=D′F′A1′D′=3D′F′4（記為⑤式）.由④×⑤，可得A2′E′A1′F′·A2F′A1′E′=12，代入③式得|O′M′||O′N(xiāo)′|=12.從而|OM||ON|=12.

上述解法就是RMI法則的具體運(yùn)用，它的解題過(guò)程可用框圖4表示如下.

需要指出的是，在解決同一個(gè)問(wèn)題時(shí)，選擇不同的映射φ，就會(huì)出現(xiàn)不同的解法.因此，要得到問(wèn)題的簡(jiǎn)解，應(yīng)根據(jù)不同的問(wèn)題背景，靈活選擇φ.

2 RMI視角下，教材理解的深化

盡管在高中數(shù)學(xué)教材中并未明確地提及RMI法則，但是它的方法與內(nèi)容一直以不同的水準(zhǔn)被隱含在數(shù)學(xué)教材及教學(xué)活動(dòng)中，教師只有經(jīng)過(guò)分析觀(guān)察，才能把它抽象出來(lái)，進(jìn)而更加有效地組織教學(xué).

案例2-1指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù).

在蘇教版必修一教材中，對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)是安排在指數(shù)函數(shù)之后的，在學(xué)完指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)以后，如何組織對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，實(shí)際上體現(xiàn)了教師對(duì)教材編寫(xiě)意圖的理解.

筆者以為，教材將這兩類(lèi)函數(shù)放在一起學(xué)習(xí)，正是關(guān)注了它們之間的緊密聯(lián)系，其本質(zhì)就是RMI法則的體現(xiàn)！這里S可看成是對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)體系，是待研究的內(nèi)容.引入映射φ：求反函數(shù)，在φ的作用下，對(duì)數(shù)函數(shù)就映射成指數(shù)函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)S*（圖象及性質(zhì)等）已經(jīng)研究清楚了，所以只需根據(jù)φ－1：求反函數(shù)，反演回去，就可以得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)等（即S）.當(dāng)然，這里φ與φ－1也可以從形上來(lái)構(gòu)造，那就是作關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)的圖象，它們的關(guān)系可以用下面的框圖5表示.

由上可知，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是彼此依存的統(tǒng)一體，了解這一點(diǎn)，對(duì)于課堂教學(xué)的組織以及知識(shí)的建構(gòu)都大有裨益！

案例2-2數(shù)學(xué)建模.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)以及貫穿高中數(shù)學(xué)課程的四條主線(xiàn)［2］，數(shù)學(xué)建模是其中之一，而且在每?jī)?cè)教材中，都有數(shù)學(xué)建模的專(zhuān)題.毋庸諱言，在教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開(kāi)展并不盡如人意，其中的原因固然是多方面的，但教師自身的觀(guān)念與數(shù)學(xué)建模能力是制約當(dāng)下數(shù)學(xué)建模教學(xué)的關(guān)鍵因素.

而要提升教師的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，建立關(guān)于數(shù)學(xué)建模的正確觀(guān)念，就必須從RMI法則的視角來(lái)了解數(shù)學(xué)建模，這里S是指現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，φ就是通過(guò)化簡(jiǎn)、假設(shè)等方法進(jìn)行抽象，S*就是抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，反演工具φ－1就是將數(shù)學(xué)模型的解進(jìn)行解釋或翻譯，從而解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

因此，數(shù)學(xué)建模不是有些人所認(rèn)為的就是解應(yīng)用題，它遠(yuǎn)比解應(yīng)用題復(fù)雜得多.究其本質(zhì)而言，數(shù)學(xué)建模實(shí)際上就是RMI法則中一種重要的類(lèi)型——概念映射法（抽象分析法），它的過(guò)程可用框圖6表示如下：

3 RMI視角下，大單元整體教學(xué)的強(qiáng)化

在新課改的大背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與學(xué)科核心素養(yǎng).因此，在平時(shí)的教學(xué)中，必須著眼于幫助學(xué)生建立起完整的、系統(tǒng)化的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體化認(rèn)知，避免所學(xué)知識(shí)碎片化與零散化.所以，教師需在仔細(xì)分析新課標(biāo)、新教材、教學(xué)重難點(diǎn)及教學(xué)方法等教學(xué)要素的基礎(chǔ)上，深刻把握單元知識(shí)，抓住內(nèi)容主線(xiàn)，厘清知識(shí)的關(guān)聯(lián)，積極開(kāi)展大單元整體教學(xué)，從而有效促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)及高階思維能力的發(fā)展.筆者以為RMI法則是實(shí)施大單元整體教學(xué)的一種重要手段，它可以強(qiáng)化這種教學(xué)方式的落實(shí)與實(shí)施.

案例3-1解析幾何的大單元教學(xué).

蘇教版選擇性必修一中第1章、第2章及第3章（直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)與方程）構(gòu)成了解析幾何的一個(gè)大單元，完全可以實(shí)施大單元整體教學(xué)，它們的RMI法則幾乎是一致的.這里原象關(guān)系結(jié)構(gòu)S就是曲線(xiàn)及其性質(zhì)，建系后，映射φ：點(diǎn)→坐標(biāo)，曲線(xiàn)→方程，映象關(guān)系結(jié)構(gòu)S*：方程及其關(guān)系，φ－1：坐標(biāo)→點(diǎn)，方程→曲線(xiàn)，從而由方程（組）的解的情況，反演推出曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及位置關(guān)系.通過(guò)RMI法則，學(xué)生不僅能清晰地理解處理曲線(xiàn)與方程的解析法思想，而且能了解處理直線(xiàn)、圓及圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的一致性，以利于學(xué)生對(duì)解析幾何的整體把握.

案例3-2平面向量與空間向量的大單元教學(xué).

盡管平面向量與空間向量分屬于蘇教版必修二第9章和選擇性必修二第6章，但是也可以利用RMI法則進(jìn)行大單元教學(xué).它們的RMI法則基本一致.這里S是指（平面或空間）向量及其關(guān)系、運(yùn)算，建系后，映射φ：向量→坐標(biāo)，這時(shí)S*：實(shí)數(shù)（坐標(biāo)）運(yùn)算及其關(guān)系，通過(guò)φ－1：坐標(biāo)→向量，反演推出向量的運(yùn)算及位置關(guān)系.以上RMI法則，不僅可以讓學(xué)生理解研究（平面或空間）向量的坐標(biāo)法思想，而且能夠深刻地揭示向量所具有的數(shù)與形兩個(gè)方面的特征，因而向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的紐帶，為解決平面及空間圖形的位置關(guān)系及度量問(wèn)題提供了十分有效的工具.這無(wú)疑對(duì)學(xué)生整體建構(gòu)向量知識(shí)體系，領(lǐng)會(huì)知識(shí)本質(zhì)是有益的！

實(shí)際上，對(duì)于案例3-1及3-2，我們還可以在更大范疇下進(jìn)行整體教學(xué).無(wú)論是曲線(xiàn)還是向量，它們都是數(shù)學(xué)中要研究的對(duì)象，要研究的都是數(shù)學(xué)對(duì)象及其關(guān)系、性質(zhì)等，采用的映射工具，都是建系后得到它們的坐標(biāo)或方程，所以案例3-1與3-2，還可以用以下統(tǒng)一的框圖7來(lái)表示.

這樣，學(xué)生就能從宏觀(guān)上更深刻地理解數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)、數(shù)學(xué)所具有的數(shù)形特征及研究通法.

4 RMI視角下，創(chuàng)新思維的催化

培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的重要使命與時(shí)代呼喚.盡管大家對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要性與緊迫性已達(dá)成共識(shí)，但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的教學(xué)策略還有所欠缺.筆者以為RMI法則是催化學(xué)生創(chuàng)新思維的一個(gè)重要策略，可以挖掘數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明中的RMI法則對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思維的培育，也可以通過(guò)開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生親歷運(yùn)用RMI法則進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的歷程.

案例4解析幾何的發(fā)現(xiàn).

解析幾何是十七世紀(jì)前半葉產(chǎn)生的一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)分支，從本質(zhì)上來(lái)看，它的發(fā)現(xiàn)過(guò)程就是RMI法則的具體應(yīng)用.坐標(biāo)法的建立使點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間、曲線(xiàn)與方程之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而把研究曲線(xiàn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究方程的代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)方程的討論來(lái)研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，這一過(guò)程可用框圖8表示如下.

通過(guò)解析幾何發(fā)展史的介紹，學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造并不是憑空產(chǎn)生的，而是有規(guī)律可循的，RMI法則在其中就扮演著重要的角色！數(shù)學(xué)家可以利用RMI法則創(chuàng)造數(shù)學(xué)，教師也能夠在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用RMI法則體驗(yàn)“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造”的樂(lè)趣.

在一次研究性學(xué)習(xí)中，筆者跟學(xué)生介紹了RMI法則后，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用RMI法則自主編制習(xí)題、提出問(wèn)題.其中一個(gè)學(xué)生結(jié)合伸壓變換的性質(zhì)，編制了一道較高質(zhì)量的試題，其編制過(guò)程如下：

在單位圓x′2+y′2=1中（如圖9），它的任一個(gè)圓內(nèi)接正方形P′Q′P1′Q1′的面積都為2，也即kO′P′·

kO′Q′=－1時(shí)，直線(xiàn)O′P′，O′Q′與單位圓的四個(gè)交點(diǎn)P′，Q′，P1′，Q1′所構(gòu)成的正方形的面積為2.

于是，想到對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行映射φ：x′=x2，y′=y3，則在此映射的作用下，單位圓就變?yōu)闄E圓x24+y23=1（如圖10），則kOP·kOQ=32kO′P′·32kO′Q′=34kO′P′·kO′Q′=－34.

由伸壓變換的性質(zhì)可知，單位圓中的正方形變?yōu)榱似叫兴倪呅蜳QP1Q1，且SPQP1Q1的值保持不變，面積為（2）2×2×3=43.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行了包裝：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不直接給出，而是由焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線(xiàn)方程來(lái)確定.這樣一道完整的橢圓原創(chuàng)題就新鮮出爐了：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1（－1，0），右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）P，Q是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)OP，OQ與橢圓的另一交點(diǎn)分別為P1，Q1，且直線(xiàn)OP，OQ的斜率之積等于－34，試探求四邊形PQP1Q1的面積是否為定值？

以上應(yīng)用RMI法則編題的過(guò)程可用框圖11來(lái)表示.

通過(guò)這次研究性學(xué)習(xí)，學(xué)生都驚詫于自己的表現(xiàn)，他們不僅發(fā)現(xiàn)了RMI法則的巨大作用，更體會(huì)了“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造”的樂(lè)趣，實(shí)現(xiàn)了從“問(wèn)題解決者”到“問(wèn)題發(fā)現(xiàn)者”“問(wèn)題提出者”的轉(zhuǎn)變.這正是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的理念，也是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本遵循！

參考文獻(xiàn)：

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