摘" 要：創(chuàng)設(shè)合乎學(xué)情的課堂教學(xué)情境，有助于推動課堂教學(xué)形態(tài)的轉(zhuǎn)變，提升課堂教學(xué)效果. 以“找垂線”復(fù)習(xí)課設(shè)計為例，提出課堂對話的展開應(yīng)從學(xué)情觀察出發(fā)，基于認(rèn)知，讓對話更有精度；尊重情感，讓對話更有溫度；提升能力，讓對話更有深度. 優(yōu)化課堂對話結(jié)構(gòu)，從而達到共識、共情、共進，實現(xiàn)共同成長.

關(guān)鍵詞：課堂對話；學(xué)情分析；課堂生成；教學(xué)轉(zhuǎn)型

中圖分類號：G633.6" " "文獻標(biāo)識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0041-05

引用格式：楊潔. 學(xué)情觀察：讓課堂對話更有效：基于空間垂直關(guān)系再認(rèn)識談單元復(fù)習(xí)課教學(xué)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：41-45.

隨著課程改革的推進，生本教學(xué)、以學(xué)定教等以促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)為宗旨的教學(xué)形態(tài)得到了廣大研究者和一線教師的廣泛認(rèn)同. 以學(xué)情為起點的教學(xué)是課程改革重視學(xué)生主體地位的突出表現(xiàn)之一. 在課堂對話中，學(xué)生的互動狀態(tài)、生成狀態(tài)和發(fā)展?fàn)顟B(tài)也會因為學(xué)情的不同而呈現(xiàn)出不確定的變化，教師需要基于學(xué)情觀察，動態(tài)把握對話過程中學(xué)生表現(xiàn)出來的各種狀態(tài)，有效掌控對話的方向和節(jié)奏.

2024年1月，浙江省寧波市開展了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評審活動，內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“8.6 空間直線、平面的垂直”，課型是單元復(fù)習(xí)課. 復(fù)習(xí)課切忌拖沓冗長的知識重復(fù)，也忌諱高難度綜合性的選題講解，而是要高效地幫助學(xué)生構(gòu)建知識框架，掌握思想方法，整體把握單元內(nèi)容. 跨校借班賽課是教學(xué)比賽的常態(tài)，賽課教師常常因為不熟悉學(xué)情而產(chǎn)生如下?lián)鷳n：課堂提問中學(xué)生是否會興致不高？師生對話是否會難以持續(xù)，進而陷入尷尬？對話是否會止于表面，無法觸及問題的本質(zhì)或達到一定的深度？相對于其他課型，單元復(fù)習(xí)課更考驗教師對學(xué)情的洞察力，有效的學(xué)情觀察是師生課堂對話的起點，也是推進課堂教學(xué)效果的關(guān)鍵要素. 下面，筆者結(jié)合磨課經(jīng)歷，從認(rèn)知、情感和能力三個維度來分享如何基于學(xué)情觀察改進課堂教學(xué)，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)情的教學(xué)情境，促使師生對話有效進行.

一、基于認(rèn)知，讓對話更有精度

筆者設(shè)計的是一節(jié)以“找垂線”的作圖操作為主線的單元復(fù)習(xí)課. 為了喚醒學(xué)生的原有認(rèn)知，需要引領(lǐng)學(xué)生對已學(xué)的空間垂直關(guān)系的相關(guān)概念與定理進行梳理. 最初嘗試設(shè)計了以下兩個問題作為課堂對話的起點.

問題1：請看幾組照片（結(jié)合實事新聞?wù)故菊掌渲刑N含著很多空間中的垂直關(guān)系，請大家回顧本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，說一說空間垂直關(guān)系中主要包括哪些內(nèi)容.

追問1：對于線線垂直、線面垂直、面面垂直，學(xué)習(xí)的一般路徑是什么？

追問2：以上三種垂直關(guān)系如何相互轉(zhuǎn)化？

問題2：結(jié)合教材章末的知識框架圖，談一談有哪些“找垂線”的方法.

根據(jù)磨課時的學(xué)情觀察，筆者發(fā)現(xiàn)如此精心設(shè)計的課堂對話卻暴露了三個明顯的問題.

第一，學(xué)生看到新聞中震撼的照片時確實會眼前一亮，也很想對照片發(fā)表評論，但是他們真實想講的內(nèi)容顯然與“垂直”這一空間位置關(guān)系無關(guān). 學(xué)生看似感興趣了，看似與素未謀面的教師拉近了距離，實則很清楚教師即將提問的是“無聊”的概念和定理，短暫興奮后又掃興地低下了頭.

第二，學(xué)生對于線線垂直、線面垂直、面面垂直這三種垂直關(guān)系定義、判定、性質(zhì)的記憶與理解混淆不清，教師極有可能要花費較長時間去糾正學(xué)生的錯誤表述，導(dǎo)致課堂對話枯燥冗長，學(xué)生的自信心頗受打擊. 同時，追問1和追問2所引發(fā)的課堂對話效果取決于賽課抽到的班級的學(xué)生水平，未必能高效完成知識溫故.

第三，學(xué)生雖然能結(jié)合垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖回答問題2，但是不理解為什么要學(xué)習(xí)找垂線的方法. 一旦學(xué)生缺少對所學(xué)知識的探究欲望，課堂教學(xué)便容易呈現(xiàn)被教師“趕著走”的現(xiàn)象，不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

美國著名認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認(rèn)為，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生原有知識狀況進行教學(xué). 只有充分把握學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)狀況，才能判斷其與新知識之間的差距，進而設(shè)置更合乎學(xué)情的問題，提高課堂教學(xué)對話的精度. 筆者在賽課前了解到該班級學(xué)生的基礎(chǔ)不夠扎實，如果直接讓學(xué)生陳述定理，其在表達上很可能會出現(xiàn)各種錯誤. 同時，學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力不足. 對此，應(yīng)該在課堂開頭明確“何由要找垂線”. 于是，基于學(xué)生認(rèn)知，筆者從整體構(gòu)建的角度出發(fā)重新調(diào)整課堂問題和師生對話如下.

師：從聯(lián)系的角度來看，平行和垂直不僅在研究路徑上具有一致性，即都經(jīng)歷了“定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”的研究過程，而且在知識內(nèi)容上也很一致，圖1是教材章末的知識框架圖. 請邊看邊回憶它們之間的轉(zhuǎn)化，有哪些共同點？

生：都可以相互轉(zhuǎn)化，有定義、判定定理、性質(zhì)定理.

問題1：無論是平行還是垂直，除了可以從線到面或從面到線依次升維、降維轉(zhuǎn)化之外，你能發(fā)現(xiàn)知識回路中的不同嗎？

生1：在垂直關(guān)系中，沒有直接從面面垂直到線線垂直的轉(zhuǎn)化定理.

師：非常好，這就意味著線面垂直的地位上升了，成為了中轉(zhuǎn)站. 而找垂線正是中轉(zhuǎn)站運行的關(guān)鍵.

師：從發(fā)展的角度來看，根據(jù)從特殊到一般的思想，有了垂直之后，我們學(xué)習(xí)了一般情形下的線面角和二面角.

問題2：大家談?wù)劸€面角、二面角的作圖中是否用到了找垂線.

生2：在線面角的作圖中，要先找到面的垂線從而確定斜線的射影，才能作出線面角；二面角作圖是從棱上的一點出發(fā)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂線，從而找到二面角的平面角.（也有學(xué)生提到用垂線法、垂面法作圖等.）

【評析】問題1和問題2分別從橫向和縱向角度切入課題，既從聯(lián)系的角度突出了找垂線的作圖操作在整個單元中的地位，又從發(fā)展的角度在對話中明確了找垂線是幾何法作圖的出發(fā)點，是立體幾何“作—證—算”中的第一步. 可見，基于認(rèn)知，重新調(diào)整課堂設(shè)問，能使對話的目標(biāo)指向更加精確.

二、尊重情感，讓對話更有溫度

將學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動結(jié)合起來研究是深化教學(xué)改革的一個著力點. 心理學(xué)研究表明：人的積極情感具有強烈的內(nèi)驅(qū)力，人在心情愉悅的情況下，思維更活躍，主動對話的意識更強烈. 學(xué)情是最不該被遺忘的教學(xué)資源，課堂中教師要充分觀察學(xué)生的情感變化，挖掘和利用好學(xué)生身上的錯誤性資源和差異性資源. 因為其在暴露學(xué)生真實的理解方式和學(xué)習(xí)需求的同時，也為教學(xué)提供了合適的切入點和目標(biāo)定位.把握錯誤性資源和差異性資源是降低教學(xué)損耗、提升對話溫度的絕佳路徑. 以下是本節(jié)課抓住這兩點后的課堂教學(xué)片斷.

1. 再現(xiàn)錯誤性資源

例1" 如圖2，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ABC=]

[90°]，[AB=BC=BB1=2]，[M，N]分別為[A1B1，AC]的中點. 求直線[AB]與平面[BMN]所成角的正弦值.

此題是課前作業(yè)題，教師投屏學(xué)生的解題思路，有利于在借班上課時吸引學(xué)生的注意力，更貼近學(xué)生心理. 相對于現(xiàn)場提問“你們在解題中有什么不會的？”這樣的問題，不妨直接暴露問題并加以討論，這樣能在課堂教學(xué)中快速為師生對話找到核心話題. 學(xué)生暴露的錯誤性資源如下.

錯誤性資源1：由于[AN⊥BN]，故認(rèn)為[∠ABN]是直線[AB]與平面[BMN]所成角.

錯誤性資源2：如圖3，過點A作線段[BM]的垂線[AH1]，認(rèn)為[AH1]是平面[BMN]的垂線，而得到[∠ABH1]是直線[AB]與平面[BMN]所成角.

錯誤性資源3：如圖4，過點A作線段[MN]的垂線[AH2]，認(rèn)為[AH2]是平面[BMN]的垂線，而得到[∠ABH2]是直線[AB]與平面[BMN]所成角.

【評析】在陌生課堂抓住學(xué)生的已有錯誤，化問題為話題是一種能力，更是課堂對話的一種藝術(shù). 以上錯誤歸根于學(xué)生不會找面的垂線. 在一個平面內(nèi)作線的垂線是學(xué)生在初中階段獲得的基本作圖能力，然而在三維空間中，并不是隨便作線的垂線就會成為面的垂線. 暴露的三個錯誤的本質(zhì)在于誤把直線[BN，BM，][MN]的垂線[AN，AH1，AH2]當(dāng)作了平面[BMN]的垂線. 那么面的垂線如何找？由此可以自然聚焦到課堂的關(guān)鍵話題. 再現(xiàn)錯誤性資源，不是為了潑冷水，而是使其成為拉近師生距離的催化劑，是對學(xué)生情感的一種回溫.

2. 捕捉差異性資源

例2" 在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中.

（1）如圖5，[E，F(xiàn)]分別為棱[DD1，AA1]的中點，過點[D]，你能找到平面[BCEF]的垂線嗎？

（2）如圖6，[P]為棱[D1C1]的中點，過點[C]，你能找到平面[BDP]的垂線嗎？若能，試確定垂足的位置.

（3）在圖6中，求直線[DC]與平面[BDP]所成角的正弦值.

第（1）小題較簡單，但若能用好簡單的差異性資源，則有利于對單元復(fù)習(xí)課知識點的整體構(gòu)建. 由學(xué)生口述或在黑板上作圖，根據(jù)學(xué)生的表述會產(chǎn)生兩種不同的作圖方法，即差異性資源.

差異性資源1：先取[D1C1]的中點[M]，連接[DM]，證明[DM⊥CE，DM⊥CB].

差異性資源2：過點[D]作[CE]的垂線，證明平面[BCEF⊥]平面[DCC1D1].

兩種作法看似差異不大，實則是兩種不同的思維方式：一種是升維，即由線線垂直得線面垂直；另一種是降維，即由面面垂直得線面垂直. 在教學(xué)中，不能因為“時間危機”而放棄捕捉差異. 實踐表明，相比生硬地讓學(xué)生背線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，抓住課堂對話中的差異性資源，邊對話邊完善板書，會使得知識框架的生成更加自然.

對于第（2）小題，通過差異性資源1和差異性資源2的課堂對話捕捉，有學(xué)生發(fā)出了“欲作垂線，先找垂面”的作圖經(jīng)驗感嘆，此時的課堂對話是自然生成且?guī)в袦囟鹊? 在接下來的小組作圖活動中，我們可以驚喜地發(fā)現(xiàn)，差異性資源繼續(xù)涌現(xiàn)，學(xué)生小組內(nèi)自主對話的意識強烈，具體如下.

差異性資源3：如圖7，構(gòu)造平面[ACC1A1]，設(shè)平面[ACC1A1?]平面[BDP=O1O2]，過點[C]作交線[O1O2]的垂線[CH]，則[CH]是平面[BDP]的垂線.

差異性資源4：如圖8，構(gòu)造平面[BCEF]，設(shè)平面[BCEF?]平面[BDP=BT]，過點[C]作交線[BT]的垂線[CH]，則[CH]是平面[BDP]的垂線.

由學(xué)生自主總結(jié)產(chǎn)生作圖操作差異的原因，即雖然過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直，但是過平面外一點可以作無數(shù)個平面與已知平面垂直. 因此，雖然構(gòu)造垂面的方式不唯一，但是最終確定的垂線是同一條.

在課堂實踐中，想到構(gòu)造垂面[ACC1A1]的小組比較多，而想到構(gòu)造垂面[BCEF]的小組很少. 教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系第（1）小題思考：既然找到了平面[BCEF]的垂線[PD]，自然地，線段[PD]的垂面就是平面[BCEF]，而[PD?]平面[BDP]，所以平面[BCEF⊥]平面[BDP]. 基于問題解決的路徑分析，學(xué)生完善了“欲作垂線，先找垂面；欲找垂面，由線到面”的口訣，興致盎然，課堂教學(xué)至此達到高潮.

【評析】可見，課堂對話并非一帆風(fēng)順，出現(xiàn)錯誤和差異乃是常情，教師要尊重學(xué)生獨立思考的過程，只要學(xué)生表現(xiàn)出積極的態(tài)度，就應(yīng)該予以關(guān)注和肯定，讓學(xué)生熱愛對話、敢于對話，提升對話的溫度.

三、提升能力，讓對話更有深度

對話的深度應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生的課堂思維互動中，學(xué)生突有所感、忽有所悟，這便是生成、創(chuàng)造和能力的提升. 那么，在本節(jié)課中，怎樣在原有素材的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入對話呢？

將例2中的正方體沿著體對角面[ACC1A1]切割，即是例1中的數(shù)學(xué)情境，具有連貫性. 然而再回看例1，基本沒有學(xué)生能想到添加多條輔助線，將其“補形”到正方體中去求解. 不補形到正方體，又如何完成找垂線的任務(wù)？這對學(xué)生的能力提出了更高要求，也是本節(jié)課學(xué)生在舊題中再次檢驗知識應(yīng)用程度的收官環(huán)節(jié).

有學(xué)生延長[BM]和[AA1]交于點K，并連接NK，形成特殊的三棱錐[K-ABN]（如圖9）；也有學(xué)生在圖形內(nèi)部找到AB的中點Q，并添加輔助線，構(gòu)造了特殊的三棱錐[M-QBN]（如圖10）. 無論最后的求解結(jié)果是否正確，從過程來看，絕大多數(shù)學(xué)生的作圖中出現(xiàn)了如圖11所示的兩個三棱錐之一.

基于學(xué)情，從提升學(xué)生能力和拓展知識的角度，呈現(xiàn)課堂對話如下.

問題3：觀察圖11中的兩個三棱錐，你能說說它們的特殊之處嗎？（提示：從垂直關(guān)系角度觀察.）

生：這兩個三棱錐的底面都是直角三角形，且棱[KA，MQ]都分別垂直于底面. 不同的是，點[A]是Rt[△ABN]的非直角頂點，而點[Q]是Rt[△QBN]的直角頂點.

師：可以注意到三棱錐[K-ABN]的四個面都是直角三角形，在《九章算術(shù)》中，把這樣的三棱錐稱為“鱉臑”；三棱錐[M-QBN]的三條棱[QM，QB，QN]兩兩垂直，像墻角，我們可以簡稱它為“墻角模型”.

師生互動：如圖12，學(xué)生根據(jù)獨創(chuàng)的口訣“欲作垂線，先找垂面”，發(fā)現(xiàn)在“鱉臑?zāi)Ｐ汀敝校琜△KAN]是現(xiàn)成的垂直于平面[BKN]的垂面，過點[A]作交線[KN]的垂線交KN于點H，則[∠ABH]就是所求角；如圖13，在“墻角模型”中，沒有現(xiàn)成的平面與平面[BMN]垂直，則根據(jù)口訣“為找垂面，由線到面”，很快就有學(xué)生選擇直線[MN]，直線[QB]已然是[MN]的垂線，再在[△QMN]內(nèi)作[QG⊥MN]，交MN于點G，即可找到直線[MN]的垂面[QBG]，進而確定[∠QBG]是所求角.

師：這里又“切割”出了新的三棱錐[H-BNA]，[G-BNQ]，它們又是怎樣特殊的幾何體？對，也是鱉臑！在《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵. 斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑……合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”

課堂尾聲，播放折疊“三連體鱉臑”的視頻，布置課后的折紙作業(yè).

【評析】在找垂線的過程中，學(xué)生邊做邊學(xué)，再次經(jīng)歷“直觀感知—操作確認(rèn)—推理論證—度量計算”的一般過程，不僅重溫了空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，掌握了作圖的方法，而且在切割和拼接的過程中，經(jīng)歷了經(jīng)典幾何模型的作圖生成過程. 這在增強學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識的同時，還促使學(xué)生在課后自主交流為什么可以這樣折疊，課堂對話從課內(nèi)延伸到了課外，提高了數(shù)學(xué)文化的深度.

四、幾點思考

高效的課堂對話離不開教師在課前對學(xué)情的把握，也離不開在教師在課堂教學(xué)過程中基于學(xué)情觀察靈活調(diào)整對話. 下面是筆者的三點思考.

1. 課堂對話的展開需要以學(xué)生的個體經(jīng)驗為基礎(chǔ)

學(xué)情是基于學(xué)習(xí)的主體（即學(xué)生）提出來的，它只屬于特定的學(xué)習(xí)者，所以具有學(xué)習(xí)者的個性特征. 這就意味著以學(xué)情為起點設(shè)計課堂教學(xué)，不應(yīng)該是任務(wù)式地“滿堂灌”，而要順從學(xué)生經(jīng)驗生長的個性需要，充分關(guān)注新舊知識的連接點，以主動建構(gòu)知識的方式讓學(xué)生學(xué). 就本節(jié)課而言，立足學(xué)生的已有經(jīng)驗是活動設(shè)計的出發(fā)點，由兩個問題引入，把“找垂線”活動探究的理由交還給了學(xué)生，讓學(xué)生意識到線面垂直是空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的中轉(zhuǎn)站，作垂線是找線面角和二面角的起點. 只有讓學(xué)生意識到“找垂線”的作圖操作在整個大單元知識框架中的價值和地位，其才會主動地學(xué)，這樣才能使后續(xù)的新知探究成為可能.

2. 有效捕捉課堂生成資源，引燃對話的情感場

對于師生對話中出現(xiàn)的即興火花，教師應(yīng)該敏銳地捕捉住，并予以引燃，使不同的學(xué)生有一個交流和爭辯的機會，從而超越預(yù)先設(shè)定的目標(biāo). 本節(jié)課中，筆者始終將自己定位在聽者的角色，把解決問題的機會留給學(xué)生，即使有學(xué)生錯把線的垂線當(dāng)成了面的垂線，也鼓勵學(xué)生大膽表達自己的錯誤操作，反思錯誤經(jīng)歷，并嘗試將學(xué)到的新知識運用到新的情境中，從而收獲成功的情感體驗. 學(xué)生的作圖順序表現(xiàn)出了差異，但正因為在課堂中給了學(xué)生展示差異的時間和空間，才能使學(xué)生自然生成了獨創(chuàng)的解題口訣，課堂教學(xué)情感得以快速升溫. 教師要善于引燃一種積極和諧的對話感情場，以自己的教學(xué)智慧去支持課堂對話的持續(xù)展開和不斷優(yōu)化，建構(gòu)動態(tài)生成的課堂.

3. 會應(yīng)用是檢驗課堂對話是否深入、有效的標(biāo)準(zhǔn)

正如朱德全教授所說：應(yīng)用意識的生成是知識經(jīng)驗形成的標(biāo)志. 因此，要抓住時機結(jié)合教學(xué)內(nèi)容、高考試題、生活實例等設(shè)計變式情境，讓學(xué)生真正獲得應(yīng)用經(jīng)驗解決新問題的機會. 也只有不斷在不同的情境中進行應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力才會有效提升. 因此，筆者為學(xué)生布置了與找垂線有關(guān)的高考試題作為課后作業(yè)，以檢驗課堂教學(xué)效果.

總之，基于學(xué)情觀察開展課堂對話，能彌補教師一廂情愿地根據(jù)自己對教學(xué)內(nèi)容的理解單向組織教學(xué)的缺失，有精度、有溫度、有深度的課堂對話能換來學(xué)生主體性的凸顯、心態(tài)的開放、個性的張揚和創(chuàng)造性思維的發(fā)展，這就是對有效對話的最豐厚回報.

參考文獻：

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