平常我們?cè)谠O(shè)計(jì)正比例和反比例解決問(wèn)題的練習(xí)時(shí)，會(huì)想到以題組的方式組織學(xué)生訓(xùn)練。但設(shè)計(jì)怎樣的題組既能使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到在同一個(gè)數(shù)量關(guān)系下正比例和反比例問(wèn)題的變化結(jié)構(gòu)，又能通過(guò)不同形式的對(duì)比性練習(xí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力呢？為此，我們針對(duì)這節(jié)綜合練習(xí)課做了實(shí)踐研究。

一、揭示數(shù)量關(guān)系，勾起概念回憶

師：在日常生活中經(jīng)常會(huì)碰到兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例或成反比例關(guān)系，那怎樣的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例？怎樣的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成反比例？

教師結(jié)合學(xué)生的回答相機(jī)板書(shū)正比例和反比例的數(shù)量關(guān)系式。

師：你們針對(duì)“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”這個(gè)具體數(shù)量關(guān)系來(lái)說(shuō)一說(shuō)，在怎樣的情況下兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例或成反比例？

生：當(dāng)總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例；當(dāng)單價(jià)一定時(shí)，總價(jià)和數(shù)量成正比例；當(dāng)數(shù)量一定時(shí)，總價(jià)和單價(jià)成正比例。

教師針對(duì)學(xué)生的回答，用投影出示“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”中的正比例和反比例關(guān)系。接著出示“速度×?xí)r間＝路程”，讓學(xué)生同樣說(shuō)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系中的兩個(gè)量成正比例和反比例關(guān)系。然后依次出示“工作效率×工作時(shí)間＝工作總量”，以及“圓柱底面積×高＝圓柱的體積”，并分別讓學(xué)生說(shuō)出每一數(shù)量關(guān)系中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例和反比例關(guān)系。最后提出：從“已完成的工作量＋未完成的工作量＝工作總量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系中能找到正比例和反比例關(guān)系嗎？引導(dǎo)學(xué)生在交流中進(jìn)一步明確具有和、差關(guān)系的兩個(gè)量不能成正比例，也不能成反比例。根據(jù)學(xué)生的回答，投影逐步呈現(xiàn)成如圖1的情況（過(guò)程略）。

評(píng)析：以上環(huán)節(jié)除了讓學(xué)生回憶正比例和反比例的概念，還通過(guò)逐一出示常用的數(shù)量關(guān)系，引發(fā)學(xué)生回憶與乘法有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)其中一個(gè)量一定時(shí)，另外兩個(gè)量就成正比例或反比例關(guān)系。在投影上我們特意把數(shù)量關(guān)系都以乘法形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生看到“乘”自覺(jué)地聯(lián)想到“除”，從而減少對(duì)數(shù)量關(guān)系的記憶。

二、呈現(xiàn)完整題組，引發(fā)判斷列式

投影出示圖2，提出要求：

先判斷每一道題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成什么比例，并與相關(guān)數(shù)量關(guān)系連上線后再列出方程（不計(jì)算）。學(xué)生獨(dú)立完成后，組織集體交流。

生：第（1）題中單價(jià)不變，總價(jià)與數(shù)量成正比例關(guān)系，要同第二個(gè)數(shù)量關(guān)系連線。列出方程是：[8005]=[x20]。

師：如果把以上比例式寫(xiě)成“[205]＝[x800]”，你覺(jué)得可以嗎？

生：可以的，利用比例的基本性質(zhì)，這兩個(gè)比例式都可以寫(xiě)成“5x＝800×20”，說(shuō)明第二個(gè)式子是成立的。

師：你們能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題具體地說(shuō)一說(shuō)“[205]”與“[x800]”表示什么關(guān)系嗎？

生：“[205]”表示現(xiàn)在買(mǎi)的20套是原來(lái)買(mǎi)的5套的幾倍，“[x800]”表示現(xiàn)在買(mǎi)x套所需的錢(qián)數(shù)是原來(lái)買(mǎi)800套所需錢(qián)數(shù)的幾倍。因?yàn)橘I(mǎi)桌椅所需的錢(qián)數(shù)與買(mǎi)的套數(shù)成正比例關(guān)系，所以這兩個(gè)倍數(shù)應(yīng)該是相等的。

師：是的，成正比例關(guān)系的兩個(gè)量除了相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值相等，也可以寫(xiě)出兩個(gè)同類量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值（倍數(shù)）相等。誰(shuí)再來(lái)說(shuō)說(shuō)第（2）題屬于什么問(wèn)題？列出的方程又是怎樣的？

生：第（2）題中總錢(qián)數(shù)一定，單價(jià)與數(shù)量成反比例。列出的方程是：320x＝160×20。

師：如果這里相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)數(shù)量按同類量寫(xiě)成比例形式，該怎么寫(xiě)呢？

生：可以寫(xiě)成“[320160]＝[20x]”。

師：針對(duì)這個(gè)比例式，你能具體地說(shuō)一說(shuō)兩個(gè)比表示實(shí)際數(shù)量的什么關(guān)系嗎？

生：“[320160]”表示現(xiàn)在每套的單價(jià)是原來(lái)單價(jià)的2倍，那“[20x]”表示原來(lái)可以買(mǎi)的20套是現(xiàn)在可以買(mǎi)的x套的2倍。它們對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比，剛好是另一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的反比。

師：說(shuō)得好！大家聽(tīng)懂他說(shuō)的意思了嗎？

學(xué)生表示聽(tīng)懂了。

師：是的，成反比例的兩個(gè)量除了能找到相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積相等，也可以寫(xiě)成同類量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比，等于另外一組同類量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的反比。

接著教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生交流。

第（3）題屬于正比例問(wèn)題，方程是“[3200160]＝[x320]”或“[3200x]=[160320]”。

第（4）題屬于反比例問(wèn)題，方程是“160×20＝10x”或“[1020]＝[160x]”。

讓學(xué)生分別說(shuō)出判斷的理由，以及根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系列出方程（過(guò)程略）。

評(píng)析：我們根據(jù)“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系，并圍繞著學(xué)校購(gòu)買(mǎi)桌椅的同一情境編成正比例和反比例題組。學(xué)生先判斷、連線、列式，接著教師在組織交流時(shí)，除了讓學(xué)生說(shuō)出自己的一種列式方法，還特意提出從另一角度尋找對(duì)應(yīng)數(shù)量的比以及列出的方程，并繼續(xù)組織交流，使學(xué)生在分析交流中進(jìn)一步梳理出解決正比例和反比例問(wèn)題的方法。

三、呈現(xiàn)部分信息，引發(fā)判斷補(bǔ)充

1.投影呈現(xiàn)圖3，提出要求：

根據(jù)每道題的已知條件和所列出的方程，想一想題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成什么比例，再把條件和問(wèn)題補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出所設(shè)的未知數(shù)。

學(xué)生獨(dú)立思考后，組織集體交流。

生：從第（1）題的已知條件“5天組裝了280輛；照這樣計(jì)算”，可以知道每天組裝輛數(shù)不變。再?gòu)乃械姆匠讨幸部梢钥吹焦ぷ餍什蛔?，工作總量和工作時(shí)間發(fā)生變化。方程中的“x”對(duì)應(yīng)的是25天的工作量，所以在題目上要補(bǔ)充的條件和問(wèn)題是“25天可以組裝多少輛”。

師：那這一題的判斷要填上什么？又怎樣設(shè)未知數(shù)？

生：要填上“組裝的輛數(shù)”與“天數(shù)”成正比例關(guān)系。要設(shè)：25天可以組裝x輛。

教師根據(jù)學(xué)生的回答，繼續(xù)把第（1）題的空格填完整后又提出：那第（2）題怎樣判斷？怎樣填呢？

生：從第（2）題的已知條件和所列出的方程，可以知道工作總量不變，工作效率和工作時(shí)間成反比例。

教師在投影上先填上判斷“每天組裝輛數(shù)”與“天數(shù)”成反比例。接著提出：題目中還要填上怎樣的條件和問(wèn)題？

生：應(yīng)該填上“如果每天多組裝14輛，那要多少天可以完成”。

師：你是從哪里看出每天要多組裝14輛的？

生：我從“（56＋14）x”表示這一批要組裝的總輛數(shù)中看出來(lái)的。原來(lái)每天組裝56輛，現(xiàn)在每天要組裝“56＋14”輛。

師：好！剛才我們圍繞這個(gè)小車組裝問(wèn)題，分析了工作效率、工作時(shí)間和工作總量關(guān)系中的正比例和反比例問(wèn)題。下面我們找一個(gè)有關(guān)圖形的問(wèn)題，你還能分析、判斷和填空嗎？

2.投影出示圖4，提出要求：

根據(jù)每題已知的條件和所列出的方程，想一想題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成什么比例（填在括號(hào)里），再把條件和問(wèn)題補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出所設(shè)的未知數(shù)。

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師組織集體交流：

生：第（1）題中先要填上“高”不變，再填上“如果體積是480立方厘米，那么底面積是多少平方厘米”。

生：在下面的括號(hào)里要填上“體積”與“底面積”成“正”比例。

生：第（2）題中先要填上“體積”不變，接著填上“如果底面積是24平方厘米，那么它的高是多少厘米”。下面的括號(hào)里要填上“底面積”和“高”成“反”比例。

教師根據(jù)學(xué)生的回答相機(jī)在投影上填出后提出：這幾位同學(xué)的填法你們同意嗎？學(xué)生觀察投影后表示贊同，接著教師又提出：還有別的填法嗎？學(xué)生再次觀察、交流后，有學(xué)生提出：我覺(jué)得第（2）題方程中的“24”不一定指圓柱體的底面積，還可能是圓柱體的高。如果把“24”看成圓柱的高，那未知數(shù)“x”就表示圓柱體的底面積。

師：大家聽(tīng)懂這位同學(xué)說(shuō)的意思了嗎？

學(xué)生表示聽(tīng)懂了。

接著教師指出：那題目中應(yīng)填上怎樣的條件和問(wèn)題？

生：應(yīng)該填上“如果體積”不變，“高是24厘米，它的底面積是多少平方厘米”。

師：真棒！我們?cè)诮忸}時(shí)要做到全面地思考問(wèn)題，比如像第（2）題就有兩種可能。我們就要把兩種可能都補(bǔ)上。

評(píng)析：以上環(huán)節(jié)與上一環(huán)節(jié)的訓(xùn)練形式有很大的不同，它需要學(xué)生針對(duì)問(wèn)題的部分條件，再結(jié)合給出的方程進(jìn)行綜合分析，才能對(duì)兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量的關(guān)系作出判斷，并確定要補(bǔ)充的條件和問(wèn)題。創(chuàng)設(shè)新的練習(xí)形式不僅能激發(fā)學(xué)生的練習(xí)興趣，更重要的是通過(guò)這種形式的練習(xí)更好地培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力。另外，我們?cè)谶@一環(huán)節(jié)的練習(xí)設(shè)計(jì)中又涵蓋兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，第1組是圍繞工作效率、工作時(shí)間和工作總量展開(kāi)的；第2組是圍繞圓柱體的底面積、高和體積展開(kāi)的。在第2組中，我們對(duì)第（2）小題的數(shù)據(jù)作了精心設(shè)計(jì)，使學(xué)生通過(guò)分析想到有兩種可能的填法。借此練習(xí)促使學(xué)生養(yǎng)成全面綜合分析問(wèn)題的習(xí)慣。

四、結(jié)合圖象解讀，增強(qiáng)思辨訓(xùn)練

投影出示下面題組和要求1：

1.用比例的方法寫(xiě)出下面各題的方程（不計(jì)算）：

①一輛車從甲地到乙地，如果按80千米/時(shí)的速度，行完全程需要6小時(shí)；如果按120千米/時(shí)的速度，行完全程需要多少小時(shí)？

②一輛車在2小時(shí)內(nèi)行了200千米，照這樣的速度，6小時(shí)能行多少千米？

學(xué)生獨(dú)立思考列出方程后，匯報(bào)如下：

第①題：設(shè)行完全程需要x小時(shí)。列出方程：80×6＝120x。

第②題：設(shè)6小時(shí)能行x千米。列出方程：[2002]=[x6]。

接著投影出示要求2和圖5：

2.按以上每道題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律畫(huà)圖，第①題要選圖（ ），第②題要選圖（ ）。并說(shuō)明為什么。

學(xué)生獨(dú)立思考后，組織集體交流：

生：第①題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成反比例。要選圖D。

師：為什么要選圖D，而不選圖C呢？

生：因?yàn)榈冖兕}中行駛的總路程是一定的，都是480千米，而圖D中對(duì)應(yīng)的“速度×?xí)r間”都剛好是480千米，所以第①題應(yīng)該選圖D。

教師和學(xué)生一起在圖上找出幾組速度與時(shí)間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證，使全體學(xué)生清楚地看出按第①題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量畫(huà)出的圖確實(shí)是圖D。接著教師又提出：那第②題又應(yīng)該選哪幅圖呢？

生：因?yàn)榈冖陬}中速度都是100千米/時(shí)，路程與時(shí)間成正比例，所以要選圖A。

師：是嗎？大家看看圖A，路程200千米，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是2小時(shí)；當(dāng)路程是400千米時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是4小時(shí)；當(dāng)路程是600千米時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是6小時(shí)。路程除以對(duì)應(yīng)的時(shí)間都剛好是100千米。這樣第②題確實(shí)要選圖A。

接著投影出示要求3：

3.請(qǐng)你根據(jù)圖B和圖C，把以上兩道題的條件或問(wèn)題進(jìn)行改編，使改編后的題中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量的變化規(guī)律分別符合這兩幅圖。

學(xué)生獨(dú)立思考后，組織集體交流（略）。

評(píng)析：以上這組練習(xí)圍繞“速度×?xí)r間＝路程”這一數(shù)量關(guān)系展開(kāi)，練習(xí)方式與上兩個(gè)環(huán)節(jié)又有了很大的不同，更加凸顯了結(jié)構(gòu)化的訓(xùn)練。練習(xí)時(shí)先要求學(xué)生根據(jù)完整的問(wèn)題進(jìn)行判斷、列式；再分別針對(duì)每道題作出圖象的選擇和說(shuō)理；然后引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)另外的兩個(gè)圖象，分別對(duì)原題作出多種方法的改編。由此可見(jiàn)，學(xué)生經(jīng)歷了這樣的判斷列式、圖象選擇、據(jù)圖改編的練習(xí)后，對(duì)正比例和反比例問(wèn)題中變與不變，以及兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量的相依變化規(guī)律有了更深的理解，同時(shí)較好地提高了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（作者單位：浙江臨海市大洋小學(xué)，臨海市教研中心）