田雙瑞 徐會林 李薇薇 廖冬妮

數(shù)學文化是指“數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動”＼.在教學活動中有意識地融入數(shù)學文化，“有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，有利于學生進一步理解數(shù)學，有利于開拓學生視野、提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).”[1]

1 研究綜述

諸多學者對如何在教學中融入數(shù)學文化，發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行了相關研究.聶曉穎、黃秦安［2］給出了構建數(shù)學課堂文化的四個維度；侯代忠、喻平［3］就如何在教學中融入數(shù)學文化提出了教師在教學設計時應該思考的三個問題，即“①為什么要研究這個知識？②是怎么研究這個知識的？③這個知識有什么價值和意義”；李院德、史嘉［4］提出了核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學文化教育的具體實施策略.

本文中綜合運用文獻＼中的相關策略，以“直線與平面垂直的判定”一節(jié)新授課為例，探究如何將數(shù)學文化融入數(shù)學課堂，提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的具體過程.

2 教學背景

2.1 內容分析

“立體幾何初步”是北師大版高中教材《數(shù)學（必修第二冊）》第六章的內容，是高中數(shù)學必修課程內容“幾何與代數(shù)”這一主線的主要組成部分，是對義務教育階段“圖形與幾何”內容的延續(xù)和發(fā)展.本章教學重點是幫助學生進一步形成空間觀念，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學抽象素養(yǎng)水平＼.基本幾何圖形間的位置關系是“立體幾何初步”這一章的重點內容，其直觀基礎是長方體，邏輯基礎是相關概念與基本事實.平行和垂直是幾何圖形間的兩大主要位置關系，是高中學業(yè)水平考試和高考所要求重點掌握的內容，二者的邏輯結構都是從“直線與直線”“直線與平面”到“平面與平面”，其抽象程度逐步提高，對學生素養(yǎng)水平的要求也逐步提升.

教材中以長方體為例，通過直觀感知得出直線與平面垂直的判定定理.這種設計雖然符合課程標準的基本要求，但是實物模型不夠豐富，操作確認過程過于單一，不利于促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.在教學中，如果能融入數(shù)學文化，提供更加豐富的實物模型，讓學生在操作確認中體驗知識的生成過程，則更有助于促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.2 學情分析

本節(jié)課的授課對象是高一學生.知識結構方面，學生對義務教育階段的“圖形與幾何”知識有了較好的認知基礎，進入高中后已經學習和掌握了“線面平行”和“面面平行”兩大判定定理，掌握了“線面垂直”的概念和性質.核心素養(yǎng)方面，學生已經具備了較高水平的直觀想象素養(yǎng)，但數(shù)學抽象、數(shù)學建模和邏輯推理素養(yǎng)水平存在較大差距.本節(jié)課重在探究判定定理的形成過程，學生現(xiàn)有數(shù)學運算素養(yǎng)水平完全能夠滿足需要.認知特點方面，高中學生具有強烈的求知欲望和探究意識，有利于教學活動的開展.

2.3 教學目標及重難點分析

根據(jù)課程標準的要求，本節(jié)課有三個教學目標：（1）能夠理解直線與平面垂直的判定定理，并熟練運用這一定理證明簡單的幾何命題；（2）在探究過程中，逐步提升數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學建模和邏輯推理素養(yǎng)水平；（3）了解與知識緊密相關的中華傳統(tǒng)文化，感悟中華民族的智慧.

本節(jié)課的重點是理解直線與平面垂直判定定理的探究過程；難點是在探究過程中提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)水平.

3 教學過程

3.1 引入文化，營造氛圍

情境：播放1分鐘的日晷短視頻，展示日晷圖片（如圖1）.

教師：結合視頻和圖片，說一下日晷的晷針和晷面之間是什么關系？

師生活動：學生自主回答，教師介紹日晷的歷史和工作原理，強調“晷針垂直于晷面”.

設計意圖：日晷是我國古代的計時儀器，最早在《漢書》中就有記載，體現(xiàn)了我國古代天文學的輝煌成就.將日晷與數(shù)學知識相結合，創(chuàng)設文化情境，不僅為數(shù)學課堂增添了人文色彩，而且有助于引導學生“會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界”＼.

追問1：古人在建造日晷時，如何判斷晷針與晷面是否垂直呢？

師生活動：學生將晷針抽象為一條直線，晷面抽象為一個平面，結合直線與平面垂直的定義，總結出需要判定晷針垂直于晷面內的所有直線.

設計意圖：“尋找產生這個問題的緣由，從社會需求與數(shù)學學科發(fā)展需求兩個方而來思考，從而揭示呈現(xiàn)的數(shù)學文化”＼是將數(shù)學文化融入課堂的重要一步.以判斷晷針與晷面垂直這一實際需求為出發(fā)點，說明探究直線與平面垂直判定定理的必要性，引導學生從文化情境中抽象出數(shù)學元素，既傳遞了數(shù)學文化，又促進了學生直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

追問2：要判斷晷針垂直于晷面內的所有直線非常困難.大家思考一下，怎樣才能既便捷又準確地判定晷針垂直于晷面呢？

師生活動：引導學生類比“線面平行”和“面面平行”的判定定理，思考如何根據(jù)晷針垂直于晷面內的有限條直線進行判定.

設計意圖：引導學生進行類比推理，在學生的最近發(fā)展區(qū)內組織教學活動，有助于提升學生的邏輯推理素養(yǎng)水平；將“所有直線”轉化為“有限條直線”，展示出數(shù)學以簡御繁的強大功能，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美，有助于促進學生直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

追問3：晷針至少要垂直于晷面內的幾條直線才能垂直于晷面？

師生討論，自由發(fā)言.討論結果如下：

（1）垂直于晷面內的一條直線.不能，反例：將三角板的一條直角邊與黑板重合，另一條直角邊與黑板不一定垂直.

（2）垂直于晷面內兩條平行直線.不能，反例：在黑板內作兩條平行線，使三角板的直角邊與其中一條重合，另一條直角邊與黑板不一定垂直.

（3）垂直于晷面內兩條相交直線.未能舉出反例，需進行實驗探究.

設計意圖：引導學生小組討論，合理假設，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，感悟分類討論的數(shù)學思想；利用反證法排除不合理的假設，有助于提升學生的邏輯推理素養(yǎng)水平；在未能舉出反例的情況下，組織學生開展探究活動，可以培養(yǎng)學生嚴謹求實的學習態(tài)度；從日晷這一具體文化情境出發(fā)到完成分類討論，對應了數(shù)學建模過程中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題三個階段，有助于促進學生數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2 實驗探究，感悟新知

實驗：小組合作，將準備好的三角形、矩形紙板進行一次性對折，折痕向上放在桌面上，并使被折的邊與桌面完全重合.探究一下怎樣才能使折痕與桌面垂直呢？

師生活動：各小組成員進行折紙活動.教師巡視，組織學生積極參與，重點關注各組內數(shù)學基礎比較薄弱的同學，鼓勵每個層次的學生參與到探究活動中.

設計意圖：折紙大約起源于公元1世紀或2世紀時的中國，它不僅是一項重要的思維活動，也是一種很好的娛樂方式.折紙實驗構建了一個驗證線面垂直的直觀模型，增強了學習的趣味性，可以讓學生經歷知識的形成過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

師生活動：選兩個小組的代表，分別展示折痕與桌面垂直和不垂直兩種情況.總結出“只要折痕垂直于被折紙板與桌面的兩條交線，折痕就會與桌面垂直；其他情況下則不垂直”.

教師：為什么只要折痕垂直于被折紙板與桌面的兩條交線，折痕就會垂直于桌面呢？

設計意圖：折紙操作使學生獲得對直線與平面面垂直判定定理的感性認知，從提出問題到操作確認，展示了判定定理的探究過程，可以引發(fā)學生的深度思考，為抽象概括作好鋪墊，有助于發(fā)展學生的數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng).

3.3 直觀感知，抽象概括

教師：將桌面看作平面α，折痕看作直線AB，折痕與桌面的交點記為點B，折疊后紙板與桌面的兩條交線分別記作直線BC，BD.固定BC，繞點B旋轉BD.我們一起欣賞一下BD旋轉的過程（Flash動畫演示）.

師生活動：學生觀看動畫，并轉動自己手中的紙板，觀察得出，當直線AB垂直于BC，BD這兩條相交直線時，就會垂直于平面α內所有過點B的直線.

追問：直線AB與平面α內不過點B的任意直線m是否垂直呢？

師生活動：學生作圖探究，如圖2，發(fā)現(xiàn)只要過點B作直線m的平行線，即可證明AB⊥m.

教師：當直線AB垂直于平面α內兩條相交直線時，就會垂直于平面α內所有直線.根據(jù)直線與平面垂直的定義，可得AB⊥α.

設計意圖：由直線AB垂直于平面內的兩條相交直線，推廣到垂直于平面內所有直線，結合定義判定出AB⊥α，體現(xiàn)了從特殊到一般的認識過程，有助于發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng)；教學中注重傳統(tǒng)教學手段與信息技術的融合使用，可以起到吸引學生注意、提高教學效率的作用.

3.4 歸納總結，獲得新知

教師：如何判定直線l垂直于平面α？

師生活動：學生獨立思考并用文字語言描述直線與平面垂直的判定定理，教師肯定學生的回答，或指出其中的錯誤，并分別用文字、符號和圖形語言板書定理內容，重點強調“兩條”和“相交”.

設計意圖：學生獨立思考并表述直線與平面垂直的判定定理，可以提升用數(shù)學語言表達問題的能力，促進邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展；教師用三種數(shù)學語言規(guī)范表述這一定理，有助于幫助學生形成嚴謹?shù)膶W習作風，進一步提升數(shù)學抽象素養(yǎng)水平.

3.5 回歸應用，體現(xiàn)本質

教師：大家現(xiàn)在能否回答“古人如何確保晷針垂直于晷面”這個問題？

師生活動：引導學生用自己的話表述出來，并給與積極評價.

設計意圖：讓學生體驗定理的應用，完善整個數(shù)學建模過程，從而提升數(shù)學建模素養(yǎng)水平.同時，可以讓學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，進一步感受數(shù)學的文化本質.

3.6 回顧總結，凝練素養(yǎng)

師生活動：回顧本節(jié)課重難點內容，總結本節(jié)課所用到的數(shù)學思想，并將直線與平面垂直的判定定理與“線面平行”“面面平行”相應的判定定理進行歸納對比，在學生原有知識結構的基礎上，構建新的知識網(wǎng)絡，形成思維導圖.

設計意圖：核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，要將傳授知識與發(fā)展核心素養(yǎng)緊密結合，讓學生感受到所取得的進步，增強學習信心，為后續(xù)學習奠定基礎.知識網(wǎng)絡的構建與更新，有助于學生從整體上把握數(shù)學知識的脈絡，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的連續(xù)性發(fā)展.

3.7 分層作業(yè)，學以致用

（1）基礎作業(yè)：如果一條直線與一個平面內無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線和該平面是否一定垂直？

（2）提升作業(yè)（選做）：小組合作，尋找生活中“線面垂直”的例子并給出判定，撰寫一篇科研小論文.

設計意圖：豐富作業(yè)形式，有助于提升學生完成作業(yè)的自主性和有效性，促進學生深度思考.基礎作業(yè)面向全體學生，培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，在鞏固新知的同時進一步發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng)；提升作業(yè)針對學有余力的學生，培養(yǎng)數(shù)學應用意識和科研創(chuàng)新精神.分層作業(yè)體現(xiàn)了分層教學的思想，使“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展”[1].

本節(jié)課嚴格依照新課標的要求，以發(fā)展學生素養(yǎng)為目標，以日晷、折紙等數(shù)學文化為載體，將直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng)與線面垂直判定定理緊密結合，在探究過程中尋找核心素養(yǎng)的生長點.運用“情境—探究”教學模式，步步深入，注重核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性、連續(xù)性和整合性.教學過程中關注不同層次的學生，隨時給學生以積極評價，調動學生參與課堂的積極性；注重培養(yǎng)學生獨立思考的習慣和合作探究意識，充分體現(xiàn)了教師主導和學生主體地位的統(tǒng)一，傳授知識與發(fā)展素養(yǎng)的統(tǒng)一.將數(shù)學文化融入到教學過程的每一個環(huán)節(jié)中，學生在學習知識的同時潛移默化地接受數(shù)學文化的熏陶，充分落實了數(shù)學教育立德樹人的根本任務.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]聶曉穎，黃秦安.論數(shù)學課堂文化的內涵與模式及對培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的價值[J].數(shù)學教育學報，2017，26（2）：71-74.

[3]侯代忠，喻平.彰顯數(shù)學文化：教學設計中的三個自問[J].數(shù)學通報，2018，57（9）：32-36.

[4]李院德，史嘉.核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學文化教育的實施策略[J].教育理論與實踐，2019，39（35）：52-54.