探索，需要“特定問題情境”驅(qū)動?？墒牵臃ń粨Q律常常是“無疑可探”。如某教材一年級上冊“10以內(nèi)的加減法”單元就以“一圖兩式”的方式初次滲透了加法交換律，之后的學習中又以多種方式不斷地呈現(xiàn)類似的內(nèi)容，并在二年級下冊“萬以內(nèi)的加法和減法”單元開始了“交換兩個加數(shù)位置再算一遍”的加法驗算方法。也就是說，在四年級學習“加法交換律”之前，學生對該規(guī)律已積累了豐富的感性認識，并在一定程度上熟練運用。

無疑可探，怎么辦？教材編寫，顯然避開了“激疑”。上述教材以“跳繩的有多少人”這樣的問題引出兩個算式，并由兩個算式的結(jié)果相等得出等式“28+17=17+28”，再用“你能再寫幾個這樣的等式嗎”實現(xiàn)枚舉的拓展，在此基礎(chǔ)上概括得出結(jié)論。細品，這是一個歸納概括、符號表達的過程。沒有疑問，沒有猜想，沒有驗證，談不上探索，也談不上推理方法的感悟和推理意識的培養(yǎng)。

那么，面對學生已有的知識經(jīng)驗、現(xiàn)有的思維水平，如何引領(lǐng)他們進行真實的探索式學習，體驗歸納推理的方法，形成推理意識呢？筆者的實踐如下：

一、起：直觀感知局部與整體間的差異

教師分別出示大象的尾巴、耳朵、肚子等圖，讓學生看圖猜物，感受盲人摸象。然后，通過動畫把各個部件復位組合成一頭大象的圖。

通過看圖猜物的游戲，讓學生親歷類似于盲人摸象的過程。再借助故事的直觀，深刻感受局部特征與整體之間可能存在偏差，初步感知不完全歸納的局限，感悟不完全歸納與完全歸納間的區(qū)別，為后面“激疑”作好鋪墊。

教學過程略。

二、承：引向無窮，用陌生來激疑

1.男生、女生口算比賽，展現(xiàn)已有經(jīng)驗。

男生題：21＋34＝ 52＋174=

女生題：34＋21＝ 174＋52＝

男生：不公平。

師：哪里不公平??？

男生：交換位置和不變，女生們可以直接用我們的答案。

師：你們都認為，交換兩個加數(shù)的位置，和不變？如此肯定？沒有疑義？

學生齊刷刷地點頭表示肯定！

2.引向無窮，陌生來激疑。

師：（在黑板上畫集合圖，如圖1）要知道加法算式千千萬，我們所熟悉的，只是其中一小部分。對于你們熟悉的、不熟悉的甚至是陌生的，你們都能肯定它們存在“交換位置，和不變”的規(guī)律嗎？

學生開始猶豫，部分學生開始搖頭。

【設(shè)計意圖】接納后激疑。用男生、女生口算比賽導入，先男生搶答，再女生搶答，比哪一組搶答用時短。在競爭的情境中自然引出學生的已有經(jīng)驗。學生通過展示自己的“智慧”，就安心地進入下一環(huán)節(jié)的思考。借助集合圖把抽象的“無窮多的加法算式”直觀化，點出本課研究對象與以往的不同，借助課始的盲人摸象前期感知激起學生對未知的、陌生事物的警覺?！懊魑町悺鼋?jīng)驗→陌生激疑”，學生的思考正在歷經(jīng)一波三折的考驗。

三、轉(zhuǎn)：多樣枚舉，增強枚舉發(fā)現(xiàn)的可信度

1.探討驗證的方法。

師：那怎么辦，我們才能對這個問題多一些了解？

生：再多舉些例子。

師：舉多少個例子才能讓你們放心？

生：舉無數(shù)個。

學生們啞然而笑。

師：為什么笑？

生：這是做不到的。

師：是啊，舉無數(shù)個，這不可能！我們仔細地問問自己內(nèi)心，我們最擔心的是哪些方面？

生：大數(shù)。

師：是的，大數(shù)加法，我們平時遇見的不多，還不能確定。除了整數(shù)加法，你還能想到什么？

生：小數(shù)加小數(shù)，分數(shù)加分數(shù)。

師：我明白了，大家認為我們還需要舉一些不同類型的加法。為什么呢？

生：就像盲人摸象，需要摸到大象的不同部位，這樣才能知道大象整體的樣子。

師：你很會思考！盲人摸象，要盡量摸大象的不同部位。我們驗證猜想，也要盡量列舉不同的類型。

學生獨立舉例驗證。

2.集體交流，再次感知規(guī)律。（略）

【設(shè)計意圖】簡單枚舉雖有局限性，卻是人類認識自然、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)生活和生產(chǎn)經(jīng)驗、處理科學實驗等活動十分重要又被普遍應用的思想方法。我們既需要帶領(lǐng)學生看見簡單枚舉法的不足，也需要呵護學生的思維直覺，引導他們從“一般化”“特殊化”兩方面提升簡單枚舉發(fā)現(xiàn)的可信度。通過追問“我們最擔心的是哪些方面”“除了整數(shù)加法，你還能想到什么”，引導學生實現(xiàn)列舉的多角度化，以此有效提高利用簡單枚舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律的可信度。

四、合：尋理說明，提供枚舉歸納的堅實支點

1.討論分析，感知枚舉的局限性。

師：展示的幾份作品，經(jīng)過計算后發(fā)現(xiàn)，交換位置和不變。你們的例子呢？

生：都相等。

師：有沒有不相等的？

生：沒有。

師：反例特別重要，你們知道為什么嗎？

生：1個反例就可以推翻我們的猜想。

生：但我們沒有找到反例。

師：那么，我們?nèi)?8人，每人舉3個例子，舉了接近150個例子，關(guān)注到各種類型，沒有遇到1個反例，是不是就可以確認我們的猜想是正確的呢？

生：不能。加法算式千千萬，我們還需要花更多時間去調(diào)查。

師：150個例子，你們還覺得不夠？

生：是的。加法算式是無窮無盡的，這150個例子只是其中很小的一部分。

師：多好的感覺！150個和無窮無盡相比，還是太少。說不定就有1個反例在我們沒有舉到的千千萬萬個例子當中。

教師隨機畫出有限的部分與無窮的對比圖。圖略。

2.分析原因，了解由點及面的推理方法。

師：既然舉例子不能確認最終的結(jié)果，那是不是我們這節(jié)課就無法下結(jié)論了呢？

生：是的。

師：孩子們，你們的感覺完全正確！當我們不能完全看見這頭“大象”時，我們是無法感知“大象”真實的樣子的。幸運的是，人類在生產(chǎn)、生活中逐步發(fā)明了新的方法，借用這種方法可以推測龐然大物的真實情況。這種方法你們想知道嗎？（生：想）那就是找原因。如果我們能找到這些加法算式交換位置和不變的原因，我們就能以此為依據(jù)，推斷出其他無窮無盡的加法算式也具備同樣的特征！

師：為什么兩個數(shù)相加，交換位置，和不變呢？

生：它們只是交換了位置。

生：兩個加數(shù)都沒有變化。

師：（在黑板上畫線段，如圖2）如果我們把這兩個加數(shù)用兩條線段表示，你們看，從左到右，或者從右到左，無論從哪個方向量起，它們的總長度并不變。

生：是的。我還想到了不同類型的數(shù)。用不同的單位量線段的長度，可以表示成整數(shù)，也可以表示成分數(shù)或小數(shù)。所以，這兩條線段可以表示各種類型的數(shù)相加。

師：說得真好，借助不同的長度單位，我們可以得到不同的數(shù)量，也就表現(xiàn)為不同類型的數(shù)相加。兩個加數(shù)的順序改變，但線段的總長度不變。因此我們可以推斷，其他千千萬萬個算式——

生：我想到的是，如果用不同的單位量線段的長度，量出的結(jié)果y0KVgssmJbC8Kfxa72/4rwALqKOEeboLGN1XMzT/OnU=既可以表示成整數(shù)，也可以表示成分數(shù)或小數(shù)。所以，這兩條線段可以表示各種類型的數(shù)相加。

師：妙想?。∪绻镁€段表示數(shù)，我們的確能更方便地看到不同類型的數(shù)，來，讓我們把掌聲送給這兩位創(chuàng)新者！從線段圖上，我們也可以看出，兩個加數(shù)的順序改變，但線段的總長度不變。因為這個原因，我們就可以推斷，其他千千萬萬個算式——

生：交換位置，和也是不變的。

【設(shè)計意圖】簡單枚舉法，因其不完全歸納，是一種或然推理，雖然我們可以借助枚舉的多樣化去提升它的可信度，但其或然性的本質(zhì)并不能改變。張奠宙教授曾指出：“非常遺憾?，F(xiàn)在教材里提到加法交換律，就是讓學生拿兩個數(shù)來驗證一下……然后要學生分組舉出很多例子，歸納出加法交換律成立，至于為什么可以交換，沒有從本源上說清道理?！奔词姑鎸Φ氖切W生，運算律的教學，我們依舊需要從本源上說清道理，把簡單枚舉法升級為科學歸納推理，實現(xiàn)邏輯上的相對嚴密。所謂科學歸納推理，是“在考察（觀察或?qū)嶒灥龋┠愁愂挛锊糠謱ο蟮幕A(chǔ)上，通過分析找出原因，以此為依據(jù)，由點及面推出結(jié)論的歸納推理”?！皩τ诳茖W歸納推理而言，前提所考察的對象數(shù)量，對結(jié)論的可靠程度不起主要作用，只要是真正揭示了對象與其屬性之間的因果聯(lián)系，知其然且知其所以然，即使前提所考察的對象數(shù)量不多（甚至只有一個），也能得到較為可靠的結(jié)論?！?[1]那么，加法交換律的原理是什么呢？張奠宙教授指出：數(shù)數(shù)活動才是認識的本源[2]；伍鴻熙教授用線段模型來解釋加法交換律[3]。哪種解釋更貼近學生的感知？通過對四年級多個班的前測，發(fā)現(xiàn)學生對此的認識是“加數(shù)只是交換了位置，總和當然不變”，而關(guān)于“本源”的多樣化的解釋方法表現(xiàn)漠然。因此，此處采取的是順應、悅納，再配上線段圖的直觀，把學生快思的生硬捂成慢想的通透，并以此為支點，想象出“不同的度量單位得到不同的數(shù)量”，從而直觀表達了“不同類別的數(shù)相加，交換位置，和不變”。

2022年版課標指出：“每一個特定的學習內(nèi)容都具有培養(yǎng)相關(guān)核心素養(yǎng)的作用?！边\算律教學中可以培養(yǎng)的核心素養(yǎng)又有哪些？《數(shù)學之美》提出：“技術(shù)分為術(shù)和道兩種，具體的做事方法是術(shù)，做事的原理和原則是道?！憋@然，數(shù)學真正的作用是讓我們感悟道，即思維方法、科學態(tài)度、理性精神。數(shù)學學習的能力，最終也體現(xiàn)于學生對于數(shù)學之“道”的把握。因此，運算律的教學中，關(guān)于符號意識、運算能力的培養(yǎng)，肯定是重點，但其中推理方法的感知、推理意識的形成，更是意義深遠。既然如此，運算律學習過程中，選擇合適的問題情境，激發(fā)學生自主探究的需求，探索過程中思維轉(zhuǎn)折的自然、邏輯的自洽，都是備課中需要反復考量、推演的重心。

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究［M］.上海：上海教育出版社，2017.

[2]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數(shù)學教材中的大道理：核心概念的理解與呈現(xiàn)［M］.上海：上海教育出版社，2018.

[3]伍鴻熙.數(shù)學家講解小學數(shù)學［M］.北京：北京大學出版社，2016．

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題2018年度立項課題“小學數(shù)學：讓學生‘帶得走’的‘尋理課堂’實踐研究”（編號：C-c/2018/02/19）的階段研究成果】

（作者單位：江蘇南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心）