一、開門見山，喚醒經(jīng)驗(yàn)

師：今天我們學(xué)習(xí)“找規(guī)律”（板書），以前我們也學(xué)習(xí)過(guò)“找規(guī)律”，能舉例說(shuō)說(shuō)什么是“規(guī)律”嗎？

生：比如一組數(shù)，從小到大排列，它們之間相差的數(shù)一樣。

師：你的意思是，這組數(shù)的大小在變化，但它們之間的差是不變的，“變化中的不變”就是規(guī)律。那怎么找這組數(shù)的規(guī)律呢？

生：可以觀察前幾個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，算一算它們之間的差，就能找到規(guī)律了。

二、觀察推理，初探規(guī)律

1.從“數(shù)”出發(fā)，感知規(guī)律。

師：（板書：1）能看出規(guī)律嗎？

生：只有一個(gè)數(shù)，不能看出規(guī)律。

師：（接著板書：4）能看出規(guī)律嗎？

生：相差3，但不一定就是規(guī)律。

師：看出了一些規(guī)律，但不能確定。怎么辦？

生：再寫一個(gè)數(shù)。

師：（接著板書：9）能看出規(guī)律嗎？

生：相差5，每次相差的數(shù)都多2。

師：能確定規(guī)律嗎？（生：能）那你們猜猜下一個(gè)數(shù)是多少。

生：16，因?yàn)?+3=4，4+5=9，9+7=16。

生：我也認(rèn)為是16，不過(guò)我是這樣想的，因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)是1×1，第二個(gè)數(shù)是2×2，第三個(gè)數(shù)是3×3，那么第四個(gè)數(shù)就是4×4，所以是16。

師：能確定是16嗎？（生：能）看來(lái)要確定一組數(shù)的排列規(guī)律至少需要寫出幾個(gè)數(shù)呀？

生：至少寫出3個(gè)數(shù)。

師：那再下一個(gè)數(shù)又會(huì)是多少呢？對(duì)應(yīng)的算式是什么？

學(xué)生答略，教師用課件演示驗(yàn)證。

2.類比推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：照這樣想下去，第10個(gè)數(shù)是幾？第100個(gè)數(shù)是幾？

學(xué)生答略，教師用課件演示驗(yàn)證。

師：如果是第n個(gè)數(shù)呢？

生：第n個(gè)數(shù)就是n×n。

師：歸納一下，這組數(shù)的排列規(guī)律是什么？

生：是第幾個(gè)數(shù)，就用幾乘幾。

師：不管這組數(shù)怎么變化，有一點(diǎn)是不變的，也就是用序號(hào)乘序號(hào)，就得到了這個(gè)數(shù)。（板書：序號(hào)×序號(hào)=這個(gè)數(shù)）

3.數(shù)形結(jié)合，理解規(guī)律。

師：還可以通過(guò)圖形來(lái)理解這組數(shù)的規(guī)律。

出示圖1：

師：你能照樣子畫出9、16、25這些數(shù)嗎？

學(xué)生獨(dú)立畫圖，然后集體反饋。

師：像這樣，每個(gè)圖形都是一個(gè)點(diǎn)陣（板書：點(diǎn)陣）。仔細(xì)觀察每個(gè)點(diǎn)陣的形狀和點(diǎn)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)點(diǎn)陣都是正方形。

生：第1個(gè)點(diǎn)陣是1行1列，點(diǎn)數(shù)是1×1；第2個(gè)點(diǎn)陣是2行2列，點(diǎn)數(shù)是2×2；第3個(gè)點(diǎn)陣是3行3列，點(diǎn)數(shù)是3×3；第4個(gè)點(diǎn)陣是4行4列，點(diǎn)數(shù)是4×4。依次類推，第n個(gè)點(diǎn)陣是n行n列，點(diǎn)數(shù)是n×n。

生：序號(hào)是幾，點(diǎn)數(shù)的算式就是幾乘幾，圖形就是幾行幾列。

師：借助圖形能直觀地看出“變化中的不變”，這個(gè)規(guī)律跟剛才我們發(fā)現(xiàn)的乘法規(guī)律是一致的。

三、多角度觀察，再探規(guī)律

1.自主探究，用多種形式表示規(guī)律。

師：如果換個(gè)角度觀察這組“形”和“數(shù)”，你又能發(fā)現(xiàn)什么呢？

教師出示活動(dòng)要求：

①想：點(diǎn)陣圖有怎樣的排列規(guī)律？怎樣用算式表示？

②畫：必要時(shí)可以在點(diǎn)陣圖上畫一畫、分一分。

③寫：把你的發(fā)現(xiàn)用算式表示出來(lái)。

④說(shuō)：寫完后在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

學(xué)生自主探究，教師巡視指導(dǎo)并收集典型作品，全班交流。

教師展示作品1：（如表1）

師：能看懂這位同學(xué)的算式和發(fā)現(xiàn)嗎？有沒(méi)有疑問(wèn)？

生：我想問(wèn)，②號(hào)圖形里的“1”在哪里？“3”又在哪里？

生：“1”是上一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，“3”是直角邊上點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

學(xué)生在圖形上標(biāo)注，教師借助課件演示。

師：②號(hào)圖形的算式是1+3，③號(hào)圖形的算式是1+3+5，④號(hào)圖形的算式是1+3+5+7，照這樣下去，下一個(gè)圖形要繼續(xù)加幾？

生：加9。

師：大家不僅會(huì)觀察，還學(xué)會(huì)了推理。仔細(xì)觀察這些算式，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)它們都是單數(shù)。

師：?jiǎn)螖?shù)也就是奇數(shù)，再看看這些奇數(shù)，有什么特點(diǎn)？

生：都是連續(xù)奇數(shù)相加。

生：我發(fā)現(xiàn)序號(hào)是幾，算式中就有幾個(gè)奇數(shù)相加。

師：你發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)陣的序號(hào)與加數(shù)個(gè)數(shù)的關(guān)系。再看看，這些算式都是從幾開始加起的？

生：從1開始。

生：我發(fā)現(xiàn)②號(hào)圖形的算式是1+3，“1”表示的就是①號(hào)圖形中的1個(gè)點(diǎn)；③號(hào)圖形的算式是1+3+5，1+3是②號(hào)圖形中的點(diǎn)數(shù)，④號(hào)圖形的算式是1+3+5+7，1+3+5是③號(hào)圖形中的點(diǎn)數(shù)。

師：也就是說(shuō)后面的圖形都是在前面圖形的基礎(chǔ)上再增加點(diǎn)數(shù)得到的，看來(lái)這個(gè)起始的“1”很重要。（出示：1+3+5+7+9+11+13+15）按照這樣的規(guī)律，這個(gè)算式表示的是第幾個(gè)圖形？

生：第8個(gè)。

師：你是怎么知道的？

生：因?yàn)樗闶嚼镉?個(gè)加數(shù)。

生：只要數(shù)一數(shù)一共有幾個(gè)加數(shù)，就知道它表示的是第幾個(gè)圖形。

師：看來(lái)圖形序號(hào)和算式中加數(shù)的個(gè)數(shù)有確定性的關(guān)系。

教師展示作品2：（如表2）

師：你能看懂他是從哪個(gè)角度觀察的嗎？

生：他是斜著觀察的。②號(hào)圖形畫了兩條斜線，把點(diǎn)分成了三部分，算式是1+2+1；③號(hào)圖形畫了四條斜線，把點(diǎn)分成了五部分，算式就是1+2+3+2+1。每次都是從1加到序號(hào)數(shù)，再?gòu)男蛱?hào)數(shù)加回到1。

生：②號(hào)圖形，算式中的最大數(shù)就是2；③號(hào)圖形，最大數(shù)是3；④號(hào)圖形，最大數(shù)是4。最大數(shù)就是序號(hào)數(shù)。

師：看來(lái)，算式中的最大數(shù)與圖形的序號(hào)也有著確定性的關(guān)系。

2.回顧梳理，感悟思想。

師：剛才我們借助圖形研究這組數(shù)，誰(shuí)來(lái)和大家分享一下有什么感想？

生：觀察的角度不同，得到的規(guī)律不同，算式也不同。

生：算式都和序號(hào)有關(guān)系。

生：不管是哪種算式，得數(shù)是相同的。

教師小結(jié)：同樣的數(shù)，同樣的圖形，觀察的角度不同，規(guī)律的表示方式也不同。

四、鞏固應(yīng)用，深化對(duì)規(guī)律的理解

1.不同形式之間的互相轉(zhuǎn)化。

師：既然是同一組圖形規(guī)律的表示方式，它們之間會(huì)不會(huì)存在某種關(guān)系呢？你能不能將其中一種轉(zhuǎn)化成另一種？

出示圖2和三個(gè)算式：

（1）1+3+5+7。

（2）1+2+3+4+3+2+1。

（3）4×4。

師：計(jì)算圖形中的點(diǎn)數(shù)，哪種方法更簡(jiǎn)單？

生：4×4。

師：再遇到1+2+3+4+3+2+1這樣的算式，你會(huì)怎樣計(jì)算？

生：4×4。

師：有了這樣的發(fā)現(xiàn)，試一試下面幾道題怎樣計(jì)算更簡(jiǎn)便。

課件逐一出示：

（1）1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=

（2）1+3+5+7+9+11=

（3）1+3+5+7+9+…=

（4）1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=

2.揭示概念，滲透數(shù)學(xué)文化。

師：剛才我們研究的點(diǎn)子圖都是正方形的，所以像1、4、9、16這樣的數(shù)也叫作正方形數(shù)（板書）。那你能再說(shuō)出一個(gè)正方形數(shù)嗎？

學(xué)生答略。

師：我們今天研究的正方形數(shù)，被稱為“有形狀的數(shù)”——形數(shù)。公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倡導(dǎo)“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)，認(rèn)為世界上所有事物都與數(shù)有關(guān)系。在眾多的數(shù)中，有一種非常有趣的數(shù)——形數(shù)，也就是與圖形有關(guān)的數(shù)。他們?cè)谏碁┥嫌眯∈訑[幾何圖形，從而發(fā)現(xiàn)了圖形與石子數(shù)量之間的關(guān)系。

五、回顧反思，總結(jié)提升

師：這節(jié)課我們研究了“有趣的‘形數(shù)’”，你都學(xué)到了什么？

生：從不同的角度觀察，規(guī)律不同，表示的算式也不同。

生：算式與算式之間可以相互轉(zhuǎn)化。

師：你還有什么問(wèn)題想問(wèn)嗎？

生：除了正方形數(shù)，還有其他形狀的數(shù)嗎？其他圖形的點(diǎn)子數(shù)又有什么規(guī)律？

出示圖3：

師：這些三角形的點(diǎn)數(shù)分別是幾？

生：1、3、6、10。

師：知道它們是什么數(shù)嗎？

生：三角形數(shù)。

師：正確！類似這樣的點(diǎn)陣還有很多。（出示：長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)）從它們當(dāng)中，你又能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？請(qǐng)同學(xué)們用今天所學(xué)的探究規(guī)律的方法，課后探究思考。數(shù)學(xué)把自然規(guī)律抽象成一幅簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的圖形。希望在今后的學(xué)習(xí)中，用你的數(shù)學(xué)眼光，去尋找數(shù)學(xué)中的美；用你的數(shù)學(xué)思維，去探究數(shù)學(xué)中的規(guī)律。

（作者單位：北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)）