2022年版課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)就是整體性和一致性。在數(shù)的運(yùn)算中，從運(yùn)算意義的角度來看，加、減、乘、除本質(zhì)上是一個(gè)整體，但學(xué)生對(duì)其中的聯(lián)系十分模糊，這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生只知算法、不問算理的情況。本文以“兩位數(shù)除以一位數(shù)（最高位不能整除）”為例，從現(xiàn)有整數(shù)除法運(yùn)算教學(xué)中的錯(cuò)誤現(xiàn)象、原因分析及改進(jìn)策略三個(gè)方面談?wù)勅绾伟盐粘ㄟ\(yùn)算的整體性和一致性。

一、錯(cuò)誤現(xiàn)象

在整數(shù)除法的學(xué)習(xí)過程中，以下幾個(gè)問題屢見不鮮。

現(xiàn)象一：商的最高位位置有誤。在教學(xué)反饋中，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在計(jì)算中把商的最高位寫錯(cuò)位置。如計(jì)算57÷18，商的最高位3應(yīng)寫在個(gè)位上和被除數(shù)中的7對(duì)齊，實(shí)際卻錯(cuò)寫在了十位上和被除數(shù)中的5對(duì)齊。

現(xiàn)象二：商中間的“0”漏寫。經(jīng)常見到有學(xué)生無法理解“不夠商1用0占位”的道理。如計(jì)算735÷7，商應(yīng)是105，學(xué)生卻漏寫了0，得出錯(cuò)誤結(jié)果15。

現(xiàn)象三：忽略余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。在學(xué)習(xí)最高位不夠除后受“一位不夠看兩位”思維定式的影響出現(xiàn)錯(cuò)誤。如計(jì)算423÷3，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)用42÷3直接在商的十位上寫9的現(xiàn)象，忽略了余數(shù)應(yīng)比除數(shù)小的算理。又如：學(xué)生會(huì)出現(xiàn)48400÷900=53……7的錯(cuò)誤，這是因?yàn)闆]能清楚這里的余數(shù)7表示的應(yīng)是7個(gè)百。

二、原因分析

為什么多數(shù)學(xué)生一遇除法錯(cuò)誤率就高了呢？究其原因如下：

1.除法豎式格式較為特殊。從算式的豎式結(jié)構(gòu)看：加法、減法和乘法是一致的，在學(xué)習(xí)了加法豎式后，減法和乘法的豎式容易納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而被學(xué)生接受，而除法豎式較為特殊，跟加法、減法和乘法的不一樣，導(dǎo)致學(xué)生不容易接受。如有學(xué)生在列豎式時(shí)更多的是記憶與模仿，不能結(jié)合算理理解每一步運(yùn)算表示的意義，導(dǎo)致列豎式的格式和計(jì)算結(jié)果都是錯(cuò)的。

2.除法運(yùn)算過程多樣。從運(yùn)算過程來看，加法和減法只含有加或減一種運(yùn)算，乘法含兩種，即乘法和加法，而除法含有加、減、乘多種運(yùn)算，每一步運(yùn)算都有其特定的含義，如果不能理解其中的意義，運(yùn)算過程中就容易出錯(cuò)，這無疑增加了除法運(yùn)算的難度。

3.試商思考過程復(fù)雜。從思考的過程來看，除法運(yùn)算包含估、定、試、比、調(diào)、判斷等思考過程。即首先必須估計(jì)商的取值范圍，接著要確定商的位置，再用確定的商試商，接著進(jìn)行余數(shù)與除數(shù)的大小比較，最后來調(diào)整商的大小。有時(shí)還要判斷結(jié)果能不能除盡，整個(gè)思考過程極其復(fù)雜。尤其是除數(shù)是兩位數(shù)的除法，需要不斷地試商、調(diào)商，學(xué)生的計(jì)算速度和準(zhǔn)確率明顯下降。

綜上，造成上述問題的根本原因是學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算的算理與算法形成割裂，沒有形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系。主要表現(xiàn)在：一是對(duì)整數(shù)除法運(yùn)算的算理理解不到位，沒有深刻理解從高位除起，被除數(shù)被分解成以不同計(jì)數(shù)單位為單位的若干個(gè)部分，用這些部分分別除以除數(shù)，將除法運(yùn)算還原成乘法口訣表中的乘法運(yùn)算進(jìn)行試商；二是對(duì)算法的掌握還停留在記憶模仿中，導(dǎo)致學(xué)生不能根據(jù)實(shí)際情況準(zhǔn)確判斷除法運(yùn)算的類型，更不能靈活運(yùn)用除法運(yùn)算的方法進(jìn)行計(jì)算；三是口算不扎實(shí)。要保證筆算的正確率和運(yùn)算速度，口算是關(guān)鍵，其中表內(nèi)乘法和20以內(nèi)的加減法是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，必須讓學(xué)生熟練掌握。

三、改進(jìn)策略

小學(xué)生仍然以直觀形象思維為主，而算理、算法又十分抽象，因此如何結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)處理好除法運(yùn)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系，往往就是教學(xué)的難點(diǎn)所在。我們可以結(jié)合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，借助生動(dòng)有趣的生活情境、借助直觀模型、借助學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解除法運(yùn)算的意義，促進(jìn)算法與算理融會(huì)貫通，從而讓學(xué)生充分感悟算法和算理的一致性。筆者認(rèn)為把握好整數(shù)除法運(yùn)算中如下幾個(gè)層次的教學(xué)尤為重要。

1.在直觀操作中，感悟算法和算理的一致性。

環(huán)節(jié)一：69÷3（最高位能整除）。

提問：你想怎樣計(jì)算69÷3？

交流：可以分小棒、口算、列豎式。

追問：這幾種方法之間有什么聯(lián)系？

課始借助情境出示計(jì)算69÷3，引導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課最高位能整除的知識(shí)。交流分小棒表示69÷3的過程，用橫式對(duì)應(yīng)表示出每一步的操作過程，如分6捆的過程，想乘法口訣二三得六表示為60÷3=20，分9根的過程表示為9÷3=3。如何列豎式表示分小棒的過程是除法筆算的難點(diǎn)之一，特別是把6捆平均分成3份的結(jié)果2為什么寫在商的最高位?？赏ㄟ^引導(dǎo)學(xué)生討論解決該難點(diǎn)：因?yàn)檫@是與60÷3=20相對(duì)應(yīng)的，所以2表示2個(gè)十。從而讓學(xué)生初步感悟筆算除法時(shí)，除到被除數(shù)的哪一位商就要寫在哪一位上，這是和先分哪一個(gè)計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相對(duì)應(yīng)的。再通過引導(dǎo)比較分小棒、口算、列豎式這三種方法的聯(lián)系（如圖1），從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)口算記錄了分小棒的過程，而筆算（列豎式）則更為簡(jiǎn)潔地記錄了口算的過程。各環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，促使學(xué)生對(duì)算法和算理的理解走向一致。

環(huán)節(jié)二：78÷3（最高位不能整除）。

提問：78÷3和69÷3有什么不同之處？如何計(jì)算？

思考：為什么只分6捆？余下的1捆怎么辦？

追問：這幾種計(jì)算方法之間有什么聯(lián)系？

比較發(fā)現(xiàn)：69÷3中的6捆全部分完，每份都能得到整捆。78÷3，用分一分的方法發(fā)現(xiàn)，需要把7個(gè)十平均分3份，根據(jù)乘法口訣二三得六，每份最多只能得到2個(gè)十。那就在7捆里先拿出6捆平均分成3份，每份就能分得2捆，剩下的1捆拆成10根和8根合起來再平均分。像這樣被除數(shù)最高位不能整除的，通過再次分小棒，學(xué)生感受到利用表內(nèi)乘法口訣，只要找到最高位最多有幾個(gè)整捆能平均分，拆分剩下的整捆小棒和下一位表示的幾根小棒合起來繼續(xù)平均分。從“最高位能整除”的三種方法遷移到“最高位不能整除”，再次同屏比較發(fā)現(xiàn)（如圖2），雖然最高位不能全部分完產(chǎn)生了余數(shù)，但是除法計(jì)算過程中都是細(xì)分計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的算理是不變的，體現(xiàn)了“最高位能整除”和“最高位不能整除”的算法和算理的一致性。

以此類推，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)會(huì)形成不管被除數(shù)是幾位數(shù)，只要從最高位開始找到每一個(gè)數(shù)位里有幾個(gè)除數(shù)，結(jié)合乘和減的運(yùn)算就能順利解決除數(shù)是一位數(shù)的除法。

2.在遷移類推中，感悟除法運(yùn)算的整體性。

環(huán)節(jié)三：324÷2（最高位不能整除）。

提問：如果百位除后有余數(shù)怎么辦？

思考：借助方塊模型如何分？

追問：如果千位除后有余數(shù)怎么辦？

在教學(xué)中設(shè)計(jì)問題情境，提出問題：324÷2等于多少？沒有324根小棒怎么辦？學(xué)生會(huì)產(chǎn)生拆計(jì)數(shù)單位的想法，出現(xiàn)如圖3所示的口算過程。如何進(jìn)行豎式計(jì)算仍然是學(xué)生理解的難點(diǎn)之一。還需借助實(shí)際操作促進(jìn)直觀理解，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想頭腦中有3大捆小棒（1大捆代表1個(gè)百），也可以借助小方塊圖分一分、連一連。在分的過程中出現(xiàn)類似環(huán)節(jié)二不能整分的情況，學(xué)生會(huì)輕松想到拆分1大捆。啟發(fā)思考：用豎式計(jì)算324÷2，百位上余“1”該怎么辦呢？結(jié)合動(dòng)畫演示讓學(xué)生再次感受最高位最多有幾個(gè)整百能平均分，拆分余下的1個(gè)百和下一位幾個(gè)十合起來繼續(xù)平均分，以此類推，一直分到個(gè)位結(jié)束（如圖4）。這樣才能形成對(duì)豎式計(jì)算的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。接著進(jìn)行拓展：如果被除數(shù)是四位數(shù)，千位除后有余數(shù)怎么辦？學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)在圖3的基礎(chǔ)上不斷疊加，逐步感受到不管被除數(shù)是幾位數(shù)，只要從最高位開始找到每一個(gè)數(shù)位里有幾個(gè)除數(shù)，把余下的數(shù)和下一個(gè)數(shù)位上的數(shù)合起來平均分，一直這樣平均分到個(gè)位為止。

環(huán)節(jié)四：136÷2（最高位不夠除）。

提問：被除數(shù)的最高位發(fā)生了什么變化？

思考：該怎樣用豎式表示分小棒的過程？

這個(gè)算式的出示再次逼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。被除數(shù)最高位比除數(shù)小，與已有的認(rèn)知發(fā)生沖突。1個(gè)百平均分成2份，商的最高位無法得到1個(gè)百。問題驅(qū)動(dòng)會(huì)激發(fā)學(xué)生自主探究，如果和下一位十位上的數(shù)合起來就會(huì)得到13個(gè)十，比除數(shù)2大，就能夠進(jìn)行平均分，從而得到6個(gè)十；剩余的1個(gè)十再轉(zhuǎn)化成10個(gè)一，接著平均分成2份，每份得到8個(gè)一。用橫式表示算理的方法為：13（十）÷2=6（十）……1（十）；16（個(gè)）÷2=8（個(gè)）。最后將所有的商6（十）與8（個(gè)）組合起來，得到結(jié)果68。像這樣最高位不夠除，一位不夠看兩位，用第二位的計(jì)數(shù)單位來均分，每次的余數(shù)只要比除數(shù)小，就可以轉(zhuǎn)化成下一個(gè)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)繼續(xù)平均分，從而實(shí)現(xiàn)“最高位不夠除”和“最高位夠除”的算理和算法的有機(jī)統(tǒng)一。

綜上所述，整數(shù)除法運(yùn)算的整體性和一致性體現(xiàn)為：都是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。掌握了除數(shù)是一位數(shù)的除法算理和算法后，對(duì)于除數(shù)是兩、三位數(shù)的除法運(yùn)算，只是除數(shù)變成幾十、幾百，被除數(shù)仍然被分解成以不同計(jì)數(shù)單位為單位的若干個(gè)部分，分別除以除數(shù)，只需熟練掌握試商和調(diào)商的技能技巧就能順利解決問題?；谒憷?、算法的一致性，后續(xù)學(xué)習(xí)探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法和算理時(shí)，要聯(lián)系整數(shù)除法運(yùn)算的算理和算法進(jìn)行合理遷移類推，在聯(lián)系中感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的一致性，從而發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校）