本節(jié)課是北師大版教材六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”中的內(nèi)容。莫比烏斯帶屬于“拓?fù)鋵W(xué)”的內(nèi)容，學(xué)生并不熟悉，但莫比烏斯帶魔術(shù)般的神奇變化會(huì)激發(fā)學(xué)生的探究欲望，能大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)其好奇心。六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)積累了比較豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有一定的空間思維能力和動(dòng)手操作能力，因此，本節(jié)課要注重通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作、對(duì)比探索、驗(yàn)證交流等活動(dòng)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體會(huì)莫比烏斯帶的特征，進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，拓寬學(xué)習(xí)視野，感受數(shù)學(xué)的神奇魅力。

教學(xué)過(guò)程：

一、明確目標(biāo)，提出問(wèn)題

師：（拿出一張長(zhǎng)方形紙條）它有幾個(gè)面、幾條邊呢？

生：是一張長(zhǎng)方形紙條，它有兩個(gè)面、四條邊。

師：它就是一張普通的長(zhǎng)方形紙條，但是只要把它稍微做一下變化，就能得到今天我們要學(xué)習(xí)的莫比烏斯帶。關(guān)于莫比烏斯帶，你有什么問(wèn)題要研究嗎？

生：什么是莫比烏斯帶？

生：怎樣制作莫比烏斯帶？

生：莫比烏斯帶有什么特征呢？

生：莫比烏斯帶有什么用呢？

……

（教師板書(shū)學(xué)生提出的問(wèn)題，并進(jìn)行梳理，從而得出本節(jié)課要研究的問(wèn)題）

師：大家提出了這么多有價(jià)值的問(wèn)題，這節(jié)課我們就帶著這些問(wèn)題，邊玩邊研究。

【設(shè)計(jì)意圖】太多的教學(xué)實(shí)踐證明，當(dāng)學(xué)生有機(jī)會(huì)對(duì)自己發(fā)現(xiàn)和提出的問(wèn)題進(jìn)行討論時(shí)，能煥發(fā)出勃勃生機(jī)，對(duì)學(xué)習(xí)會(huì)投入極大的熱情。這個(gè)環(huán)節(jié)，師生通過(guò)共同篩選、梳理提出的問(wèn)題，形成本節(jié)課研究的核心問(wèn)題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及研究的問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)注度。

二、巧設(shè)情境，探索求解

1.普通紙環(huán)，暗藏玄機(jī)——它們?nèi)绾蜗嘤觯?/p>

師：再來(lái)看這張長(zhǎng)方形紙條（出示長(zhǎng)方形紙條），能不能把它變成兩個(gè)面、兩條邊呢？

（學(xué)生動(dòng)手操作制作普通紙環(huán)）

師：在這樣一個(gè)普通的紙環(huán)上面，發(fā)生了一個(gè)小故事，我們一起來(lái)看看，你都看到了什么？（播放視頻：在普通紙環(huán)上，一只毛毛蟲(chóng)在紙環(huán)的外面，一朵小花在紙環(huán)的里面，毛毛蟲(chóng)正在努力地尋找小花，圖略）

生：紙環(huán)的外面有一只毛毛蟲(chóng)，里面有一朵小花，毛毛蟲(chóng)在尋找小花。

師：想一想，如果毛毛蟲(chóng)不爬過(guò)紙環(huán)的邊緣，它能找到小花嗎？為什么？

生：不能，因?yàn)樗鼈冊(cè)趦蓚€(gè)不同的面上，所以永遠(yuǎn)也不會(huì)相遇。

師：怎樣才能讓它們相遇呢？

生：如果它們?cè)谕粋€(gè)面上就好了。

生：可以把它們變?cè)谕粋€(gè)面上。

師：你的想法可真夠大膽的，對(duì)呀，變?cè)谕粋€(gè)面上它們不就相遇了嗎？你們能將紙環(huán)的兩個(gè)面變成一個(gè)面嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】生動(dòng)有趣的“現(xiàn)實(shí)情境”讓學(xué)生沉浸其中，故事的矛盾引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起了強(qiáng)烈的好奇心和探究欲望，學(xué)生自然而然地有了解決問(wèn)題的需求，并大膽提出了解決問(wèn)題的策略，為后續(xù)的研究埋下伏筆。

2.莫比烏斯帶浮出水面——成就世間美好。

師：請(qǐng)同學(xué)們自己先嘗試如何將兩個(gè)面的紙環(huán)變成一個(gè)面，并想辦法驗(yàn)證它只有一個(gè)面，然后在小組內(nèi)交流你們的方法和結(jié)論。

（學(xué)生獨(dú)立嘗試操作，完成后小組內(nèi)交流）

師：很多同學(xué)都做成了這樣的紙環(huán)（出示紙環(huán)，如圖1），誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎樣做的？

生：將長(zhǎng)方形紙條的一端旋轉(zhuǎn)180度，再用雙面膠把兩端粘起來(lái)。

（學(xué)生到前面邊操作邊匯報(bào)制作方法）

師：你們都認(rèn)為這樣的紙環(huán)就只有一個(gè)面嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)自己是如何驗(yàn)證的？

生：我先在紙環(huán)上取一點(diǎn)，把它當(dāng)作小花，接著用筆畫(huà)線，一直畫(huà)下去，發(fā)現(xiàn)又能回到這一點(diǎn)，說(shuō)明這個(gè)紙環(huán)只有一個(gè)面。

生：我有不同意見(jiàn)，我在這個(gè)普通紙環(huán)上取一點(diǎn)，用筆一直畫(huà)下去也能回到這一點(diǎn)，但只有一個(gè)面上畫(huà)線了，另一個(gè)面沒(méi)畫(huà)上，所以不能說(shuō)僅僅回到這一點(diǎn)就認(rèn)為這個(gè)紙環(huán)只有一個(gè)面，還要看這個(gè)紙環(huán)露在外面的面是否都畫(huà)上線了。

師：我們一起來(lái)嘗試一下。

（學(xué)生上臺(tái)演示如何證明只有一個(gè)面）

師：我看有同學(xué)緊鎖著眉頭，是有什么問(wèn)題嗎？

生：我有個(gè)疑問(wèn)，原來(lái)明明是兩個(gè)面，怎么就變成一個(gè)面了呢？

生：將紙條的一端翻轉(zhuǎn)180度，翻轉(zhuǎn)的過(guò)程中，把紙條里面和外面連接在一起了，所以變成了一個(gè)面。

（提出問(wèn)題的學(xué)生若有所思地點(diǎn)點(diǎn)頭，并用紙條嘗試了，發(fā)現(xiàn)就是如此，恍然大悟）

師：同學(xué)們，這個(gè)紙環(huán)就是今天我們要認(rèn)識(shí)的莫比烏斯帶。你能說(shuō)說(shuō)莫比烏斯帶有什么特征嗎？

生：莫比烏斯帶只有一個(gè)面、兩條邊。

（教師板書(shū)：一個(gè)面、兩條邊）

師：莫比烏斯帶讓原本不可能相遇的小花和毛毛蟲(chóng)相遇了，把不可能變成了可能，成就了世間的美好，這就是莫比烏斯帶的神奇之處。你們知道它為什么叫莫比烏斯帶嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】不僅要讓學(xué)生知道“是什么”，更要知道“為什么”。在操作、驗(yàn)證、推理、思辨等活動(dòng)中，學(xué)生不僅知道如何制作莫比烏斯帶，更重要的是在驗(yàn)證莫比烏斯帶只有一個(gè)面，在解釋莫比烏斯帶為什么只有一個(gè)面的層層遞進(jìn)問(wèn)題的探索中，學(xué)生的思維不斷深入，體會(huì)知識(shí)的本質(zhì)所在，深刻感受莫比烏斯帶的神奇之處。

3.莫比烏斯帶的由來(lái)——大自然的啟示。

師：德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯一直在尋找一種只有一個(gè)面的怪圈。一天，他走到一片玉米地前，一片片肥大的玉米葉子在他的眼里變成了一個(gè)個(gè)綠色的紙條。他順著葉子自然扭曲的方向把它對(duì)接成一個(gè)圓圈，突然，他發(fā)現(xiàn)那就是他夢(mèng)寐以求的圓圈。一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就這樣誕生了，并且以發(fā)現(xiàn)者莫比烏斯的名字命名，稱之為莫比烏斯帶。聽(tīng)了這個(gè)故事你有什么感受呢？

生：大自然給人類很多靈感，許多偉大的發(fā)現(xiàn)都來(lái)源于大自然。

生：我覺(jué)得靈感是來(lái)自于長(zhǎng)期的觀察和思考，莫比烏斯一定是想了很久，看到玉米葉子，產(chǎn)生了靈感，發(fā)明了莫比烏斯帶。

……

師：你們說(shuō)得都有道理，只要我們細(xì)心觀察生活，也會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn)，正所謂“天下大事必作于細(xì)”。

【設(shè)計(jì)意圖】介紹莫比烏斯帶的由來(lái)，讓學(xué)生感悟偉大的發(fā)現(xiàn)來(lái)自對(duì)生活的細(xì)心觀察，來(lái)自堅(jiān)持不懈的思考，數(shù)學(xué)源于生活、源于思考，由此增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

4.猜想—驗(yàn)證，進(jìn)一步探究莫比烏斯帶。

師：接下來(lái)老師和大家做一個(gè)游戲，我要把手里這個(gè)小小的莫比烏斯帶從這位同學(xué)的頭上套進(jìn)去（將一個(gè)莫比烏斯帶套在一個(gè)孩子的頭上），哎呀，怎么套不進(jìn)去？怎樣才能套進(jìn)去呢？

生：紙環(huán)太小了，可以變大一些。

生：我知道，可以從紙環(huán)的[12]處，也就是中間處剪開(kāi)，將紙環(huán)變大。

師：從中間剪開(kāi)會(huì)得到什么呢？大膽猜想一下！

生：我猜會(huì)得到兩個(gè)紙環(huán)。

生：我覺(jué)得會(huì)是一個(gè)更大的莫比烏斯帶。

生：我猜會(huì)是一個(gè)大環(huán)套著一個(gè)小環(huán)。

……

師：怎樣驗(yàn)證我們的猜想呢？

生：可以剪一剪、試一試。

（學(xué)生動(dòng)手從莫比烏斯帶的[12]處剪開(kāi)，如圖2）

師：得到了什么？和之前的猜想一樣嗎？你有什么想法？

生：和我的想法一樣，得到了一個(gè)更大的紙環(huán)，比之前的莫比烏斯帶更大了，紙環(huán)寬度變窄了。

師：現(xiàn)在能從這位同學(xué)的頭上套進(jìn)去嗎？我們?cè)囋嚳础?/p>

（師生共同驗(yàn)證）

師：對(duì)于新得到的這個(gè)紙環(huán)，你有沒(méi)有什么疑問(wèn)呢？

生：我有疑問(wèn)，新得到的這個(gè)紙環(huán)是不是莫比烏斯帶呢？

師：是啊，它是不是莫比烏斯帶呢？

生：我們可以動(dòng)手檢驗(yàn)一下。

（學(xué)生動(dòng)手操作驗(yàn)證）

生：經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，它不是莫比烏斯帶。因?yàn)樗痪邆淠葹跛箮У奶卣鳌?/p>

師：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，猜想是合理的，是值得尊敬的，那猜想得對(duì)不對(duì)呢，還需要實(shí)踐去驗(yàn)證。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)不斷引發(fā)學(xué)生的思維沖突，讓學(xué)生的思維和情感深度卷入和持續(xù)參與，在猜想中質(zhì)疑，在質(zhì)疑中思辨，在思辨后實(shí)踐驗(yàn)證，在歷經(jīng)思維挑戰(zhàn)、跨越思維障礙、思考能力不斷升級(jí)的過(guò)程中獲得勝任感和學(xué)習(xí)的自信心。

三、聯(lián)系生活，應(yīng)用舉例

師：莫比烏斯帶這么神奇，在生活中你見(jiàn)過(guò)它嗎？

生：我在公園里見(jiàn)過(guò)一種像莫比烏斯帶的爬梯。

生：我在北京科技館見(jiàn)過(guò)莫比烏斯帶。

生：有的過(guò)山車軌道就是莫比烏斯帶。

……

師：的確，莫比烏斯帶在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，我們一起來(lái)看一看。

（播放微課，展示以下幾方面的內(nèi)容）

（1）莫比烏斯帶在建筑中的應(yīng)用（遼寧大連學(xué)苑廣場(chǎng)建筑等）。

（2）莫比烏斯帶在藝術(shù)中的應(yīng)用（《畫(huà)手》、克萊因瓶等）。

（3）莫比烏斯帶在科技中的應(yīng)用（傳輸帶、過(guò)山車跑道等）。

（4）莫比烏斯帶在生活領(lǐng)域的應(yīng)用（衣架、高跟鞋等）。

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生分享交流的基礎(chǔ)上，通過(guò)微課呈現(xiàn)了莫比烏斯帶在生活中各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬了學(xué)生的眼界，使其體悟到數(shù)學(xué)的魅力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

四、課堂總結(jié)，拓展延伸

師：我們回頭看一下，我們之前提出的問(wèn)題都解決了嗎（教師指黑板上課伊始學(xué)生提出的問(wèn)題）？說(shuō)說(shuō)這節(jié)課你有哪些收獲。

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著問(wèn)題的推進(jìn)，不少問(wèn)題都得以解決，此處略）

師：關(guān)于莫比烏斯帶，你還想探究哪些問(wèn)題？

生：我想研究從莫比烏斯帶的[13]、[14]、[15]……處剪開(kāi)會(huì)是什么樣的，有沒(méi)有什么規(guī)律。

生：我想知道莫比烏斯帶還有哪些作用。

……

師：有一本專門研究莫比烏斯帶的書(shū)——《魔帶的世界》，還有一門研究莫比烏斯帶的學(xué)問(wèn)——“拓?fù)鋵W(xué)”，感興趣的同學(xué)課后可以繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究。

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課將“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)”貫穿學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。課尾鼓勵(lì)學(xué)生提出進(jìn)一步想探究的問(wèn)題，將學(xué)習(xí)的“觸角”延伸到課下，帶著問(wèn)題走出教室，培養(yǎng)學(xué)生持續(xù)探索問(wèn)題的興趣和能力，因?yàn)椤罢n已盡，思未斷”才是學(xué)生真正學(xué)習(xí)的開(kāi)始。

（作者單位：遼寧大連市旅順口區(qū)新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校）