整體性、結(jié)構(gòu)化是數(shù)學(xué)課程鮮明的特質(zhì)。2022年版課標(biāo)中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該充分彰顯整體性和結(jié)構(gòu)化，并據(jù)此來培育學(xué)生的整體性思維和結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。在概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要善于挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從“抽象地認(rèn)識”到“形象地理解”，從“記憶性儲存”到“意義性建構(gòu)”，從而幫助學(xué)生把握概念本質(zhì)，實現(xiàn)整體建構(gòu)。本文以蘇教版教材三年級下冊“認(rèn)識小數(shù)”一課為例，從整體建構(gòu)的視角設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生把握概念本質(zhì)，實現(xiàn)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。

一、在前后銜接中喚醒經(jīng)驗

【片段一】

（1）回憶整數(shù)認(rèn)數(shù)過程。

談話：孩子們，認(rèn)數(shù)時，我們經(jīng)常會用到一位好伙伴，是什么呢？（計數(shù)器）老師給大家?guī)砹艘粋€計數(shù)器，一起看屏幕，這個計數(shù)器有點特殊，只有一個數(shù)位，什么數(shù)位？（個位）

提問：個位上撥1顆珠子，表示多少？

回顧：個位上的1顆珠子表示1個一。繼續(xù)數(shù)，2個一，3個一……9個一。

提問：再撥1顆珠子，是多少？（10個一）滿十了，就要——向十位進(jìn)一。

小結(jié)：10個一是1個十。

接下來，回顧在十位上、百位上、千位上撥珠子時，得出10個十是一百、10個百是一千、10個千是一萬。

（2）厘清計數(shù)單位間的關(guān)系。

追問：孩子們，回顧剛才數(shù)數(shù)的過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？

預(yù)設(shè)一：每個數(shù)位上的數(shù)，最大是9；滿十了，就要向前一位進(jìn)一。

預(yù)設(shè)二：相同的數(shù)字，在不同的數(shù)位上，表示的數(shù)不同。

指出：個位上的1顆珠子表示——1個一或者個。［板書：個位，一（個）］十位上的1顆珠子表示——1個十。（板書：十位，十）百位上的1顆珠子表示——1個百。（板書：百位，百）千位上的1顆珠子表示——1個千。（板書：千位，千）

提問：孩子們，這是我們以前認(rèn)識的數(shù)位順序表，（表略）看著數(shù)位順序表，你們想說點什么呢？

預(yù)設(shè)一：從右往左看，每相鄰兩個計數(shù)單位是依次乘10。（板書： ，×10）

預(yù)設(shè)二：從左往右看，每相鄰兩個計數(shù)單位是依次除以10。（板書： ，÷10）

提問：從右往左看，你還能怎么數(shù)？（板書： ，……）按照這樣的規(guī)律，從左往右看，你還能創(chuàng)造出比一更小的計數(shù)單位嗎？（板書： ，？）

【解讀】奧蘇貝爾曾說過，假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。小學(xué)時概念的學(xué)習(xí)離不開學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗。兒童在認(rèn)識小數(shù)之前，已經(jīng)認(rèn)識了萬以內(nèi)的數(shù)和計數(shù)單位。課始，教師引入一個特殊的計數(shù)器，就是要喚醒學(xué)生頭腦中對個位、十位、百位、千位的已有經(jīng)驗，充分感知小一些的計數(shù)單位合成為大一些的計數(shù)單位，從低級的數(shù)位生長出高級的數(shù)位。觀察數(shù)位順序表時，教師引導(dǎo)學(xué)生從“從右往左”和“從左往右”兩個不同維度深刻理解“十進(jìn)制”的計數(shù)原則。反過來“從左往右”看，你還能創(chuàng)造出比一更小的計數(shù)單位嗎？富有邏輯的推演和提問，激起學(xué)生創(chuàng)造的欲望，學(xué)生的認(rèn)知生長點成為學(xué)生學(xué)習(xí)的探究點。這樣的教學(xué)設(shè)計，為小數(shù)部分?jǐn)?shù)位順序表的整體建構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。

二、在上下貫通中激活思維

【片段二】

談話：如果用一個正方形表示“1”，你能創(chuàng)造出比一更小的計數(shù)單位嗎？這個新單位和一有什么關(guān)系？

要求：在課堂練習(xí)單上先自己分一分，再在小組內(nèi)和同伴交流，等會兒我們做全班交流。

學(xué)生先獨立思考，再小組交流，教師巡視。

引導(dǎo)：剛才老師收集了幾個小朋友的作品，請他們到前面來向大家介紹介紹。（投影展示不同分法，如圖1，學(xué)生匯報交流）

追問：把“1”平均分成10份，1份是[110]，[110]還可以用0.1來表示。為什么把“1”平均分成10份？你是怎么想的？

指出：剛才有小朋友是橫著分的，也有小朋友是豎著分的，不管是橫著分、豎著分，還是其他分法，只要把“1”平均分成10份，每份都是[110]，也是0.1，[110]＝0.1。

小結(jié)：剛才小朋友們借助正方形，創(chuàng)造出了比一更小的計數(shù)單位0.1。［板書：÷10。把問號改成0.1（[110]）］

拓展：（如圖2）如果把正方形壓扁，現(xiàn)在變成了一個——（長方形）如果把這個長方形看作“1”，圖中涂色部分怎么表示？（0.1）為什么是0.1？把長方形變得再扁一些，圖中涂色部分表示多少？繼續(xù)壓扁，變成了——一條線段，如果把這條線段看作“1”，標(biāo)問號的那部分表示多少？

追問：0.1是一個小數(shù)，生活中你見過小數(shù)嗎？你能聯(lián)系人民幣、長度單位等來舉例說說0.1嗎？（如圖3）

思考：圖形不同，物體不同，為什么都可以用0.1表示？

歸納：不管是用正方形、長方形、線段，還是人民幣、長度單位，只要把“1”平均分成10份，這樣的1份就是[110]，也是0.1。

小結(jié)：看來，小數(shù)和我們以前學(xué)過的分?jǐn)?shù)、整數(shù)是有聯(lián)系的，我們可以聯(lián)系生活和已經(jīng)學(xué)過的知識來幫助理解。

【解讀】劉加霞教授說：“小學(xué)數(shù)學(xué)從做題意義上講，很簡單；從奠基意義上來說，卻很不簡單?！薄罢J(rèn)識小數(shù)”是小學(xué)階段全面、系統(tǒng)地進(jìn)行小數(shù)概念學(xué)習(xí)的起始課，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有奠基作用。小數(shù)的本質(zhì)屬性與分?jǐn)?shù)是一致的，但其表示形態(tài)又與分?jǐn)?shù)截然不同。從整體建構(gòu)的角度來看，本課很重要的一個定位就是突出0.1的產(chǎn)生和十分位的來源。從教學(xué)起點看，三年級學(xué)生對小數(shù)的感知并非一張白紙，學(xué)生在日常生活中聽到、看到過小數(shù)，甚至有意無意中還使用過。教學(xué)中，教師放手讓學(xué)生自主探究，創(chuàng)造新單位，生長出新數(shù)位。無論是從正方形中創(chuàng)造出不同的表示0.1的方法，還是從正方形、長方形、長條、線段中尋找0.1的相同之處，甚至拓展到生活中的人民幣、長度單位等，學(xué)生對0.1的認(rèn)識變得深刻而立體、全面而豐富。這樣的教學(xué)設(shè)計，建立在原有計數(shù)法則的基礎(chǔ)之上，學(xué)生在推理、創(chuàng)造的過程中，完成自我認(rèn)知的突圍，實現(xiàn)小數(shù)意義的知識建構(gòu)。

三、在左右協(xié)調(diào)中建構(gòu)思想

【片段三】

談話：學(xué)到這里，新的挑戰(zhàn)來了，你能在計數(shù)器上表示出0.1嗎？

要求：請大家拿出課堂練習(xí)單，把0.1在計數(shù)器上畫出來。畫好后，把你的想法先在小組內(nèi)和同伴交流，等會兒我們做全班交流。

學(xué)生先獨立完成，再小組討論，教師巡視。

引導(dǎo)：討論好了嗎？哪個小組先來匯報？

指出：0.1是一個小數(shù)，它比1小，不能直接畫在原來的計數(shù)器上，需要把計數(shù)器向右延伸。因為0.1＝[110]，0.1對應(yīng)的數(shù)位我們給它取個名字，叫作“十分位”。今天認(rèn)識的小數(shù)，我們?yōu)榱撕鸵郧罢J(rèn)識的整數(shù)區(qū)分開，在個位和十分位之間要增加一個小數(shù)點。（課件動畫演示）

提問：現(xiàn)在十分位上1顆珠子表示多少？繼續(xù)數(shù)，2個0.1，3個0.1……10個0.1是多少？

小結(jié)：滿十了，要向個位進(jìn)一。

引導(dǎo)：看正方形圖，（如圖4）1份表示——[110]，也是0.1。繼續(xù)數(shù)，2份表示——[210]，也是0.2。3份呢？……涂滿就是——

小結(jié)：10個0.1是1。

追問：觀察這一組等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

談話：孩子們，今天這節(jié)課我們初步認(rèn)識了小數(shù)，（板書：認(rèn)識小數(shù)）原來的數(shù)位順序表中又增加了新的成員。你們自己創(chuàng)造出了新的計數(shù)單位——0.1，這個0.1和1有怎樣的關(guān)系？

小結(jié)：1個一分成10個0.1，10個0.1是1個一。（板書： ，×10）

強(qiáng)調(diào)：通過今天的學(xué)習(xí)，原來個位的右邊又增加了一個新的數(shù)位——十分位。（板書：十分位）為了和以前認(rèn)識的整數(shù)區(qū)分，個位和十分位之間用小數(shù)點隔開。（板書：小數(shù)點）小數(shù)點左邊的部分叫作整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的部分叫作小數(shù)部分。（板書：整數(shù)部分，小數(shù)部分）

過渡：如果繼續(xù)向右分，你還能創(chuàng)造出比0.1更小的計數(shù)單位嗎？（板書： ，……。最后形成板書設(shè)計，如圖5）看來大家已經(jīng)掌握創(chuàng)造新的計數(shù)單位的方法了。

【解讀】鄭毓信教授指出：“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要讓學(xué)生在‘求取答案后繼續(xù)前進(jìn)’。”這就提醒我們，在學(xué)習(xí)過程中不能停留在眼前的知識獲取和方法習(xí)得，還要瞄準(zhǔn)遠(yuǎn)方的思維提升和素養(yǎng)生成。從認(rèn)識計數(shù)單位0.1到認(rèn)識十分位，學(xué)生不斷完善知識結(jié)構(gòu)。從0.1起，教師引導(dǎo)學(xué)生拓展到0.2、0.3、0.4……0.9，再到10個0.1就是1，這樣的建構(gòu)呼應(yīng)了整數(shù)部分的數(shù)位順序表，零散的知識得以連點成線，0.1的認(rèn)識融入了數(shù)位順序表的序列中。在計數(shù)器上畫出0.1，由此命名十分位。這種對應(yīng)的思想不僅在認(rèn)識十分位時發(fā)揮作用，也對學(xué)生學(xué)習(xí)0.01、0.001、0.0001的對應(yīng)數(shù)位發(fā)揮作用，這為學(xué)生以后進(jìn)一步研究小數(shù)的意義埋下伏筆。

四、在內(nèi)外融合中培育素養(yǎng)

【片段四】

談話：生活中，小數(shù)有哪些應(yīng)用呢？一起來看圖6，用小數(shù)表示下列商品的價格。

小結(jié)：看來，小數(shù)的整數(shù)部分可以是0，也可以是其他數(shù)。

提問：你能用小數(shù)表示圖7中的涂色部分，并把這些數(shù)在計數(shù)器上撥出來嗎？

小結(jié)：有了新的計數(shù)單位，我們就可以表示更多的數(shù)了。

談話：數(shù)軸上的點可以表示具體的量，比如，1千克、2千克，也可以把單位去掉，直接表示具體的數(shù)。

引導(dǎo)：數(shù)軸下面的這些數(shù)0、1、2、3等數(shù)學(xué)上叫作自然數(shù)，自然數(shù)也是整數(shù)。為了更精確地表示，我們將數(shù)軸上的每一段平均分成10份，這些點可以用小數(shù)表示，也可以用分?jǐn)?shù)表示。

提問：（如圖8）你能在下面的方框里填上合適的小數(shù)嗎？用分?jǐn)?shù)怎么表示？

小結(jié)：孩子們，小數(shù)不小，小數(shù)的世界很大，小數(shù)的發(fā)展其實經(jīng)歷了漫長的過程，關(guān)于小數(shù)，還有許多奧秘等著我們?nèi)ヌ剿鳌⑷ニ伎?，以后我們還將繼續(xù)研究。

【解讀】“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。”要想培養(yǎng)兒童的結(jié)構(gòu)化思維，需要我們在每節(jié)課、每個知識點的教學(xué)中，多思考一些問題：“這個知識點跟哪些知識點有聯(lián)系？”“這種聯(lián)系是怎么發(fā)生的？”“它們能形成怎樣的結(jié)構(gòu)？”……在上述教學(xué)中，聯(lián)系生活實際，打通了從整數(shù)部分是0的小數(shù)到整數(shù)部分不是0的小數(shù)的認(rèn)識，拓展了學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)知，實現(xiàn)了思維上的完整建構(gòu)。由商品價格中的小數(shù)拓展到圖形中的小數(shù)、數(shù)軸上的小數(shù)等，打通了數(shù)學(xué)與生活之間、數(shù)學(xué)內(nèi)部各知識點之間的聯(lián)系，并且建立了用線段表示的小數(shù)模型，借助數(shù)軸上量的變化，引導(dǎo)學(xué)生充分感受數(shù)軸既可以表示具體的量，還可以表示具體的數(shù)；既可以表示已經(jīng)學(xué)過的自然數(shù)（也是整數(shù)），還可以表示小數(shù)或分?jǐn)?shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰了小數(shù)的意義。學(xué)生在解決實際問題的過程中，思維向更深層次邁進(jìn)。長此以往，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)過程中，會逐漸形成一種整體性的思維方式，這將有助于培育學(xué)生從整體上把握事物之間的聯(lián)系、用發(fā)展的眼光看待問題的素養(yǎng)。

【本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”（編號：DHA190453）的階段性研究成果】

（作者單位：江蘇南京市五老村小學(xué)）